DIOPHANTE ET L'ALGEBRE PRE-SYMBOLIQUE

Diophante et l'algèbre

Luis Radford

DIOPHANTE ET L'ALGÈBRE PRÉ-SYMBOLIQUE

(

Luis RADFORD

A l'hiver 1982, j'étais inscrit au cours du Professeur Georges Glaeser, de l'IREM de Strasbourg. Le
cours avait lieu les mercredis, l'après-midi. Je me rappelle très bien, en rentrant chez moi, le soir, sous
les flocons de neige, de mes efforts pour mettre un peu d'ordre dans mes idées, bousculées par les
magnifiques leçons de mon cher maître. Qu'il veuille bien accepter ce petit travail comme gage de ma
reconnaissance.

INTRODUCTION

L'étude du développement des idées mathématiques est devenue un sujet important dans le cadre de
l'enseignement: en effet, la détection des obstacles rencontrés au long de la formation d'une théorie et
la façon par laquelle ils ont été franchis peuvent donner aux professeurs une idée de la profondeur et
de la nature de ces obstacles, et les aider dans la façon de mener l'apprentissage chez leurs élèves.
Malheureusement, l'enseignement scientifique, tel qu'il est débité aujourd'hui, repose sur
l'enseignement des notions sous sa forme achevée, et nie, par là, l'histoire des sciences.

En ce qui concerne l'algèbre, on peut se poser un certain nombre de questions, intéressantes à plusieurs
points de vue: qu'est-ce qui est à l'origine de l'algèbre? Qu'est-ce que l'algèbre était au début? Quels
problèmes l'algèbre était-elle censée résoudre? Quel était le rapport entre l'arithmétique et l'algèbre?
Les réponses aux questions posées peuvent varier en fonction de ce que l'on comprend par

algèbre.

mot algèbre provient de l'expression arabe

al-jabr wa'l muqabala,

utilisée dans un texte écrit par Al-

Khwarizmi au 9

siècle ap. J.-C. L'expression arabe désigne les opérations d'addition, soustraction,

multiplication et division qu'on peut effectuer en vue de réduire une équation de premier ou de
deuxième degré à une forme canonique. L'algèbre est donc, au 9

siècle, l'art de réduire et de résoudre

des équations.

Dans la préface de son livre, contenue dans la traduction de Rosen, Al-Khwarizmi dévoile sa
conception de l'utilité de l'algèbre: problèmes d'héritage, partitions, constructions de canaux, calculs
géométriques, etc. Or, les problèmes ont toujours été à la base du développement des mathématiques.
Si on regarde les mathématiques qui nous sont parvenues des plus anciennes civilisations (la Chine,
l'Égypte, la Babylone, par exemple) on trouve des problèmes. Cependant, si on regarde de plus près,
on se rend compte qu'avec Diophante on assiste à une nouvelle façon de résoudre des problèmes.

Pour montrer le contraste, prenons l'exemple de la mathématique babylonienne, et considérons le
problème suivant :

Trouver les dimensions d'un rectangle d'aire

et dont la somme de la

base et de la hauteur est 20.

Avec les notations algébriques modernes, le problème s'écrit :

= 20

= 96.

Ce problème, dans lequel nous reconnaissons un problème de second degré, est appelé par Neugebauer
(Neugebauer, 1952) la

"forme normale".

Il était au cœur même des mathématiques babyloniennes.

Dans les centaines de problèmes contenus dans plus de 300 tablettes en rapport avec les
mathématiques qui nous sont parvenues de la période qui s'étend de 1800 av. J.-C. jusqu'à 300 av. J.-
C. (voir Neugebauer et Sachs, 1945), beaucoup de ces problèmes sont résolus en les ramenant à la

forme normale.

Cet article a été écrit dans le cadre d'une recherche subventionnée par le fond FCAR (Québec) (91-ER-0716). Il est est paru

dans la revue canadienne "Bulletin AMQ" en décembre 1991 – mars 1992 et reproduit avec son aimable autorisation.

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Diophante et l'algèbre

Luis Radford

La résolution babylonienne consiste à opérer sur les chiffres donnés, d'après une suite d'instructions
données par le scribe :

1. Diviser par 2 la somme des nombres: 20 + 2 = 10.

2. Élever au carré: 102 = 100.
3. Retrancher l'aire donnée, 96, à 100 : 100 - 96 = 4.

