Projet de Semestre

été 2005

Les espaces de Sobolev

Laurent Landry

Professeur Responsable:

prof. Marc Troyanov

Table des matières

Résumé

2

Table des notations

2

Chapitre 1.

Introduction

3

Chapitre 2.

Les espaces de Sobolev dans

R

n

5

1.

Introduction aux espaces de Sobolev

5

2.

Le théorème de Meyers-Serrin

8

3.

Les plongements de Sobolev

10

4.

Extension de domaines

24

5.

Le théorème de compacité de Rellich-Kondrachov

25

6.

Opérateurs de traces

29

7.

Les inégalités de Poincaré

35

8.

Dualité

39

Chapitre 3.

Les espaces de Sobolev sur les variétés

43

1.

Préliminaires et définitions

43

2.

Les plongements de Sobolev sur les variétés

46

3.

Sous-variétés et plongements de Sobolev

47

Chapitre 4.

Les espaces de Sobolev sur les fibrés vectoriels

49

1.

Définition et plongements de Sobolev

49

Chapitre 5.

Annexe

53

1.

Rappels sur les espaces

L

p

(Ω)

53

Bibliographie

57

Index

59

1

2

TABLE DES MATIÈRES

Résumé

Dans ce travail seront présentés les principaux résultats concernant les espaces

de Sobolev dans l’espace euclidien, sur les variétés ainsi qu’une approche à la théo-
rie des espaces de Sobolev sur les fibrés vectoriels. Nous commencerons par définir
formellement les espaces de Sobolev. Nous donnerons ensuite une définition équiva-
lente grâce à un résultat dû aux mathématiciens Meyers et Serrin. Nous aborderons
ensuite les résultats concernant les plongements des espaces de Sobolev. Nous gé-
néraliserons enfin ces résultats sur les espaces de Sobolev sur les variétés et fibrés
vectoriels

Table des notations

Nous utiliserons les notations suivantes tout au long du travail:

N

=

{

0

,

1

,

2

...

}

α

= (

α

1

, ..., α

n

)

multi-indice avec

α

i

∈

N

pour tout

i

= 1

, ..., n

|

α

|

=

n

X

i

=1

α

i

D

α

u

=

∂

|

α

|

∂x

α

1

1

·

...

·

∂x

α

n

n

u

α

-ième dérivée partielle

p.p

presque partout

supp

u

support de la fonction

u

|

Ω

|

mesure (de Lebesgue) de l’ensemble

Ω

f

∗

g

produit de convolution

ω

⊂⊂

Ω

ouvert

ω

fortement inclus dans

Ω

, c’est-à-dire

ω

compact et

ω

⊂

Ω

ρ

ε

fonction régularisante

u

ε

=

ρ

ε

∗

u

régularisation de la fonction

u

CHAPITRE 1

Introduction

Le principal intérêt de la théorie des espaces de Sobolev réside dans l’existence

de plongements continus de Sobolev, et dans l’existence de plongements compacts
de Rellich-Kondrakov. À ceux-ci, on rajoute bien entendu l’existence de théorèmes
de régularité, particulièrement précieux dans l’étude des équations aux dérivées
partielles. Nous traiterons dans un premier temps la théorie des espaces de Sobolev
dans l’espace euclidien

R

n

, essentielle pour la suite. Nous aborderons ensuite les

espaces de Sobolev sur les variétés compactes et finalement la théorie des espaces
de Sobolev sur les fibrés vectoriels. Nous supposerons le lecteur familier avec la
théorie de la mesure et de l’intégrale de Lebesgue. On trouvera en annexe un bref
rappel des propriétés constamment utilisées dans ce projet.

3

CHAPITRE 2

Les espaces de Sobolev dans

R

n

1. Introduction aux espaces de Sobolev

1.1. Dérivées aux sens des distributions.

Les espaces de Sobolev requièrent quelques notions clés et techniques de la théorie
des distributions de Schwartz. Sans entrer trop dans les détails, nous introduirons
le concept de dérivée au sens des distributions ainsi que les espaces de distributions
(au sens de Schwartz).

Définition

2.1

.

Soit

Ω

un domaine ouvert de

R

n

.

Une suite

{

φ

n

}

n

∈

N

⊂

C

∞

0

(Ω)

est dite convergente au sens de l’espaces

D

(Ω)

vers la

fonction

φ

∈

C

∞

0

(Ω)

si les conditions suivantes sont satisfaites :

(1) Il existe

K

⊂⊂

Ω

tel que

supp (

φ

n

−

φ

)

⊂

K

, pour tout naturel

n

∈

N

(2)

lim

n

→∞

D

α

φ

n

(

x

) =

D

α

φ

(

x

)

uniformément sur

K

, pour tout multi-indice

α

Remarques

2.2

.

(1) Pour tout

u

∈

L

1

loc

(Ω)

il existe une distribution

T

u

∈ D

(Ω)

∗

, le dual de

l’espace fonctionnel

D

(Ω)

, définie par

T

u

(

φ

) =

Z

Ω

u

(

x

)

φ

(

x

)

dx,

∀

φ

∈ D

(Ω)

(1)

En effet, il est clair, par définition et par la linéarité de l’intégral de
Lebesgue, que

T

u

est une application linéaire. Montrons alors que

T

u

est continue. Pour le voir, supposons qu’il existe une suite

{

φ

n

}

n

∈

N

qui

converge vers

φ

dans

D

(Ω)

. Alors, par définition, il existe

K

⊂⊂

Ω

tel que

supp(

φ

n

−

φ

)

⊂

K

, pour tout

n

∈

N

. Ainsi,

|

T

u

(

φ

n

)

−

T

u

(

φ

)

| ≤

sup

x

∈

K

|

φ

n

(

x

)

−

φ

(

x

)

|

Z

K

|

u

(

x

)

|

dx

Or, vu que l’intégrale

Z

K

|

u

(

x

)

|

dx

est finie et que

φ

n

converge vers

φ

uniformément sur

K

lorsque

n

tend vers l’infini, le membre de droite de

l’inégalité précédente tend vers

0

, montrant ainsi la continuité de

T

u

5

6

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

(2) Vu que toute fonction

φ

∈ D

(Ω)

s’annule identiquement en dehors d’un

sous-ensemble compact de

Ω

, il est clair, grâce à une intégration par par-

ties, que pour toute fonction

u

∈

C

1

(Ω)

la relation suivante est vérifiée :

Z

Ω

∂

∂x

i

u

(

x

)

φ

(

x

)

dx

=

−

Z

Ω

∂

∂x

i

φ

(

x

)

u

(

x

)

dx

(2)

Pour

i

= 1

, ..., n

quelconque.

De même, pour tout multi-indice

α

, par intégration par parties

|

α

|

-fois on

a

Z

Ω

(

D

α

u

(

x

))

φ

(

x

)

dx

= (

−

1)

|

α

|

Z

Ω

(

D

α

φ

(

x

))

u

(

x

)

dx

(3)

Ces résultats motivent ainsi la définition de la dérivée

D

α

T

d’une distri-

bution

T

∈ D

(Ω)

∗

. On pose alors

D

α

T

(

φ

) = (

−

1)

|

α

|

T

(

D

α

φ

)

(4)

Vu que

D

α

φ

∈ D

(Ω)

, pour autant que

φ

∈ D

(Ω)

,

D

α

T

est bien définie

sur

D

(Ω)

. Clairement

D

α

T

est linéaire sur

D

(Ω)

. Soient alors

φ

∈ D

(Ω)

et une suite

{

φ

n

}

n

∈

N

⊂ D

(Ω)

telles que

φ

n

→

φ

dans

D

(Ω)

. Alors,

supp(

D

α

(

φ

n

−

φ

))

⊂

supp(

φ

n

−

φ

)

⊂

K

pour un certain

K

⊂⊂

Ω

. De plus, on a

D

β

(

D

α

(

φ

n

−

φ

)) =

D

β

+

α

(

φ

n

−

φ

)

qui converge uniformément vers

0

sur

K

lorsque

n

tend vers l’infini et

ceci pour tout multi-indice

β

. Ainsi,

D

α

φ

n

→

D

α

φ

dans

D

(Ω)

. Vu que

T

∈ D

(Ω)

∗

il en découle que

D

α

T

(

φ

n

) = (

−

1)

|

α

|

T

(

D

α

(

φ

n

))

→

(

−

1)

|

α

|

T

(

D

α

(

φ

)) =

D

α

T

(

φ

)

montrant ainsi la continuité de

D

α

T

et donc le fait que

D

α

T

∈ D

(Ω)

∗

.

Ces préliminaires nous permettent ainsi de bien définir le concept de dérivées

partielles au sens des distributions. Pour cela, considérons une fonction

u

∈

L

1

loc

(Ω)

.

