Chapitre 5
Expression et mesure
de linterd卒
ependance
Nous consid卒
erons ici le cas dun vecteur `
al卒
eatoire (vct.a.) `
a deux dimensions
Z
= (
X, Y
)
R
2
, pour
卒
eviter les lourdeurs du type
Z
= (
Z
1
, . . . , Z
d
)
R
d
, (quon appelle aussi v.a. de
R
d
). Ce que nous
d卒
evelopperons pour la v.a.
X
sadapte g卒
en卒
eralement facilement `
a la v.a.
Y
; dans ce cas, nous laisserons
`
a la sagacit卒
e de la lectrice (ou du lecteur) le soin dassurer cette adaptation.
5.1
Composantes dun vecteur al卒
eatoire
Soit
Z
= (
X, Y
) un vecteur al卒
eatoire (vct.a.) sur , et
z
0
= (
x
0
, y
0
)
R
2
. Rappelons que
{
Z
z
0
}
d卒
esigne l卒
ev`
enement
{
X
x
0
, Y
y
0
}
:=
{
|
X
x
0
, Y
y
0
}
; la fonction de r卒
epartition (ou loi)
de
Z
est la fonction
F
Z
:
R
2
[0
,
1] d卒
efinie par
F
Z
(
z
0
) :=
P
(
{
Z
z
0
}
). Les composantes
X
et
Y
sont
卒
egalement des v.a., `
a valeurs dans
R
. Elles ont donc chacune 卒
egalement une loi
F
X
(
x
0
) :=
P
(
{
X
x
0
}
)
et
F
Y
(
y
0
) :=
P
(
{
Y
y
0
}
).
D卒
efinition :
Les fonctions de r卒
epartition
F
X
et
F
Y
sappellent les
lois marginales
du vecteur al卒
eatoire
Z
= (
X, Y
). La fonction de r卒
epartition
F
Z
=
F
(
X,Y
)
sappelle la
loi jointe
des v.a.
X
et
Y
. Les lois
marginales se d卒
eduisent facilement de la loi jointe :
Proposition 5.1
F
X
(
x
0
) =
F
(
X,Y
)
(
x
0
,
+
) := lim
y
0
+
F
Z
(
x
0
, y
0
)
et
F
Y
(
y
0
) =
F
(
X,Y
)
(+
, y
0
)
.
Preuve :
F
X
(
x
0
) =
P
(
{
X
x
0
}
) =
P
(
{
X
x
0
, Y <
+
}
) =
1
lim
y
0
+
P
(
{
X
x
0
, Y
y
0
}
) =
lim
y
0
+
F
Z
(
x
0
, y
0
). On proc`
ede de mani`
ere similaire pour
F
Y
(
y
0
).
2
En revanche, sans hypoth`
ese compl卒
ementaire, il nest pas possible de r卒
esoudre le probl`
eme de retrouver
la loi jointe `
a partir des lois marginales. Lind卒
ependance des v.a. est une hypoth`
ese qui donne une solution
`
a ce probl`
eme.
Proposition 5.2
Supposons que les v.a.
X
et
Y
soient
ind卒
ependantes
. Alors on retrouve la loi jointe `
a
partir des lois marginales par la formule :
F
(
X,Y
)
(
x
0
, y
0
) =
F
X
(
x
0
)
F
Y
(
y
0
)
. En particulier
Si
(
X, Y
)
est 卒
el卒
ementaire, alors
p
z
0
:=
P
(
{
X
=
x
0
, Y
=
y
0
}
) =
P
(
{
X
=
x
0
}
)
P
(
{
Y
=
y
0
}
) =:
p
x
0
p
y
0
Si
X
et
Y
admettent des densit卒
es
f
X
et
f
Y
, alors
f
(
X,Y
)
(
x, y
) =
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
.
Preuve :
Comme
X
et
Y
sont ind卒
ependantes, les 卒
ev`
enements
{
X
x
0
}
et
{
Y
y
0
}
sont ind卒
ependants.