4. Extraire la racine carrée: 2.
5. La base est 10 + 2 = 12

La hauteur est 10 - 2 = 8.

Cet exemple nous permet de voir que la résolution babylonienne, telle qu'elle nous est parvenue,
repose sur un

enchaînement d'opérations numériques.

Il n'y a pas une inconnue mêlée aux calculs.

Diophante d'Alexandrie (3e siècle ap. J.-C.), au contraire, dans son œuvre

Arithmétique,

introduit une

inconnue sur laquelle il fait des calculs, pour résoudre des problèmes comme le précédent.

2. L'ARITHMÉTIQUE

2.1. La classification des nombres

L'Arithmétique

de Diophante constitue une collection de problèmes dont certains proviennent

probablement de Diophante même et d'autres faisaient partie de la tradition mathématique de l'époque.
Au début du Livre l, Diophante écrit que

l'Arithmétique

comporte treize livres. Or, des treize livres,

seulement six nous étaient parvenus, jusqu'à ce qu'en 1968 on découvrit un manuscrit - qui date de la
fin du XIIe siècle - d'une traduction du grec à l'arabe de quatre autres livres, dans une bibliothèque à
Meshed, une ville au nord-est de l'Iran.

Dans le livre 1 de

l'Arithmétique,

Diophante commence en faisant une classification des nombres: les

carrés, les cubes, les bicarrés (qui sont formés en prenant un carré qu'on multiplie par lui-même), les
carré-cubes (i.e. carrés multipliés par cubes, ayant même côté que ces carrés) et les cubocubes (ce que
nous appelons la sixième puissance d'un nombre:

)

Ces "catégories" sont donc engendrées par des

multiplications à partir des catégories des carrés et des cubes.

Diophante introduit des

symboles

pour désigner les nombres précédents : ce sont des "désignations

abrégées", dit-il.

carré :

∆

cube : K

carré-carré (ou bicarré) :

∆

carré-cube :

∆

cubo-cube : K

2.2. L'arithme

L'idée que se fait Diophante de la nature arithmétique des nombres se reflète dans la classification
précédente (qui diffère, par exemple, de celle de son prédécesseur Nichomaque de Gérase qui, lui, suit
une classification des nombres d'après l'école pythagoricienne, en termes de nombres pairs et impairs),
et va jouer un rôle important dans le type de problèmes sur lesquels il va s'arrêter. Mais ce sur quoi
repose l'édifice diophantien est l'idée

d'arithme

"une quantité indéterminée d'unités" .

Diophante élabore une théorie mathématique sur deux classes d'objets : les

nombres,

en tant que

nombres invariants déterminés, c'est-à-dire, comme

"formés d'une certaine quantité d'unités"

(Ver

Eecke, p. 1) (

) et

l'arithme.

Mais ce qui est très important est que l'arithme est assujetti aux même

traitements que les nombres invariants déterminés :

"'De même que les parties aliquotes des nombres sont dénommées d'une manière
correspondante à ces nombres, tel le tiers correspondant à trois, le quart correspondant à
quatre, nous dénommerons aussi les parties aliquotes des nombres renseignés plus haut

[les

arithmes]

d'une manière correspondante à ces nombres. Ainsi, pour l'arithme, nous dirons

Pour les traductions de

l'Arithmétique,

nous nous sommes basés sur les oeuvres de Ver Eecke, Sesiano et Rashed (cf.

bibliographie).

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l'inverse de l'arithme,. pour sa puissance, nous dirons l'inverse du carré

[...]" (Ver Eecke;

1926, p. 3).