En vertu des résultats précédents, il se peut qu’il existe une fonction

v

α

∈

L

1

loc

(Ω)

telle que

T

v

α

=

D

α

(

T

u

)

dans

D

(Ω)

∗

. Si une telle fonction

v

α

existe, on peut montrer

qu’elle est unique, bien entendu en dehors d’un ensemble de mesure nulle. On définit
alors la dérivée partielle au sens des distributions de

u

de la manière suivante :

Définition

2.3

.

Soient

Ω

un domaine ouvert de

R

n

,

u

∈

L

1

loc

(Ω)

et

α

un

multi-indice quelconques. On dit que

u

admet une dérivée partielle au sens des

distributions d’ordre

α

, s’il existe une fonction

v

α

∈

L

1

loc

(Ω)

telle que

T

v

α

=

D

α

(

T

u

)

(5)

En d’autres termes,

v

α

∈

L

1

loc

(Ω)

est la

α

-ième dérivée partielle au sens des distri-

butions de

u

si

Z

Ω

v

α

(

x

)

φ

(

x

)

dx

= (

−

1)

|

α

|

Z

Ω

u

(

x

)

D

α

φ

(

x

)

dx

(6)

et ceci pour toute fonction

φ

∈ D

(Ω)

.

On note alors

D

α

u

=

v

α

.

1. INTRODUCTION AUX ESPACES DE SOBOLEV

7

Exemple

2.4

.

Posons

n

= 1

et

Ω =]

−

1

,

1[

et considérons la fonction

u

définie

sur

Ω

par :

u

(

x

) =

1

2

(

|

x

|

+

x

)

On vérifie alors assez facilement que la fonction

v

définie par :

v

(

x

) =

+1

si

0

< x <

1

0

si

−

1

< x <

0

correspond à la première dérivée partielle au sens des distributions de la fonction

u

.

Remarque

2.5

.

On se convainc alors assez facilement, en vertu des dévelop-

pements précédents, que si

u

est suffisamment lisse pour avoir une dérivée partielle

D

α

u

au sens usuel, celle-ci correspond également à la dérivée partielle au sens des

distributions.

Tous ces préliminaires nous permettent donc de définir les espaces de Sobolev.

1.2. Définitions et propriétés élémentaires des espaces de Sobolev.

Soit

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

p

∈

R

avec

1

≤

p <

∞

et

k

un entier non nul.

Définition

2.6

.

L’espace de Sobolev

W

k,p

(Ω)

est défini par

(7)

W

k,p

(Ω) =

{

u

∈

L

p

(Ω)

|

pour tout multi-indice

α

avec

|

α

| ≤

k, D

α

u

∈

L

p

(Ω)

}

Dans cette définition la dérivée partielle

D

α

est entendue au sens des distributions.

Remarque

2.7

.

Les espaces

L

p

(Ω)

sont caractérisés par des classes de fonctions

identifiées en dehors d’ensembles de mesure nulle, nous conviendrons de parler d’une
fonction

u

∈

W

k,p

(Ω)

continue, bornée, etc. s’il existe une fonction

b

u

telle que

u

=

b

u

p.p.

x

∈

Ω

et bénéficiant de telles propriétés. Dans la suite, lorsque cela deviendra

utile, par exemple pour donner un sens à

u

(

x

)

, on remplacera systématiquement

u

par son représentant.

On vérifie sans difficulté que l’espace de Sobolev

W

k,p

(Ω)

est, comme son nom

l’indique, un espace fonctionnel. Munissons alors celui-ci de la norme suivante :

Lemme

2.8

.

La fonction

k k

W

k,p

(Ω)

:

W

k,p

(Ω)

→

R

définie par

(8)

k

u

k

W

k,p

(Ω)

:=

X

0

≤|

α

|≤

k

k

D

α

u

k

L

p

(Ω)

est une norme sur l’espace vectoriel

W

k,p

(Ω)

.

La preuve de ce lemme est relativement simple, en se souvenant que la fonction

k k

L

p

(Ω)

définit une norme sur l’espace fonctionnel

L

p

(Ω)

. Nous laisserons donc la

preuve de ce lemme en exercice.

Lemme

2.9

.

L’espace

W

k,p

(Ω)

muni de cette norme est un espace de Banach.

Démonstration.

Soit

{

u

n

}

n

∈

N

une suite de Cauchy dans l’espace fonctionnel

W

k,p

(Ω)

. Alors, pour tout multi-indice

α

d’ordre inférieur ou égal à

k

, la suite

{

D

α

u

n

}

n

∈

N

est de Cauchy dans

L

p

(Ω)

. Rappelons alors que l’espace

L

p

(Ω)

est

complet et de ce fait, il existe des fonctions

u

et

u

α

pour tout multi-indice

α

,

0

≤ |

α

| ≤

k

, telles que

u

n

,

D

α

u

n

convergent vers

u

, respectivement vers

u

α

dans

8

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

L

p

(Ω)

et ceci pour tout multi-indice. De plus, vu que

L

p

(Ω)

⊂

L

1

loc

(Ω)

, chacune des

fonctions

u

n

détermine une distribution

T

u

n

∈ D

(Ω)

∗

. Ainsi, pour toute fonction

φ

∈ D

(Ω)

, on a

|

T

u

n

(

φ

)

−

T

u

(

φ

)

| ≤

Z

Ω

|

u

n

(

x

)

−

u

(

x

)

||

φ

(

x

)

|

dx

≤ k

φ

k

L

p

0

(Ω)

k

u

n

−

u

k

L

p

(Ω)

grâce à l’inégalité de Hölder (103), où

p

0

est l’exposant conjugué à

p

. Ainsi,

T

u

n

(

φ

)

→

T

u

(

φ

)

pour toute fonction

φ

∈ D

(Ω)

lorsque

n

→ ∞

. Par un même raisonnement,

T

D

α

u

n

(

φ

)

→

T

u

α

(

φ

)

pour toute fonction

φ

∈ D

(Ω)

et tout multi-indice

α

d’ordre

compris entre

0

et

k

. Il en découle

T

u

α

(

φ

) = lim

n

→∞

T

D

α

u

n

(

φ

) = lim

n

→∞

(

−

1)

|

α

|

T

u

n

(

D

α

φ

) = (

−

1)

|

α

|

T

u

(

D

α

φ

) =

D

α

(

T

u

)(

φ

)

pour toute fonction

φ

∈ D

(Ω)

. Ainsi,

u

α

=

D

α

u

au sens des distributions pour tout

multi-indice

α

vérifiant

0

≤ |

α

| ≤

k

. Finalement, vu que

lim

n

→∞

k

u

n

−

u

k

W

k,p

(Ω)

= 0

,

l’espace fonctionnel

W

k,p

(Ω)

est complet.

Définition

2.10

.

Etant donnés

k, p,

Ω

, on définit l’espace de Sobolev

(9)

H

k,p

(Ω) =

le complété de

{

u

∈

C

∞

(Ω)

| k

u

k

H

k,p

(Ω)

:=

k

u

k

W

k,p

(Ω)

<

∞}

Pendant longtemps, jusque vers les années

60

, les espaces définis en (7) et (9)

furent considérés comme distincts. Cette confusion fut rétablie grâce au théorème
de Meyers-Serrin qui identifie ces deux espaces. On peut cependant déjà remarquer
que la complétude de l’espace de Sobolev

W

k,p

(Ω)

nous induit l’inclusion de l’es-

pace fonctionnel

H

k,p

(Ω)

dans l’espace fonctionnel

W

k,p

(Ω)

. En effet, comme les

dérivées distributionnels et classiques coïncident lorsque ses dernières existent et
sont continues sur

Ω

l’espace

S

=

{

u

∈

C

∞

(Ω)

| k

u

k

W

k,p

(Ω)

<

∞}

est contenu dans

W

k,p

(Ω)

. Ainsi, vu que l’espace de Sobolev

W

k,p

(Ω)

est complet,

l’opérateur d’identité sur

S

s’étend en un isomorphisme isométrique entre

H

k,p

(Ω)

,

le complété de

S

, et la fermeture de

S

dans

W

k,p

(Ω)

. On peut de ce fait identifier

l’espace fonctionnel

H

k,p

(Ω)

avec cette fermeture.

2. Le théorème de Meyers-Serrin

Lemme

2.11

.

Soit

u

∈

W

k,p

(Ω)

. Alors la régularisation de

u

,

u

ε

a la propriété

suivante

(10)

lim

ε

→

0

k

u

ε

−

u

k

W

k,p

(Ω

0

)

= 0

pour tout

Ω

0

⊂⊂

Ω

. Dans le cas où

Ω =

R

n

, alors

lim

ε

→

0

k

u

ε

−

u

k

W

k,p

(

R

n

)

= 0

2. LE THÉORÈME DE MEYERS-SERRIN

9

Démonstration.