La nature des nouveaux objets (l'arithme, son carré, son inverse, etc), dans la construction
diophantienne, est donc calquée sur celle des nombres concrets ou déterminés (

). Ces nouveaux objets

possèdent une nouvelle dimension par rapport aux "nombres invariants déterminés" : un arithme

est

nombre (dans le paragraphe cité ci-haut, Diophante se réfère aux arithmes comme

"les nombres

renseignés plus haut"

)

mais il est différent dans la mesure où il possède une quantité indéterminée

d'unités. D'ailleurs, cette différence est accentuée par le symbolisme utilisé : pour désigner les
nombres invariants déterminés, Diophante utilise le symbole

alors que pour l'arithme il

utilise la

lettre grecque

De plus, et de façon consistante avec son idée d'arithme, Diophante accorde à ces nouveaux objets les
mêmes propriétés opératoires qu'aux nombres invariants déterminés, comme on peut le voir dans
l'extrait suivant, pris de

l'Arithmétique

qui indique la façon d'opérer sur ce que nous appellerions des

monômes rationnels :

"L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme"

(

)

(Ver Eecke; 1926, p. 5)

Mais le but de cette construction est de résoudre des problèmes: l'extrait suivant, placé après
la classification des nombres et la façon de conduire les calculs sur les arithmes, selon des
règles dont nous venons de donner un exemple, indique comment mener les opérations des
expressions dans la

résolution de problèmes :

"Il est utile que celui qui aborde ce traité se soit exercé à l'addition, à la soustraction et à la
multiplication des espèces,

(

)

ainsi qu'à la manière d'ajouter des espèces positives et

négatives avec des coefficients différents à d'autres espèces qui sont elles-mêmes positives,
ou même positives et négatives; enfin à la manière de retrancher d'espèces positives et
d'autres négatives, d'autres espèces soit positives, soit aussi positives et négatives. Ensuite,
s'il résulte d'un problème que certaines expressions sont égales à des expressions identiques,
mais avec des coefficients différents, il faudra retrancher de part et d'autre les

[espèces]

semblables des semblables, jusqu'à

que l'on obtienne une seule espèce égale à une seule

espèce"

(

), (

2.3. L'arithme et la résolution de problèmes

Voyons maintenant comment tout cet appareillage conceptuel est mis en œuvre pour résoudre des
problèmes : prenons le problème qui correspond à la forme normale babylonienne qui se trouve dans
l'introduction de cet article (il s'agit du problème 27 du livre 1 de l'Arithmétique). Le problème est
énoncé par Diophante dans les termes suivants :

Trouver deux nombres dont la somme et leur produit forment des nombres donnés

Il s'agit donc d'un problème que nos notations actuelles permettent d'écrire ainsi:

x+y=a

Il faut dire ici que Diophante ne considère que les nombres rationnels positifs.

C'est-à-dire: (1

)(

) =

ειδο

espèces, c'est-à-dire monômes.

Il s'agit de transformer l'équation initiale et de l'amener à une équation de la forme

Il est important de noter ici que Ver Eecke (1926) traduit

ειδο

par expressions. Nous avons suivi, dans les premières

phrases de ce texte, Heath (1964) et Rashed (1985) qui traduisent

ειδο

par espèces. Par contre, nous avons laissé dans la

deuxième phrase du texte - qui est basé sur la traduction de Ver Eecke (1926, p. 8) -, la traduction

expressions

car, dans ce

contexte, Diophante se réfère à l'

ειδο

(i.e. à la

figure

ou la

forme)

qui résulte des opérations entre espèces. Nous

reviendrons sur cette distinction au §2.3.

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Diophante et l'algèbre

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"Proposons, dit Diophante, que la somme des nombres forme 20 unités, et que leur produit
forme

unités. Que l'excédent des nombres soit 2 arithmes. Dès lors, puisque la somme des

nombres est 20 unités, si nous la divisons en deux parties égales, chacune des parties sera la
moitié de la somme, ou 10 unités. Donc si nous ajoutons à l'une des parties, et si nous
retranchons de l'autre partie, la moitié de l'excédent des nombres, c'est-à-dire 1

arithme, il

s'établit de nouveau que la somme des nombres est 20 unités, et que leur excédent est

arithmes. En conséquence, posons que le plus grand nombre est 1

arithme augmenté de 10

unités qui sont la moitié de la somme des nombres, donc le plus petit nombre sera 10 unités
moins 1

arithme, et il s'établit que la somme des nombres est 20 unités et que leur excédent

est

arithmes.

Il faut aussi que le produit des nombres forme

unités. Or leur produit est 100 unités

moins un carré d'arithme, ce que nous égalons à 96 unités, et l'arithme devient

unités. En

conséquence, le plus grand nombre sera

unités et le plus petit sera

unités, et ces

nombres satisfont la proposition" (Ver Eecke,.

1926,

pp. 36-38).

Cette résolution nous permet de voir qu'avec Diophante nous sommes en présence d'un changement
conceptuel dans la façon d'aborder certains problèmes mathématiques : une quantité inconnue est mise
en scène et cette quantité, l'arithme, va être prise en compte dans les calculs : on va opérer avec elle.

Mais outre le statut numérique d'inconnue, l'arithme permet, à son tour, la création de nouveaux objets
mathématiques plus complexes: d'une part les

ειδο

ou espèces, c'est-à-dire les monômes, qui se

distinguent entre eux par leur nature arithmétique i.e. par leur "catégories" (carré, cube, bicarré, etc
(

)), et d'autre part les

expressions

. Dans l'extrait que nous avons placé à la fin du §2.2, Diophante se

réfère, à plusieurs reprises, aux

espèces

(

ειδο

)

La première partie de cet extrait se réfère en fait aux

opérations entre espèces, c'est-à-dire aux opérations entre monômes, alors que la dernière partie se
réfère au résultat de ces opérations, i.e. aux

expressions

et, plus précisément, à la façon de réduire (par

soustraction) ces expressions à des espèces. Par là, Diophante commence la construction d'un nouveau
langage : un

langage algébrique

2.4. Le langage algébrique chez Diophante

Nous avons vu précédemment que Diophante introduit certains symboles pour désigner le carré, le
cube, etc et qu'il utilise le symbole ç pour désigner l'arithme. A l'aide de ces symboles il va construire
un langage (avec une syntaxe bien définie) qui rend possible de représenter et les espèces et les
expressions (ces dernières étant - rappelons-le - d'espèces (i. e. des monômes) opérées entre elles).

Les nombres invariants déterminés sont représentés en utilisant la notation alphabétique grecque (

);

par exemple :

désigne

, …,

désigne

, …,

désigne

Le nombre

est désigné par

ιβ

le nombre

est désigné par

κγ

et ainsi de suite. Le tableau suivant

résume la correspondance pour les premiers entiers :

1 – 9 :

α β γ δ ε ζ η θ

10 – 90 :

ι κ λ µ ν ξ ο π

Dans le langage algébrique de Diophante, notre monôme 3

correspond à l'espèce

∆

De même, 4

correspond à

∆Κ

alors que 33

correspond à

λγ

Pour écrire 33

+ 8, par exemple, Diophante place à droite le 8, qui est un nombre invariant déterminé

(alors que 33 n'en est pas un : il indique qu'on a 33 arithmes), séparés par la lettre

du reste de

l'écriture

λγΜη

De même, 3

+ 12 s'écrit :

∆

γΜιβ

Cf. §2.1.

Pour plus de détails voir, par exemple, Van der Waerden, 1961.

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Diophante et l'algèbre

Luis Radford

Les

expressions

se forment par juxtaposition. Ainsi, l'expression

∆

δΚ

∆

λγΜη

correspond à

+ 5

+ 20

+ 33

+ 8.

La soustraction est dénotée par

|Λ

Les termes négatifs dans une expression sont

placés à la fin.

Ainsi, 2

–

+ 8 s'écrit :

βΜη

|Λ

∆

Il est important de remarquer que l'arithme ne figure pas explicitement dans les puissances d'ordre

≥

Ainsi,

signifie 2

;

de même,

∆

signifie

En effet, la méthode de Diophante, comme on peut

l'apprécier déjà dans l'exemple précédent, met en scène seulement une inconnue: il n'y a donc pas lieu
de préciser de quelle puissance il s'agit. D'autre part, étant donné que Diophante ne considère que des
nombres positifs, une expression de type

|Λ

∆

αζβ

n'a pas de sens : le symbole

|Λ

ne peut figurer au

début d'une expression mais seulement à l'intérieur d'une expression.

À l'origine, le symbole, chez Diophante, correspond à une "désignation abrégée", comme nous l'avons
remarqué au §2.1. Il s'agit en principe d'une utilisation des symboles en vue d'abréger le texte où l'on
décrit la résolution d'un problème. Mais l'introduction de la syntaxe permet de créer un langage avec
lequel on peut représenter (d'une façon fort efficace d'ailleurs) les opérations entre l'inconnue, les
puissances de celle-ci et les nombres invariants déterminés.