Vu que

Ω

0

est borné, il existe

ε

0

tel que

ε

0

< dist

(Ω

0

, ∂

Ω)

.

Soient alors

ε < ε

0

, x

∈

Ω

0

, α

un multi-indice avec

|

α

| ≤

k

arbitrairement choisis.

Différentiant sous l’intégrale on trouve :

D

α

u

ε

(

x

) =

Z

Ω

D

α

x

ρ

ε

(

x

−

y

)

u

(

y

)

dy

=

ε

−

n

Z

Ω

D

α

x

ρ

x

−

y

ε

u

(

y

)

dy

=(

−

1)

|

α

|

ε

−

n

Z

Ω

D

α

y

ρ

x

−

y

ε

u

(

y

)

dy

=

ε

−

n

Z

Ω

ρ

x

−

y

ε

D

α

y

u

(

y

)

dy

par (7)

=

Z

Ω

ρ

ε

(

x

−

y

)

D

α

y

u

(

y

)

dy

par (7)

=(

D

α

u

)

ε

(

x

)

par (107)

La conclusion découle alors du corollaire 5.7

Par le lemme précédant, on observe que pour toute fonction

u

∈

W

k,p

(Ω)

, il

existe une suite de fonction

{

u

ε

} ⊂

C

∞

0

(Ω)

convergente vers

u

dans

W

k,p

(Ω

0

)

quel

que soit

Ω

0

de fermeture compacte dans

Ω

. Le résultat que l’on démontrera par le

théorème 2.12 nous donne un résultat semblable valable sur tout ouvert

Ω

, et non

uniquement pour tout sous-domaine de fermeture compacte dans

Ω

Théorème

2.12

.

(Meyers-Serrin)

Soit

Ω

⊂

R

n

un ouvert quelconque. Alors

H

k,p

(Ω) =

W

k,p

(Ω)

Démonstration.

Pour

i

= 1

,

2

, ..

définissons

Ω

k

le sous-domaine de

Ω

par :

Ω

i

=

{

x

∈

Ω

| |

x

|

< i et dist

(

x, ∂

Ω)

>

1

/i

}

et posons

Ω

−

1

= Ω

0

=

∅

.

On remarque que pour

i

= 1

,

2

, ...

on a

Ω

i

⊂⊂

Ω

i

+1

et de plus

∪

∞

i

=1

Ω

i

= Ω

.

Considérons alors la famille

O

de sous-domaines de

Ω

définie par :

O

=

U

i

|

U

i

= Ω

i

+1

\

Ω

i

−

1

, i

= 1

,

2

, ...

 

Soit alors

F

une partition de l’unité subordonnée à la famille

O

. Posons

F

i

=

{

f

∈ F |

supp

f

⊂

U

i

}

f

i

=

X

f

∈F

i

f

(11)

Vu que

Ω

i

+1

est compacte, on a que

F

i

est un ensemble fini et par suite

f

i

∈

C

∞

0

(

U

i

)

et

∞

X

i

=1

f

i

≡

1

sur

Ω

.

Soient alors

ε >

0

et

u

∈

W

k,p

(Ω)

arbitrairement choisis. Si

0

< ε <

1

/

(

k

+

1)(

k

+ 2)

, alors le support de la régularisation

(

f

i

u

)

ε

est contenu dans l’intersection

10

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

V

i

= Ω

i

+2

∩

(Ω

i

−

2

)

c

, sous-ensemble d’adhérence compacte dans

Ω

. Ainsi, vu que

f

i

u

∈

W

k,p

(Ω)

quel que soit

i

= 1

,

2

, ...

, on peut choisir

ε

i

tel que

k

(

f

i

u

)

ε

i

−

f

i

u

k

W

k,p

(Ω)

=

k

(

f

i

u

)

ε

i

−

f

i

u

k

W

k,p

(

V

i

)

<

ε

2

i

(12)

Posant alors

v

i

≡

(

f

i

u

)

ε

i

, on remarque qu’uniquement un nombre fini des fonctions

v

i

ne s’annule pas sur

Ω

0

⊂⊂

Ω

arbitraire. De ce fait, la fonction

v

≡

P

∞

i

=1

v

i

est bien défini et appartient à

C

∞

(Ω)

grâce notamment au corollaire

5

.

5

, et le fait

qu’une somme de fonctions continues reste continue.
Choisissons

x

∈

Ω

i

quelconque, on a

u

(

x

) =

i

+2

X

j

=1

f

j

(

x

)

u

(

x

)

par (11)

v

(

x

) =

i

+2

X

j

=1

(

f

j

u

)

ε

j

(

x

)

d’où

k

u

−

v

k

W

k,p

(Ω

i

)

≤

i

+2

X

j

=1

(

f

j

u

)

ε

j

−

f

j

u

W

k,p

(Ω)

< ε

i

+2

X

j

=1

2

−

j

< ε.

Laissant

i

tendre vers l’infini, on obtient le résultat.

3. Les plongements de Sobolev

Dans ce chapitre, nous allons traiter les plongements des espaces de Sobolev

dans d’autres espaces, à savoir d’autres espaces de Sobolev d’ordres plus petits
mais défini sur une norme

L

p

plus grande. En effet, de manière générale, l’inclusion

L

p

(Ω)

⊂

L

q

(Ω)

pour

1

≤

p

≤

q

≤ ∞

est fausse.

Par le terme de plongement, de l’espace vectoriel normé

(

X,

k k

X

)

dans l’espace

vectoriel normé

(

Y,

k k

Y

)

, que le notera

X ,

→

Y

on entend de manière générale les

faits suivants. D’une part

X

est un sous-espace vectoriel de

Y

et d’autre part l’iden-

tité est un opérateur continue. En d’autres termes, l’identité étant linéaire, par un
résultat d’analyse fonctionnelle, la continuité de l’opérateur identité est équivalente
à l’existence d’une constante

C

(indépendante de toute fonction considérée) telle

que

k

u

k

Y

≤

C

k

u

k

X

, u

∈

X

Résultat que l’on exploitera à maintes reprises. Parfois, on ne requiert par la pre-
mière condition, et de plus, l’application identité est allégée pour justifier certains
plongements canoniques, notamment en ce qui concerne les opérateurs de traces.
Pour ces cas particuliers, nous redéfinirons au besoin ce que l’on entendra par les
symboles

X ,

→

Y

.

Un grand nombre d’auteurs ont traités ces plongements par différents types d’ar-
guments. La première approche regroupe des résultats concernant la théorie des
potentiels et la seconde fait appel à des résultats de moyennes et de combinatoire.

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

11

Chacune a ses avantages et les résultats clés sont de difficulté théorique égale. Nous
privilégierons l’utilisation de la seconde. Pour l’obtention des résultats par la théo-
rie des potentiels, le lecteur pourra consulter l’ouvrage de Adams [

1

]. Définissons en

premier lieu un nouvel espace de fonctions, qui sera notre principal centre d’intérêt
par la suite.

Définition

2.13

.

L’espace

W

k,p

0

(Ω)

est défini par la fermeture de l’espace

C

∞

0

(Ω)

, relativement à la norme (8).

L’avantage que porte les espaces

W

k,p

0

(Ω)

sur les espaces

W

k,p

(Ω)

est princi-

palement illustrés par les plongements de Sobolev. En effet, tous les résultats que
nous démontrerons ne sont en général pas valables pour les espaces

W

k,p

(Ω)

avec

Ω

domaine ouvert quelconque. Ils le sont cependant, moyennant certaines hypothèses
géométriques sur le domaine

Ω

considéré. Nous nous bornerons à démontrer les ré-

sultats sur les espaces

W

k,p

0

(Ω)

. Pour les résultats généraux sur les espaces

W

k,p

(Ω)

,

le lecteur pourra trouvé toutes les démonstrations dans l’ouvrage de Adams [

1

]. Ci-

tons cependant, que dans la plupart des cas, les espaces

W

k,p

0

(Ω)

et

W

k,p

(Ω)

ne

coïncident pas.

Définissons encore des espaces de fonctions que l’on considérera dans la suite,

tout particulièrement les espaces de Hölder. Nous démontrerons par la suite quelques
propriétés concernant ces espaces. En particulier, nous verrons que les espaces de
Sobolev, sous certaines hypothèses concernant les indices

k

,

n

et

p

, se plongent dans

de tels espaces. Nous reviendrons, suite à la définition de ces espaces, à ce que l’on
entend par de tels plongements.

Définition

2.14

.

Soient

Ω

⊂

R

n

,

0

< α

≤

1

et

m

un entier non négatif.