Or, son efficacité ne se restreint pas uniquement au niveau des calculs. La symbolisation permet, en
effet, d'organiser les opérations pertinentes à faire en vue d'isoler l'inconnue, comme on verra sur un
exemple au §4. De par le caractère même de la méthode diophantienne (que nous analyserons plus en
détail au §4), le langage mis en œuvre par Diophante aide la pensée à se dégager du contexte
numérique dans lequel le problème est posé et de se concentrer sur un

calcul formel,

c'est-à-dire un

calcul qui tient compte seulement de la forme (

ειδο

)

des expressions.

3. L'arithmétique et le type de problèmes posés

Les problèmes contenus dans les 10 livres que nous possédons de l'Arithmétique sont des problèmes
qui se réfèrent à des nombres et/ou des triangles rectangles. Tout rapprochement à une situation
"réelle" est exclu : on ne trouve pas de problèmes appliqués au commerce, à l'agriculture ou à une
autre situation concrète.

Les problèmes sont énoncés en mots et ils reflètent la structure de l'arithmétique d'après Diophante.
Cette structure, comme nous l'avons déjà vue, repose sur le groupement des nombres par catégories

(les carrés, les cubes, etc

...).

Et les problèmes sur les nombres que Diophante entreprend de résoudre,

proviennent justement

"[...] soit de la somme de ces nombres, soit de leur différence, soit

de leur

multiplication, soit du rapport qu'ils ont entre eux, ou qu'ils possèdent respectivement avec leurs
propres racines

[.. .]"

(

)

Une particularité des énoncés des problèmes est l'absence de nombres particuliers donnés.

Exemples (

) :

Livre 1, problème 16 :

Trouver trois nombres qui, pris deux à deux, forment des nombres proposés.

En notations modernes, le problème s'écrit :

x+y = a

y+z = b

z+x = c

Cf. Ver Eecke, p. 2.

D'après Sesiano (Sesiano, 1985), les quatre nouveaux livres trouvés, (i. e. les livres arabes) s'intercalent entre les trois

premiers livres grecs (Livres 1, II et III) et les trois autres livres grecs, appelés jusqu'alors Livres IV, V et VI. Nous suivrons
l'ordre indiqué par Sesiano, de sorte qu'on a: les trois premiers livres grecs (désignés toujours par Livres l, Il et III), les quatre
livres arabes (désignés par Livres IV, V, VI et VII) et ensuite les autres livres grecs connus, qui seront désignés par Livres
"IV", "V" et "VI".

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Diophante et l'algèbre

Luis Radford

x+y=a

y+z=b

z+x=c

Diophante choisit

= 20 unités,

= 30 unités et

= 40 unités. Ensuite, il dit :

Traduction abrégée en

langage algébrique moderne

"Posons que la somme des trois nombres est

(1 arithme).

Dès lors, puisque le premier

nombre plus le second forment M

(20 unités),

si nous retranchons M

(20 unités) de

arithme), nous aurons comme troisième

nombre

|Λ

Μκ

arithme moins 20 unités).

Pour la même raison, le premier nombre sera

|Λ

Μλ

arithme moins 30 unités),

et le second nombre sera

|Λ

Μµ

(1 arithme

moins 40 unités). Il faut encore que la somme des
trois nombres devienne égale à

arithme).

Mais la somme des trois nombres forme

|Λ

arithmes moins 90 unités). Égalons-les à

arithme) et l'arithme devient M

µε

(45

unités).

Revenons à ce qui a été posé: le premier nombre
sera

Μιε

(15

unités), le second sera

Με

unités)

et le troisième sera

Μκε

(25 unités), et la preuve

est claire."

= 1

= 20

Donc

= 1

– 20

De même,

= 1

– 30

= 1

– 40

Or,

= 1

Mais

= 3

– 90

Donc 3

– 90 = 1

et on obtient

= 45.

De là on obtient :

= 15

= 5

= 25.