(1) On définit l’espace

C

m

B

(Ω)

par l’ensemble des fonction

C

m

(Ω)

telles que

toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à

m

sont bornées. On munit

l’espace

C

m

B

(Ω)

de la norme

k k

C

m

B

(Ω)

défini par

k

u

k

C

m

B

(Ω)

=

max

0

≤|

α

|≤

m

sup

x

∈

Ω

|

D

α

u

(

x

)

|

(2) De même, on définit l’espace

C

m

(Ω)

par

C

m

(Ω) =

{

u

∈

C

m

(Ω)

|

D

α

u

s’étend par continuité à

Ω

,

∀

0

≤

α

≤

m

}

muni de la norme

k k

C

m

(Ω)

défini par

k k

C

m

(Ω)

=

k

u

k

C

m

B

(Ω)

(3) Espaces de Hölder

Une fonction

u

est dite Hölder-continue d’exposant

ν

sur

Ω

si il existe une

constante

C

telle que

|

u

(

x

)

−

u

(

y

)

| ≤

C

|

x

−

y

|

ν

, x, y

∈

Ω

On note

C

0

,α

(Ω)

l’espace de toutes les fonctions

u

satisfaisant la condition

précédente sur

Ω

De même on note

C

m,α

(Ω) =

{

u

∈

C

m

(Ω)

|

D

α

u

∈

C

0

,ν

(Ω)

,

∀

0

≤

α

≤

m

}

On muni les espaces de Hölder de la norme

k k

C

m,ν

(Ω)

définie par

12

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

k

u

k

C

m,ν

(Ω)

=

k

u

k

C

m

(Ω)

+

max

0

≤|

α

|≤

m

sup

x, y

∈

Ω

x

6

=

y

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

ν

Proposition

2.15

.

Tous les espaces définis précédemment, munis de leur norme

respective sont des espaces de Banach.

Bien entendu, toute fonction

u

∈

W

k,p

(Ω)

, n’est à priori que définie presque

partout sur

Ω

. Cette fonction représente un membre particulier d’une classe de

fonctions égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. On parlera ainsi d’un
plongement du type

W

k,p

(Ω)

,

→

C

m,ν

(Ω)

si pour toute fonction

u

∈

W

k,p

(Ω)

, sa "classe d’équivalence" contient un membre

b

u

∈

C

m,ν

(Ω)

tel que

k

b

u

k

C

m,ν

(Ω)

≤

C

k

u

k

W

k,p

(Ω)

Comme précédemment mentionné, nous ne distinguera dès lors pas

u

et

b

u

.

Théorème

2.16

.

(Plongements de Sobolev)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

k

un entier positif,

j

un entier non négatif et

1

≤

p <

∞

un réel. Alors

Cas 1

Si

kp < n

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

W

j,q

0

(Ω)

,

∀

q

∈

p,

n p

n

−

kp

(13)

Cas 2

Si

kp

=

n

(14)

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

W

j,q

0

(Ω)

,

∀

q

∈

[

p,

∞

)

Cas 3

Si

kp > n

.

(a)

Si

kp > n >

(

k

−

1)

p

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j,ν

(Ω)

,

∀

0

< ν

≤

k

−

n

p

(15)

En particulier

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j

(Ω)

(16)

(b)

Si

(

k

−

1)

p

=

n

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j,ν

(Ω)

,

∀

0

< ν <

1

(17)

En particulier

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j

(Ω)

(18)

Remarques

2.17

.

(1) Si

Ω

est de mesure finie, il est évident, en vertu du théorème 5.1, que les

résultats du théorème précédant restent également valables pour

q

∈

[1

, p

]

.

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

13

(2) Il nous suffira de traiter les plongements considérant

j

= 0

. En effet,

supposons par exemple le plongement

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

établi, avec

q

satisfaisant aux hypothèses respectives.

Alors, quelle que soit

u

∈

W

j

+

k,p

0

(Ω)

, on a

D

α

u

∈

W

k,p

0

(Ω)

pour

|

α

| ≤

j

et ainsi

D

α

u

∈

L

q

(Ω)

. Il en découle que

u

∈

W

j,q

0

(Ω)

et

k

u

k

W

j,q

(Ω)

=

X

|

α

|≤

j

k

D

α

u

k

L

q

(Ω)

≤

C

1

X

|

α

|≤

j

k

D

α

u

k

W

k,p

(Ω)

≤

C

2

k

u

k

W

j

+

k,p

(Ω)

et ainsi

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

W

j,q

0

(Ω)

(3) Par densité, ils nous suffira, dans le plupart des cas, de traiter dans un

premier temps les plongements considérant

u

∈

C

∞

0

(Ω)

. L’avantage étant

que les dérivées partielles au sens des distributions peuvent être remplacées
par celles au sens usuel.

Notation

2.18

.

Pour

α

= (0

, ...,

0

,

1

,

0

, ...

0)

un multi-indice tel que

|

α

|

= 1

dont l’élément non nul se trouve à la

i

-ième position, nous noterons

D

α

u

=

D

i

u

.

Dans les paragraphes qui suivent, nous allons démontrés ce théorème. Nous

traiterons chaque cas les eux après les autres.

Nous utiliserons à maintes reprises le lemme suivant, dont on trouvera une

preuve simple dans l’ouvrage d’Adams [

1

].

Lemme

2.19

.

Soient

u

∈

W

k,p

0

(Ω)

. Posons

e

u

=

u

(

x

)

s

i

x

∈

Ω

0

s

i

x

∈

Ω

c

Si

|

α

| ≤

k

, alors

D

α

e

u

=

g

D

α

u

dans le sens des distributions. En d’autres termes

e

u

∈

W

k,p

(

R

n

)

et

k

e

u

k

W

k,p

(

R

n

)

=

k

u

k

W

k,p

(Ω)

Ce lemme nous permet alors de ne plus nous soucier du domaine

Ω

considéré.

Pour nos besoins, nous ne traitons que des domaines ouverts de

R

n

. Cependant

grâce à ce lemme, on se laisse convaincre que certains des résultats suivants sont
valables pour des ouverts

Ω

quelconques.

3.1. Cas

kp < n

.

Théorème

2.20

.

(Sobolev, Gagliardo, Nirenberg)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert et

1

≤

p < n

un réel. Alors,

(19)

W

1

,p

0

(Ω)

,

→

L

p

∗

(Ω)

où

p

∗

est donné par

p

∗

=

n p

n

−

p

14

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

De plus, il existe une constante

C

=

C

(

n, p

)

telle que

k

u

k

L

p

∗

(Ω)

≤

C

k

Du

k

L

p

(Ω)

∀

u

∈

W

1

,p

0

(Ω)

(20)

Remarque

2.21

.

Pour des raisons mnémotechniques, on remarque sans diffi-

culté que

p

∗

est donné par la relation suivante :

1

p

∗

=

1

p

−

1

n

Pour la preuve de ce théorème, on utilisera le lemme suivant.

Lemme

2.22

.

Soient

n

≥

2

et

f

1

, ..., f

n

∈

L

n

−

1

(

R

n

−

1

)

. Pour

x

∈

R

n

et

1

≤

i

≤

n

, on pose

e

x

i

= (

x

1

, ..., x

i

−

1

, x

i

+1

, ..., x

n

)

∈

R

n

−

1

Alors la fonction

f

(

x

) =

n

Y

i

=1

f

i

(

e

x

i

)

, x

∈

R

n

appartient à

L

1

(

R

n

)

et

k

f

k

L

1

(

R

n

)

≤

n

Y

i

=1

k

f

i

k

L

n

−

1

(

R

n

−

1

)

La preuve de ce lemme s’obtient sans réelle difficulté par induction. On en

trouvera une preuve par exemple dans l’ouvrage de Brezis [

2

].

Démonstration.

(Théorème 2.20)

Supposons

p

= 1

et

u

∈

C

∞

0

(Ω)

. Prolongeons

u

par

0

en dehors de

Ω

. Alors, la

fonction ainsi obtenue, que l’on notera également

u

appartient à

C

∞

0

(

R

n

)

. Pour

x

∈

Ω

et

1

≤

i

≤

n

arbitrairement choisis, on a

u

(

x

) =

Z

x

i

−∞

D

i

u

(

x

1

, ..., t, ..., x

n

)

dt

et par suite

|

u

(

x

)

|

=

Z

x

i

−∞

|

D

i

u

(

x

1

, ..., t, ..., x

n

)

|

dt

≤

Z

R

|

D

i

u

(

x

1

, ..., t, ..., x

n

)

|

dt

=:

h

i

(

e

x

i

)

Ce qui entraîne que

|

u

(

x

)

|

n

≤

n

Y

i

=1

h

i

(

e

x

i

)

⇒

f

(

x

) :=

|

u

(

x

)

|

n

n

−

1

≤

n

Y

i

=1

h

i

(

e

x

i

)

1

n

−

1

=:

n

Y

i

=1

f

i

(

e

x

i

)

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

15

Par le lemme 2.22

k

u

k

n/

(

n

−

1)

L

n/

(

n

−

1)

(

R

n

)

=

k

f

k

L

1

(

R

n

)

≤

n

Y

i

=1

k

f

i

k

L

n

−

1

(

R

n

−

1

)

=

n

Y

i

=1

Z

R

n

−

1

|

f

i

(

e

x

i

)

|

n

−

1

d

e

x

i

1

n

−

1

=

n

Y

i

=1

Z

R

n

−

1

Z

R

|

D

i

u

(

x

1

, ..., t, ...x

n

)

|

dt

d

e

x

i

1

n

−

1

=

n

Y

i

=1

Z

R

n

|

D

i

u

(

x

)

|

dx

1

n

−

1

ou encore

k

u

k

L

n/

(

n

−

1)

(

R

n

)

≤

n

Y

i

=1

Z

R

n

|

D

i

u

(

x

)

|

dx

1

n

Utilisant la relation entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique, on
obtient

k

u

k

L

n/

(

n

−

1)

(

R

n

)

≤

1

n

Z

R

n

n

X

i

=1

|

D

i

u

(

x

)

|

dx

≤

√

n

n

k

Du

k

L

1

(

R

n

)

Supposons maintenant

1

≤

p < n

et

u

∈

C

∞

0

(Ω)

. Par un même prolongement et

appliquant l’inégalité précédant à

|

u

|

t

pour

t >

1

on trouve, grâce à l’inégalité de

Hölder,

|

u

|

t

L

n/

(

n

−

1)

(

R

n

)

≤

√

n

n

D

(

|

u

|

t

)

L

1

(

R

n

)

=

t

√

n

n

|

u

|

t

−

1

|

Du

|

L

1

(

R

n

)

≤

t

√

n

n

|

u

|

t

−

1

L

p

0

(

R

n

)

k

Du

k

L

p

(

R

n

)

avec

p

0

=

p

p

−

1

Ou encore

Z

R

n

|

u

|

t n

n

−

1

dx

n

−

1

n

≤

t

√

n

n

Z

R

n

|

u

|

(

t

−

1)

p

p

−

1

dx

p

−

1

p

k

Du

k

L

p

(

R

n

)

(21)

Choisissons

t

tel que

t n

n

−

1

=

(

t

−

1)

p

p

−

1

⇔

t

=

(

n

−

1)

p

n

−

p

L’inégalité (21) devient

k

u

k

L

np/

(

n

−

p

)

(Ω)

=

k

u

k

L

np/

(

n

−

p

)

(

R

n

)

≤

t

√

n

|{z}

:=

C

k

Du

k

L

p

(

R

n

)

=

C

k

Du

k

L

p

(Ω)

≤

C

k

u

k

W

1

,p

(Ω)

(22)

Supposons maintenant

u

∈

W

1

,p

0

(Ω)

Soit alors

{

u

n

}

n

∈

N

⊂

C

∞

0

(Ω)

une suite telle que

u

n

→

u

dans

W

1

,p

(Ω)

. Soit

ε >

0

16

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

quelconque. Par définition, il existe

N

∈

N

tel que pour tout

n > m

≥

N

k

u

n

−

u

m

k

W

1

,p

(Ω)

< ε/C

D’où, appliquant l’inégalité (22) à la différence

u

n

−

u

m

, on obtient

k

u

n

−

u

m

k

L

p

∗

(Ω)

< ε

Autrement dit la suite

{

u

n

}

n

∈

N

est de Cauchy dans l’espace de Banach

L

p

∗

(Ω)

,

ainsi

u

∈

L

p

∗

(Ω)

Corollaire

2.23

.

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

k

un entier non négatif,

1

≤

p <

∞

un réel tel que

kp < n

. Posons

p

∗

=

n p

n

−

kp

Alors,

(23)

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

p

∗

(Ω)

Remarque

2.24

.

Il est parfois plus commode de se souvenir que le réel

p

∗

du

corollaire 2.23 est donné par

1

p

∗

=

1

p

−

k

n

Démonstration.

Par récurrence sur

k

.

(1) Pour

k

= 1

, c’est le résultat du théorème 2.20.

(2) Supposons

k

≥

2

et le résultat vrai pour

k

−

1

, i.e., pour toute fonction

v

∈

W

k

−

1

,p

0

(Ω)

,

k

v

k

L

np

n

−

(

k

−

1)

p

(Ω)

≤

C

k

v

k

W

k

−

1

,p

(Ω)

Posons

q

k

=

np

n

−

kp

. Soit alors une fonction

u

∈

W

k,p

0

(Ω)

arbitrairement

choisie et supposons

kp < n

. Par l’injection naturelle de l’espace de So-

bolev

W

k,p

0

(Ω)

dans l’espace de Sobolev

W

k

−

1

,p

0

(Ω)

, il en découle que la

fonction

u

appartient à l’espace

W

k

−

1

,p

0

(Ω)

et qu’il existe une constante

C

telle que

k

u

k

L

qk

−

1

(Ω)

≤

C

k

v

k

W

k

−

1

,p

(Ω)

Ainsi, on a

k

u

k

W

1

,qk

−

1

(Ω)

=

k

u

k

L

qk

−

1

(Ω)

+

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

qk

−

1

(Ω)

≤

C

(

n

+ 1)

k

u

k

W

k,p

(Ω)

car chacune des fonctions

D

i

u

appartient à l’espace de Sobolev

W

k

−

1

,p

0

(Ω)

.

Or, vu que

kp < n

, on a

q

k

−

1

< n

et ainsi, par le théorème 2.20, il existe

une constante

C

0

telle que

k

u

k

L

q

(Ω)

≤

C

0

k

u

k

W

1

,qk

−

1

(Ω)

avec

q

donné par

q

=

nq

k

−

1

n

−

q

k

−

1

=

np

n

−

kp

=

p

∗

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

17

Posant

C

00

=

C

0

C

(

n

+ 1)

, on a

k

u

k

L

p

∗

(Ω)

≤

C

00

k

u

k

W

k,p

(Ω)

(3) On conclue par induction.

Corollaire

2.25

.

(Généralisation du corollaire 2.23)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

j, k

deux entiers non négatifs,

1

≤

p <

∞

.

Supposons

kp < n

. Posons

p

∗

=

n p

n

−

kp

Alors, on a les plongements suivants :

(24)

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

W

j,p

∗

0

(Ω)

De plus, grâce a l’inégalité d’interpolation, on a

(25)

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

W

j,q

0

(Ω)

Quel que soit

q

∈

[

p, p

∗

]

.

3.2. Cas

kp

=

n

.

Dans ce paragraphe, nous allons traiter le cas limite

kp

=

n

.

Nous supposerons dans un premier temps que

k

= 1

et nous déduirons le résultat

par induction.

Théorème

2.26

.

(Cas limite

p

=

n

)

Soit

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert. Alors

(26)

W

1

,n

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

,

∀

q

∈

[

n,

∞

)

Démonstration.

Soit

u

∈

C

Ω

0

(

∞

)

quelconque. Par le Lemme 2.19 étendons

u

par

0

en dehors de

Ω

(1) Supposons de plus

p

= 1

Alors, vu que

kp

=

n

avec

k

= 1

, on a

n

= 1

. Vu que

u

est à support

compact, on a pour

x

∈

R

u

(

x

) =

Z

x

−∞

u

0

(

t

)

dt

Ainsi

|

u

(

x

)

| ≤

Z

x

−∞

|

u

0

(

t

)

|

dt

≤ k

u

0

k

L

1

(

R

)

≤ k

u

k

W

1

,

1

(

R

)

=

k

u

k

W

1

,

1

(Ω)

D’où,

k

u

k

L

∞

(Ω)

≤ k

u

k

W

1

,

1

(Ω)

Ainsi, vu que

u

∈

L

1

(Ω)

, grâce à l’inégalité d’interpolation il existe

θ

∈

[0

,

1]

tel que

k

u

k

L

q

(Ω)

≤ k

u

k

θ
L

1

(Ω)

k

u

k

1

−

θ

L

∞

(Ω)

≤ k

u

k

W

1

,

1

(Ω)

quel que soit

q

∈

[1

,

∞

]

.

18

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

(2) Supposons maintenant

p >

1

Dans ce cas, l’égalité

kp

=

n

avec

k

= 1

impose

n >

1

. De ce fait,

1

n

−

1

a

un sens. Procédant comme dans la preuve du théorème 2.20, on obtient,
quel que soit

t >

1

k

u

k

t

L

t n

n

−

1

(

R

n

)

≤

t

k

u

k

t

−

1

L

(

t

−

1)

n

n

−

1

(

R

n

)

 

n

Y

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

!