Grosso modo, on peut dire que pour résoudre les problèmes qu'il se pose, Diophante commence par
énoncer une condition de nécessité sur les paramètres, s'il y a lieu (

); ensuite il exprime les nombres

cherchés (les inconnues du problème) en termes de cette inconnue opérationnelle qu'est l'arithme. Une
fois cette étape franchie, une mise en équation a lieu, à partir des conditions du problème. Ensuite, des
opérations sont effectuées sur l'équation obtenue afin de dégager la valeur de l'arithme. Quand cette
valeur est trouvée, Diophante revient aux relations qui lient les inconnues du problème à l'arithme et
trouve celles-là en remplaçant l'arithme par sa valeur. La dernière étape de la résolution consiste à
vérifier que les nombres ainsi trouvés répondent bien aux exigences du problème. Souvent cette
vérification n'est pas menée à terme (sans doute parce qu'elle consiste en de simples opérations entre
nombres), et Diophante se contente de dire "et ces nombres satisfont à la proposition".

Il est clair que dans le problème précédent, un autre choix de

a, b

et c conduit à une valeur différente

pour

x, y

Le résultat dépend du choix qu'on fait des nombres "donnés",

a, b

et c. À la lumière des

mathématiques actuelles ces nombres deviennent des

paramètres

, comme on dit aujourd'hui; ils ont

un statut différent de celui des inconnues. Or, Diophante ne se pose pas le problème d'expliciter

toutes

les solutions: il cherche à montrer comment sa méthode - que nous appellerons

méthode de

l'inconnue opérationnelle

– fonctionne et peut produire autant de solutions qu'on voudra: elle

apparaît ainsi comme un

programme

. Il est clair que Diophante distingue parfaitement le statut des

paramètres et celui des inconnues. Mais il ne symbolise point les paramètres : ceux-ci restent au
niveau numérique. En fait, la symbolisation des paramètres est inconcevable chez Diophante. Cette
symbolisation est beaucoup plus tardive dans l'histoire de l'algèbre: elle se trouve dans l'œuvre de
Viète, et permet d'écrire la solution d'un problème en toute généralité.

Nous

reviendrons sur cette condition de nécessité au §4.2.

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Diophante et l'algèbre

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4.1. Le succès de la méthode

Le succès de la méthode de l'inconnue opérationnelle repose, en particulier, sur trois éléments :

•

le bon choix des paramètres,

•

le choix des relations qui lient les inconnues du problème à l'inconnue opérationnelle,

c'est-à-dire l'arithme,

•

la faisabilité de la résolution.

4.2. Le bon choix des paramètres

Étant donné que Diophante ne considère que des solutions rationnelles positives, il est contraint de
choisir les paramètres de sorte que sa méthode n'aboutisse pas, à la suite du calcul formel, à une valeur
négative ou irrationnelle. Ainsi, dans le problème 16 du Livre 1, cette contrainte se manifeste par une
condition de nécessité avec laquelle Diophante commence la solution: dans ce problème, Diophante
dit : "Il faut toutefois que la moitié de la somme des nombres proposés soit plus grande que chacun de
ces nombres". Le choix des paramètres dans ce problème est cohérent avec cette condition: en effet,
les paramètres sont, comme nous l'avons vu,

= 20,

= 30 et

= 40. La moitié de la somme de ces

nombres est 45 et elle est plus grande que chacun des nombres. Mais si nous prenons

= 5,

= 5 et

= 80, la condition n'est plus remplie. En effet, si maintenant nous appliquons la méthode de Diophante
avec ce dernier choix de

a, b

, nous nous apercevons que l'arithme est à nouveau égale à 45 unités,

mais dans ce cas, le troisième nombre serait 1 arithme moins 80 unités, c'est-à-dire, 45 unités moins 80
unités, ce qui, pour Diophante, est un résultat inadmissible . . .

Diophante ne montre pas dans

l'Arithmétique

comment il parvient à trouver les conditions nécessaires

sur "les nombres donnés" (les paramètres) pour le bon fonctionnement de sa méthode. En tout cas, cela
montre qu'il disposait de moyens efficaces pour y parvenir; le rôle du symbolisme dans les moyens
détecteurs de conditions nécessaires est quelque chose d'encore non connu.

4.3. Le choix des relations et la faisabilité de la solution

Pour pouvoir-mettre en oeuvre la méthode de l'inconnue opérationnelle, Diophante doit choisir
certaines relations afin de lier l'inconnue opérationnelle aux inconnues du problème. Mais, d'autre part,
son choix doit être tel que l'équation à laquelle il aboutit n'entraîne pas de solutions négatives ou
irrationnelles.