1

/n

Utilisant à nouveau l’inégalité entre les moyennes géométriques et arith-
métiques, l’inégalité précédente devient

k

u

k

t

L

t n

n

−

1

(

R

n

)

≤

t

k

u

k

t

−

1

L

(

t

−

1)

n

n

−

1

(

R

n

)

1

n

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

Ou encore

k

u

k

L

t n

n

−

1

(

R

n

)

≤ k

u

k

t

−

1

t

L

(

t

−

1)

n

n

−

1

(

R

n

)

t

p

t/n

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

!

1

t

Posons alors

a

=

t

p

t/n

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

!

1

t

b

=

k

u

k

t

−

1

t

L

(

t

−

1)

n

n

−

1

(

R

n

)

p

=

t

p

0

=

t

t

−

1

Appliquant l’inégalité de Young

a b

≤

a

p

p

+

b

p

0

p

0

on en déduit l’inégalité

suivante

k

u

k

L

t n

n

−

1

(

R

n

)

≤

1

n

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

+

t

−

1

t

k

u

k

L

(

t

−

1)

n

n

−

1

(

R

n

)

≤

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

+

k

u

k

L

(

t

−

1)

n

n

−

1

(

R

n

)

(27)

car

t, n >

1

.

Posons

t

=

n

. L’inégalité précédente devient

k

u

k

L

n

2

n

−

1

(

R

n

)

≤

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

+

k

u

k

L

n

(

R

n

)

=

k

u

k

W

1

,p

(

R

n

)

=

k

u

k

W

1

,p

(Ω)

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

19

Appliquant alors l’inégalité d’interpolation (104), on a pour

q

∈

h

n,

n

2

n

−

1

i

quelconque,

W

1

,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

Posant maintenant

t

=

n

+ 1

dans l’inégalité (27), on trouve

k

u

k

L

(

n

+1)

n

n

−

1

(

R

n

)

≤

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

n

(

R

n

)

+

k

u

k

L

n

2

n

−

1

(

R

n

)

(28)

≤

2

k

u

k

W

1

,p

(Ω)

(29)

Appliquant à nouveau l’inégalité d’interpolation (104), il en découle que

pour

q

∈

h

n

2

n

−

1

,

(

n

+1)

n

n

−

1

i

quelconque

W

1

,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

Réitérant cet argument avec

t

=

n

+ 2

, n

+ 3

, ...

on aboutit à

k

u

k

L

q

(Ω)

≤

C

k

u

k

W

1

,p

(Ω)

(30)

pour tout

u

∈

C

∞

0

(Ω)

et tout

q

∈

[

n,

∞

)

L’inégalité (30) se prolonge alors par densité à toute fonction

u

∈

W

1

,p

0

(Ω)

Corollaire

2.27

.

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

k

un entier positif et

1

≤

p <

∞

un réel. Supposons

kp

=

n

. Alors

(31)

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

,

∀

q

∈

[

p,

∞

)

Démonstration.

Par induction sur

k

.

(1) Si

k

= 1

, le résultat découle du théorème 2.26.

(2) Soit

k

≥

2

quelconque et supposons le résultat vrai pour tout

1

≤

l

≤

k

−

1

,

à savoir

W

l,p

l

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

pour tout

q

∈

[

p

l

,

∞

)

avec

p

l

=

n

l

.

Soit alors

1

≤

p <

∞

tel que

kp

=

n

. Montrons que

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

pour tout

q

∈

[

p,

∞

)

.

Posons

k

0

= 1

et

j

=

k

−

1

. Par le 2.25, on a, vu que

k

0

p

=

p < n

W

k,p

0

(Ω) =

W

j

+

k

0

,p

0

(Ω)

,

→

W

j,p

∗

0

(Ω)

avec

p

∗

=

n p

n

−

k

0

p

=

np

n

−

p

.

Or,

k

−

1 =

n

p

−

1 =

n

−

p

p

et par conséquent

(

k

−

1)

p

∗

=

n

−

p

p

np

n

−

p

=

n

.

Par hypothèse d’induction

W

k

−

1

,p

∗

0

(Ω) =

W

j,p

∗

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

pour tout

q

∈

[

p

∗

,

∞

)

. En composant nos différents plongements on trouve

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

20

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

pour tout

q

∈

[

p

∗

,

∞

)

. Finalement, vu que trivialement

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

p

(Ω)

On applique l’inégalité d’interpolation (104) pour en déduire qu’également

W

k,p

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

pour tout

q

∈

[

p, p

∗

]

.

Corollaire

2.28

.

(généralisation du théorème 2.27)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

k

un entier positif,

j

un entier non négatif et

1

≤

p <

∞

un réel. Supposons

kp

=

n

. Alors

(32)

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

W

j,q

0

(Ω)

,

∀

q

∈

[1

,

∞

)

3.3. Cas

kp > n

.

Dans ce paragraphe, nous allons voir les cas particuliers où

kp > n

. Mais avant

cela, citons quelques propriétés de plongements entre les espaces de Hölder.

Théorème

2.29

.

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

m

un entier non négatif,

0

< ν < λ

≤

1

deux réels. Alors

C

m

+1

(Ω)

,

→

C

m

(Ω)

(33)

C

m

+1

,λ

(Ω)

,

→

C

m,λ

(Ω)

(34)

C

m,λ

(Ω)

,

→

C

m

(Ω)

(35)

C

m,λ

(Ω)

,

→

C

m,ν

(Ω)

(36)

Démonstration.

Les plongements (33)-(35) découle immédiatement des définitions. Pour établir (36),
on remarque dans un premier temps que si

x, y

sont deux points de

Ω

qui satisfont

0

<

|

x

−

y

|

<

1

alors

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

ν

=

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

ν

|

x

−

y

|

λ

−

ν

|

x

−

y

|

λ

−

ν

≤

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

λ

quel que soit

α

, un multi-indice d’ordre inférieur ou égal a

m

et pour toute fonction

u

∈

C

m,λ

(Ω)

. Par conséquent

sup

x, y

∈

Ω

0

<

|

x

−

y

|

<

1

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

ν

≤

sup

x,y

∈

Ω

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

λ

De même si

x, y

vérifient

|

x

−

y

| ≥

1

on a

sup

x, y

∈

Ω

0

<

|

x

−

y

|

<

1

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

ν

≤

sup

x,y

∈

Ω

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

≤

2

k

u

k

C

m

(Ω)

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

21

De nos deux inégalités, on en déduit que

k

u

k

C

m,ν

(Ω)

≤

2

k

u

k

C

m,λ

(Ω)

Théorème

2.30

.

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert et

n < p <

∞

un réel.

Alors,

W

1

,p

0

(Ω)

,

→

C

0

(Ω)

(37)

Plus encore

W

1

,p

0

(Ω)

,

→

C

0

,ν

(Ω)

(38)

avec

ν

= 1

−

n/p

.

Démonstration.

Soit

u

∈

C

∞

0

(Ω)

. Grâce au lemme 2.19, pour tout

x

∈

R

n

\

Ω

posons

u

(

x

) = 0

.

Soit alors

Q

un cube ouvert, contenant 0, dont les côtés, de longueur

r

, sont paral-

lèles aux axes de coordonnées.
Pour

x

∈

Q

, on a

u

(

x

)

−

u

(0) =

Z

1

0

d

dt

u

(

t x

)

dt

D’où

(39)

|

u

(

x

)

−

u

(0)

| ≤

Z

1

0

n

X

i

=1

|

x

i

| |

D

i

u

(

t x

)

|

dt

≤

r

n

X

i

=1

Z

1

0

|

D

i

u

(

t x

)

|

dt

Posons

u

=

1

|

Q

|

Z

Q

u

(

x

)

dx

, la moyenne de

u

sur

Q

. Par intégration sur

Q

on trouve

|

u

−

u

(0)

|

=

1

|

Q

|

Z

Q

u

(

x

)

dx

−

u

(0)

=

1

|

Q

|

Z

Q

u

(

x

)

dx

−

1

|

Q

|

Z

Q

u

(0)

dx

≤

1

|

Q

|

Z

Q

|

u

(

x

)

−

u

(0)

|

dx

≤

r

|

Q

|

Z

Q

dx

n

X

i

=1

Z

1

0

|

D

i

u

(

t x

)

|

dt

par

(39)

=

1

r

n

−

1

Z

1

0

dt

n

X

i

=1

Z

Q

|

D

i

u

(

t x

)

|

dx

=

1

r

n

−

1

Z

1

0

dt

n

X

i

=1

Z

tQ

|

D

i

u

(

y

)

|

dy

t

n

Ainsi, vu que

tQ

⊂

Q

pour

0

< t <

1

, grâce à l’inégalité de Hölder, on a

Z

tQ

|

D

i

u

(

y

)

|

dy

≤ k

D

i

u

k

L

p

(

Q

)

|

tQ

|

1

/p

0

22

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

D’où

|

u

−

u

(0)

| ≤

1

r

n

−

1

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

Q

)

!

r

n/p

0

Z

1

0

t

n/p

0

t

n

dt

≤

C r

1

−

n/p

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

Q

)

!

≤

C

0

r

1

−

n/p

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

R

n

)

!

Par translation, cette inégalité reste valable pour tout cube

Q

de côté

r

contenant

x

, i.e.

|

u

−

u

(

x

)

| ≤

C

0

r

1

−

n/p

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

R

n

)

!

(40)

pour tout

x

∈

Q

.

Soient

x

∈

Ω

et

Q

un cube de côté

r

= 1

contenant

x

. Par l’inégalité (40) on en

déduit que

|

u

(

x

)

| ≤ |

u

|

+

C

0

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

R

n

)

!

≤

C

00

 

k

u

k

L

p

(

R

n

)

+

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

R

n

)

!

=

C

00

k

u

k

W

1

,p

(

R

n

)

=

C

00

k

u

k

W

1

,p

(Ω)

De plus, Vu que

u

est à support compact,

u

est uniformément continu et donc

u

∈

C

0

(Ω)

Par l’inégalité du triangle appliquée à l’inégalité (40), on obtient

|

u

(

x

)

−

u

(

y

)

| ≤

2

C

0

r

1

−

n/p

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(

R

n

)

!

pour tout

x, y

∈

Q

.

Pour

x, y

∈

Ω

, il existe un cube

Q

⊂

R

n

de côté

r

= 2

|

x

−

y

|

contenant

x

et

y

, ainsi

|

u

(

x

)

−

u

(

y

)

| ≤

K

 

n

X

i

=1

k

D

i

u

k

L

p

(Ω)

!

|

x

−

y

|

1

−

n/p

où

K

=

K

(

n, p

)

. Ainsi

u

∈

C

0

,ν

(Ω)

.

Si maintenant,

u

∈

W

1

,p

0

(Ω)

, on utilise une suite régularisante

u

i

∈

C

∞

0

(Ω)

qui

converge vers

u

dans

W

1

,p

0

(Ω)

et telle que

u

i

(

x

)

converge vers

u

(

x

)

pour presque

tout

x

∈

Ω

. On obtient que la suite est fondamental pour la norme du sup sur

Ω

.

Corollaire

2.31

.

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

k

un entier positif et

1

≤

p <

∞

un réel. Supposons

kp > n

. Alors

(1)

Si

kp > n >

(

k

−

1)

p

W

k,p

0

(Ω)

,

→

C

0

,ν

(Ω)

,

(41)

Avec

ν

=

k

−

n

p

. En particulier

W

k,p

0

(Ω)

,

→

C

0

(Ω)

(42)

3. LES PLONGEMENTS DE SOBOLEV

23

(2)

Si

n

= (

k

−

1)

p

W

k,p

0

(Ω)

,

→

C

0

,ν

(Ω)

(43)

Pour

0

< ν <

1

quelconque. En particulier

W

k,p

0

(Ω)

,

→

C

0

(Ω)

(44)

Démonstration.

(1) Supposons

n >

(

k

−

1)

p

.

On a, par le corollaire 2.25,

W

k,p

0

(Ω) =

W

1+(

k

−

1)

,p

0

(Ω)

,

→

W

1

,p

∗

0

(Ω)

avec

p

∗

=

np

n

−

(

k

−

1)

p

. D’où

1

−

n

p

∗

= 1

−

(

n

−

(

k

−

1)

p

)

n

np

=

k

−

n

p

Par le théorème 2.30

W

1

,p

∗

0

(Ω)

,

→

C

0

,ν

(Ω)

avec

ν

= 1

−

n

p

∗

=

k

−

n

p

(2) Supposons

n

= (

k

−

1)

p

.

Par le même raisonnement, et appliquant cette fois-ci le corollaire 2.32

W

k,p

0

(Ω) =

W

1+(

k

−

1)

,p

0

(Ω)

,

→

W

1

,q

0

(Ω)

pour tout

p

≤

q <

∞

. Soit alors

0

< ν <

1

quelconque. Il existe

p

≤

q <

∞

tel que

q > n

et

ν <

1

−

n

q

. Par le théorème 2.30

W

1

,q

0

(Ω)

,

→

C

0

,λ

(Ω)

avec

λ

= 1

−

1

q

. Finalement, vu que

ν < λ

, on a, grâce au théorème 2.29

C

0

,λ

(Ω)

,

→

C

0

,ν

(Ω)

Composant ces deux plongements, on obtient bien le résultat cherché.

Corollaire

2.32

.

(Généralisation du corollaire 2.31)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert,

k

un entier positif et

1

≤

p <

∞

un réel.

Supposons

kp > n

≥

(

k

−

1)

p

. Alors

(1)

Si

n >

(

k

−

1)

p

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j,ν

(Ω)

,

(45)

Avec

ν

=

k

−

n

p

. En particulier

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j

(Ω)

(46)

24

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

(2)

Si

n

= (

k

−

1)

p

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j,ν

(Ω)

(47)

Pour

0

< ν <

1

quelconque. En particulier

W

j

+

k,p

0

(Ω)

,

→

C

j

(Ω)

(48)

Remarque

2.33

.

Si

kp > n

de manière générale, il existe

0

≤

j < k

tel que

(

k

−

j

)

p > n

≥

(

k

−

j

−

1)

p

posant

k

0

=

k

−

j

, on a

W

k,p

0

(Ω) =

W

j

+

k

0

,p

0

(Ω)

. On est alors ramené à l’un des

deux cas précédant.

4. Extension de domaines

On connaît désormais les principaux résultats pour les espaces

W

k,p

0

(Ω)

.

L’idée serait alors de travailler sur de tels espaces, remplaçant les espaces

W

k,p

(Ω)

par les espaces

W

k,p

0

(Ω

0

)

pour

Ω

0

un domaine borné contenant l’adhérence de

Ω

.

Sous certaine hypothèse, à savoir pour des domaines

Ω

suffisamment réguliers et

bornés, il existe un opérateur continu

L

:

W

k,p

(Ω)

→

W

k,p

(

R

n

)

ayant les propriétés suivantes

(1)

L

(

u

)(

x

)

|

Ω

=

u

(

x

)

p.p.

x

∈

Ω

(2) il existe une constante

C

=

C

(

k, p

)

telle que

k

L

(

u

)

k

W

k,p

(

R

n

)

≤

C

k

L

(

u

)

k

W

k,p

(Ω)

Par suite, on considère une fonction

f

∈

C

∞

0

(

R

n

)

telle que

f

≡

1

sur

Ω

. Ainsi, si

u

∈

W

k,p

(Ω)

, alors

f

·

L

(

u

)

∈

W

k,p

0

(Ω

0

)

où

Ω

0

est un domaine borné contenant le

support de la fonction

f

. Les résultats des sections précédents (plongements) sont

alors valable moyennant la chaîne d’inégalités suivantes, dans le cas où l’injection

W

k,p

0

(Ω

0

)

,

→

L

q

(Ω

0

)

est vérifiée :

k

u

k

L

q

(Ω)

≤

C

1

k

f

·

L

(

u

)

k

L

q

(Ω

0

)

≤

C

2

k

f

·

L

(

u

)

k

W

k,p

(Ω

0

)

=

C

2

k

f

·

L

(

u

)

k

W

k,p

(

R

n

)

par le lemme 2.19

≤

C

3

k

u

k

W

k,p

(Ω)

L’établissement de telles extensions est relativement difficile, nous ne démontrerons
de ce fait pas les résultats. On en trouvera les énoncés dans la plupart des ouvrages
cités en référence.

5. LE THÉORÈME DE COMPACITÉ DE RELLICH-KONDRACHOV

25

5. Le théorème de compacité de Rellich-Kondrachov

Nous avons traité les différentes injections continues possibles des espaces de

Sobolev les espaces de Banach de la forme

(

X,

k k

X

)

. Cependant, dans cette section

nous allons pousser ces résultats encore plus loin, pour montrer, du moins partiel-
lement, que certaine de ces injections possèdent des propriétés de compacités. Pour
motiver cela, rappelons quelques définitions et résultats essentielles.

Définition

2.34

.

Soient

(

X,

k k

X

)

et

A

⊂

X

un sous-ensemble.