Le choix des relations chez Diophante rend sa résolution des problèmes différentes de ce que nous
enseignons à nos étudiants d'algèbre aujourd'hui. C'est que la méthode de Diophante ne met pas en
face directement les données et les inconnues du problème, comme c'est en général le cas avec nos
méthodes actuelles, mais tous ces nombres pivotent autour d'une seule quantité indéterminée:
l'arithme. Donc notre

traduction du problème

sous forme d'équation(s), n'est pas la même. La "mise

en équation" dépend des méthodes que nous avons à notre disposition.

Or, fréquemment, les relations qui lient les inconnues du problème à l'arithme ne peuvent pas être
perçues a priori; Diophante s'appuie alors sur une variante de la méthode de

fausse position

. Dans le

problème 6 du Livre "VI", énoncé ci-haut, Diophante part d'un triangle dont les côtés sont 3 arithmes,
4 arithmes et 5 arithmes et, ayant choisi le paramètre égal à 7, la condition de l'aire du triangle plus
une perpendiculaire égale à ce paramètre donne :

+ 3

7 (

désigne l'arithme).

Il s'agit alors de résoudre cette équation. À ce sujet, il dit :

"Il faut que la moitié de la quantité d'arithmes multipliée par elle-même, et à laquelle
on ajoute la quantité de carrés d'arithmes, multipliée par la quantité d'unités, forme
un carré. Or elle ne forme pas un carré"

(

Diophante affirme que (3/2)

+ 6 ×7 doit être un carré. Si nous désignons par

cette quantité, le discriminant

(au sens

actuel du terme) de l'équation 6

+ 3

– 7 = 0 vérifie

= 4

Ainsi, pour que l'arithme soit rationnel, la quantité

doit être

un carré.

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Diophante et l'algèbre

Luis Radford

Alors, Diophante retient la condition précédente sur les coefficients de l'équation et il cherche un
nouveau triangle rectangle qui vérifie cette dernière condition. À l'aide de sa méthode de l'inconnue
opérationnelle, il trouve le triangle 24, 7 et 25. Alors, il recommence son raisonnement initial en
remplaçant le triangle original 3 arithmes, 4 arithmes et 5 arithmes, par le triangle 24 arithmes, 7
arithmes et 25 arithmes. Maintenant la mise en équation (qui s'obtient à partir de la condition de la
somme de l'aire avec une des perpendiculaires égale à 7) l'amène à l'équation 84

+ 7

= 7, qu'il sait

résoudre : il donne

= 1/4 comme solution, de sorte que le triangle cherché est : 6 unités, 7/4 et 25/4.

5. SYNTHÈSE ET CONCLUSION

En regardant l'activité mathématique dans les anciennes civilisations, on peut distinguer, d'après Van
der Waerden (1983), deux grands courants: une activité mathématique destinée aux constructions
géométriques liées aux applications rituelles, activité dont la transmission était essentiellement orale,
et, d'autre part, une activité mathématique inscrite dans la tradition scolaire qui était à la base de
l'enseignement des mathématiques. C'est dans cette tradition qu'on trouve les textes comportant des
suites de problèmes suivis de leur solution. Et c'est justement dans cette tradition qu'il faut situer

l'Arithmétique

de Diophante.

Or, s'il est vrai que le premier courant de l'activité mathématique aboutit à une organisation déductive
de la géométrie, telle qu'on la trouve dans les

Éléments

d'Euclide, il est vrai aussi que c'est avec

Diophante que le deuxième courant connaît une apothéose semblable à celle connue par le premier,
grâce à l'explicitation d'une méthode de résolution que nous avons appelée la

méthode de l'inconnue

opérationnelle

et qui diffère des méthodes algébrico-géométriques qu'on trouve dans les

Éléments

d'Euclide. Toutefois, restreindre la portée de l'œuvre de Diophante à la méthode revient à laisser de
côté un autre aspect de son œuvre aussi important que la méthode elle-même, à savoir, le langage qu'il
construit.