(1) On dit que

A

est compact dans

X

si pour toute suite

{

a

n

}

n

∈

N

⊂

A

, il

existe une sous-suite

{

a

n

k

}

k

∈

N

qui converge dans

X

et dont la limite

a

∈

A

(2)

A

est dit précompact si

A

est compact.

Définition

2.35

.

Soient

X, Y

deux espaces normés,

L

:

X

→

Y

un opérateur

linéaire. Alors

(1)

L

est dit compact si

L

(

A

)

est précompacte dans

Y

, pour toute partie

bornée

A

⊂

X

.

(2)

L

est dit complètement continue si il est continue et compact. On notera

alors

X

→

Y

Théorème

2.36

.

(Ascoli-Arzela)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine borné,

K

⊂

C

0

(Ω)

. Alors

K

est précompact si les

conditions suivantes sont satisfaites :

(1)

Il existe une constante

M

telle que pour toute fonction

u

∈

K

et tout point

x

∈

Ω

|

u

(

x

)

| ≤

M

(2)

Pour tout

ε >

0

, il existe

δ >

0

, pour tout

x, y,

∈

Ω

avec

|

x

−

y

|

< δ

, on a

|

u

(

x

)

−

u

(

y

)

|

< ε

Corollaire

2.37

.

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert borné,

m

un entier non

négatif,

0

< ν < λ

≤

1

deux réels. Alors

C

m,λ

(Ω)

→

C

m

(Ω)

(49)

C

m,λ

(Ω)

→

C

m,ν

(Ω)

(50)

Démonstration.

Soit

F

un sous-ensemble borné dans

C

0

,λ

(Ω)

. Alors, il existe

M

telle que

k

u

k

C

0

,λ

(Ω)

≤

M

, pour toute fonction

u

∈ F

. D’où

|

u

(

x

)

−

u

(

y

)

| ≤

M

|

x

−

y

|

, pour toute fonction

u

∈ F

, et tout

x, y

∈

Ω

, ainsi par le théorème 2.36,

F

est précompact dans

C

0

(Ω)

, prouvant le résultat de (49) pour

m

= 0

.

Si

m

≥

1

, tout sous-ensemble borné dans

C

m,λ

(Ω)

l’est également dans

C

0

,λ

(Ω)

.

Par les considérations précédents, il existe une suite,

{

u

i

}

i

∈

N

⊂ F

convergente

vers

u

dans

C

0

(Ω)

. De plus, la suite

{

D

1

u

i

}

i

∈

N

est borné dans

C

0

,λ

(Ω)

. Il existe

donc une sous-suite de la suite

{

u

i

}

i

∈

N

, que l’on notera également

{

u

i

}

i

∈

N

telle

que

D

1

u

i

→

ψ

1

dans

C

0

(Ω)

. La convergence dans

C

0

(Ω)

étant une convergence

uniforme sur

Ω

, on a

ψ

1

=

D

1

u

. Réitérant ce procédé, on peut extraire une sous-

suite, toujours noté

{

u

i

}

i

∈

N

, telle que

D

α

u

i

→

D

α

u

dans

C

0

(Ω)

pour tout multi-

indice

α

vérifiant

0

≤ |

α

| ≤

m

. On a donc prouver la compacité de (49) de manière

26

2. LES ESPACES DE SOBOLEV DANS

R

n

générale.
Pour (50), on procède comme suit :

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

ν

=

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

|

x

−

y

|

λ

ν/λ

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

1

−

ν/λ

≤

C

|

D

α

u

(

x

)

−

D

α

u

(

y

)

|

1

−

ν/λ

(51)

Pour toute fonction

u

dans un sous-ensemble borné de

C

m,λ

(Ω)

. Ainsi l’inégalité

(51) nous dit toute suite bornée dans

C

m,λ

(Ω)

et convergente dans

C

m

(Ω)

converge

également dans

C

m,ν

(Ω)

. Ainsi, la compacité de (50) découle de celle de (49).

Le théorème qui suit est une version "

L

p

" du théorème d’Ascoli-Arzela. Nous

ne démontrerons pas ce résultat. Une preuve relativement technique, qui montre
en particulier la nécessité et la suffisance des hypothèses du théorème, peut être
trouvé dans l’ouvrage de Adams [

1

].

Théorème

2.38

.

(Riesz-Fréchet-Kolmogorov)

Soit

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert et soit

F

un sous-ensemble borné de

L

p

(Ω)

avec

1

≤

p <

∞

. Pour toute fonction

u

∈ F

on note

e

u

son extension par

0

en dehors de

Ω

. Supposons satisfaites les hypothèses suivantes :

Pour tout

ε >

0

, il existe

δ >

0

et un sous-domaine

ω

⊂⊂

Ω

tels que

(1)

Z

Ω

|

e

u

(

x

+

h

)

−

e

u

(

x

)

|

p

dx

1

/p

< ε

pour tout

h

∈

R

n

avec

|

h

|

< δ

et pour toute fonction

u

∈ F

.

(2)

k

u

k

L

p

(Ω

\

ω

)

< ε

, pour toute fonction

u

∈ F

.

Alors

F

est précompact dans

L

p

(Ω)

Théorème

2.39

.

(Rellich-Kondrachov)

Soient

Ω

⊂

R

n

un domaine ouvert borné,

k

un entier naturel,

j, m

deux entiers non

négatifs,

1

≤

p <

∞

un réel. Alors

(1)

Si

kp < n

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

W

j,q

0

(Ω)

,

∀

q

∈

1

,

n p

n

−

kp

(52)

(2)

Si

kp

=

n

(53)

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

W

j,q

0

(Ω)

,

∀

q

∈

[1

,

∞

)

(3)

Si

kp > n

.

(a)

Si

kp > n

≥

(

k

−

1)

p

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

C

j,ν

(Ω)

,

∀

ν

∈

0

, k

−

n

p

(54)

En particulier

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

C

j

(Ω)

(55)

5. LE THÉORÈME DE COMPACITÉ DE RELLICH-KONDRACHOV

27

(b)

Si

kp > n

(de manière générale)

W

k,p

0

(Ω)

→

C

m

(Ω)

,

∀

0

≤

m < k

−

n

p

(56)

W

j

+

k,p

0

(Ω)

→

W

j,q

0

(Ω)

,

∀

q

∈

[1

,

∞

]

(57)

Remarques

2.40

.

(1) Pour prouver la compacité des injections (52)-(55) et (57), il suffit de

considérer le cas

j

= 0

.

En effet, prenons par exemple (52) (les autres se traitent de manière si-
milaire).
Pour

j

≥

1

et pour toute suite bornée

{

u

i

}

i

∈

N

dans

W

j

+

k,p

0

(Ω)

, la suite

{

D

α

u

i

}

i

∈

N

est borné dans

W

k,p

0

(Ω)

pour tout multi-indice

α

vérifiant

|

α

| ≤

j

. Du fait que

W

k,p

0

(Ω)

→

L

q

(Ω)

,

∀

q

∈

h

1

,

np

n

−

kp

il est possible, par induction finie, d’y extraire une sous-suite

{

u

0

i

}

i

∈

N

telle

que la suite

{

D

α

u

0

i

}

i

∈

N

converge dans

L

q

(Ω)

pour tout multi-indice

α

avec

|

α

| ≤

j

.

Par construction, la suite

{

u

0

i

}

i

∈

N

converge dans

W

j,q

0

(Ω)

.

(2) Vu que

Ω

est borné,

C

0

(Ω)

,

→

L

q

(Ω)

,

∀

1

≤

q

≤ ∞

. Ainsi la compacité de

(57) découle immédiatement de celle de (56) (pour

j

= 0

).

Démonstration.

(1) Supposons

kp < n

Soit

F

un sous-ensemble borné dans

W

k,p

0

(Ω)

. Posons

Ω

j

=

{

x

∈

Ω

|

dist

(

x, ∂

Ω)

>

1

/j

}

Notons, pour toute fonction

u

∈ F

,

e

u

son extension par

0

en dehors de

Ω

.

Par l’inégalité de Hölder et le corollaire 2.23

Z

Ω

\

Ω

j

|

u

(

x

)

|

dx

≤

C

1

k

u

k

W

k,p

(Ω)

|

Ω

\

Ω

j

|

1

−

1

/p

∗

avec

p

∗

=

n p

n

−

kp

et

C

1

indépendante de

u

.

Vu que

Ω

est de volume fini, on peut choisir

j

suffisamment grand de sorte

que pour toute fonction

u

∈ F

Z

Ω

\

Ω

j

|

u

(

x

)

|

dx < ε

et de même pour tout

h

∈

R

n

(58)

Z

Ω

\

Ω

j

|

e

u

(

x

+

h

)

−

e

u

(

x

)

|

< ε/

2