Sa méthode repose sur l'introduction d'une quantité inconnue à laquelle sont reliées les vraies
inconnues du problème. La mise en scène de cette inconnue au même titre que les nombres concrets
(i.e. les nombres invariants déterminés), constitue un véritable changement conceptuel dans la
résolution de problèmes et donne lieu à une théorie arithmétique ouvrant de nouvelles perspectives.

Il est important de souligner que la portée de la méthode va se trouver limitée par le fait même qu'elle
ne met en jeu qu'une inconnue. Mais en même temps, cela laisse entrevoir la difficulté sous-jacente à
une démarche intellectuelle qui suppose l'organisation de plusieurs choses non connues (i.e. des
inconnues) à la fois, à plusieurs niveaux : au niveau de la symbolisation, au niveau des opérations, au
niveau heuristique. . .

À 180base du langage qu'il construit se trouve l'idée de la symbolisation de l'arithme et des catégories
arithmétiques des nombres (les carrés, les cubes et les combinaisons multiplicatives de ceux-ci). Le
langage apparaît, en premier lieu, comme une abréviation du langage naturel, mais le fait de lui
associer une syntaxe convenable - en vue de rendre efficacela méthode de résolution de problèmes –
fait de lui un outil puissant. Ce langage permettra, en particulier, la transformation du

problème

initial en un problème différent (portant sur des expressions algébriques) où la priorité est
donnée au calcul formel, c'est-à-dire, au calcul des

espèces,

pour utiliser le terme de

Diophante.

L'idée d'arithme comme un nombre

indéterminé

d'unités - dont la valeur sera révélée à la fin

des calculs - est en somme un artifice heuristique. C'est à partir de l'arithme que Diophante
crée une algèbre (avec la règle de restauration dont parlera AI-Kwharizmi quelques siècles
plus tard) qui apparaît donc comme une généralisation provisoire de l'arithmétique. Les
expressions et tout le langage algébrique disparaissent à la fin d'un problème pour renaître au
suivant. Ainsi, de par sa profonde dépendance à l'égard de l'arithmétique, les symboles de
Diophante n'ont pas la permanence et l'autonomie de l'algèbre postérieure, permanence et
autonomie qui se trouvent chez Viète, à la fin du XVIe siècle. La théorie arithmétique de
Diophante, qui nous laisse voir une des facettes historiques de l'émergence de l'algèbre, peut
être donc considérée par rapport à l'algèbre de Viète comme une algèbre pré-symbolique.

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Diophante et l'algèbre

Luis Radford

BIBLIOGRAPHIE

HEATH L. (1910).-

Diophantus of Alexandria. A study in the history of Greek Aigebra.-

Deuxième édition. Cambridge

University Press. Réimpression Dover, 1964.

HEATH L. (1921).-

A history of Greek Mathematics.-

Vol. I. Oxford. New-York.

NEUGEBAUER O. (1952).-

The exact sciences in antiquity.-

Princeton, New Jersey.

NEUGEBAUER O. and SACHS A. (1945).-

Mathematical Cuneiform Texts.-

American Oriental Society. American Oriental

Series. Vol. 29. New Haven. Connecticut

RASHED R. (1985).-

Entre l'Arithmétique et l'Algèbre. Recherches sur l'Histoire des Mathématiques Arabes.-

Les belles

lettres. Paris.

RASHED R. (1975).- Les Travaux Perdus de Diophante (11).-

Revue d'Histoire des Sciences.-

Vol. XXVIII/l. pp.3-30.

France.

RASHED R. (1974).- Les Travaux Perdus de Diophante (1).-

Revue d'Histoire des Sciences.-

Vol. XXVII/2. pp. 97-122.

France.

ROBBINS F. - KARPINSKI L. (1926).-

Nichomachus of Geresa. Introduction to Arithmetic.-

The Macmillan Company.

New-York.

SESIANO J. (1982).-

Books IV to VII of Diophantus' Arithmetic.-

Springer-Verlag. New-York.

VAN der WAERDEN B.L. (1983).-

Geometry and Aigebra in Ancient Civilizations.-

Springer- Verlag. Berlin.

VAN der WAERDEN B.L. (1961).-

Science Awakening.-

Oxford University Press. New-York.

VER EECKE P. (1926).-

Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones.-

Desclée

de Brouwer. Liège. Réimpression. Albert Blanchard. Paris, 1959.

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