On en d卒
eduit que
F
(
X,Y
)
(
x
0
, y
0
) :=
P
(
{
X
x
0
, Y
y
0
}
) =
P
(
{
X
x
0
}{
Y
y
0
}
) =
P
(
{
X
x
0
}
)
P
(
{
Y
y
0
}
) =:
F
X
(
x
0
)
F
Y
(
y
0
)
.
Si les v.a. sont 卒
el卒
ementaires et ind卒
ependantes lune de lautre les 卒
ev`
enement
{
X
=
x
0
}
et
{
Y
=
y
0
}
sont
ind卒
ependants. Donc
p
z
0
:=
P
(
{
X
=
x
0
, Y
=
y
0
}
) =
P
(
{
X
=
x
0
} {
Y
=
y
0
}
=
P
(
{
X
=
x
0
}
)
P
(
{
Y
=
y
0
}
) =:
p
x
0
p
y
0
.
1
ici nous supposons implicitement que
B
est une tribu et que la probabilit卒
e
P
est
-additive : voir cours de L3.
25
26
CHAPITRE 5. EXPRESSION ET MESURE
DE LINTERD 卒
EPENDANCE
Si les v.a.
X
et
Y
admettent des densit卒
es, on voit facilement que
f
(
X,Y
)
(
x
0
, y
0
) =
2
F
(
X,Y
)
xy
(
x
0
, y
0
),
f
X
(
x
0
) =
dF
X
dx
(
x
0
), et
f
Y
(
y
0
) =
dF
Y
dy
(
y
0
) ; la derni`
ere relation sen d卒
eduit `
a partir de la premi`
ere.
2
5.2
Copules
D卒
efinition :
Soit
C
: [0
,
1]
[0
,
1]
[0
,
1] telle que
C
(0
, t
) = 0 =
C
(
t,
0) et
C
(1
, t
) =
t
=
C
(
t,
1) pour tout
t
[0
,
1]
(5.1)
et
C
(
u
+
, v
+
)
C
(
u
+
, v
)
C
(
u
, v
+
) +
C
(
u
, v
)
0
(5.2)
pour tous 0
u
u
+
1 et 0
v
v
+
1. On dit que les v.a.
X
et
Y
admettent
C
pour copule
si
et seulement si pour tout (
x
0
, y
0
)
R
2
on a
F
(
X,Y
)
(
x
0
, y
0
) =
C
(
F
X
(
x
0
)
, F
Y
(
y
0
))
.
(5.3)
Th卒
eor`
eme 5.3 (Abe Sklar, 1959)
Tout couple
(
X, Y
)
de v.a. admet une copule
C
(au moins).
Preuve :
Nous donnons la preuve dans le cas o`
u les v.a.
X
et
Y
admettent des fonctions de r卒
epartition
continues strictement croissantes,
F
X
: [
x
, x
+
]
[0
,
1] et
F
Y
: [
y
, y
+
]
[0
,
1], avec
x
:=
Inf
{
x
0
|
F
X
(
x
0
)
]0
,
1[
}
et
x
+
:= Sup
{
x
0
|
F
X
(
x
0
)
]0
,
1[
}
et similaire pour
y
et
y
+
(ces nombres 卒
etant
possiblement 卒
egaux `
a
賊
). Dans ce cas la relation
F
(
X,Y
)
(
x
0
, y
0
) =
C
(
F
X
(
x
0
)
, F
Y
(
y
0
)) pour
u
=
F
X
(
x
0
)
et
v
=
F
Y
(
y
0
) montre quil faut prendre
C
(
u, v
) :=
F
(
X,Y
)
(
F
1
X
(
u
)
, F
1
Y
(
v
)) . On montre alors que
C
ainsi d卒
efini a 卒
egalement les autres propri卒
et卒
es annonc卒
ees.
2
Exemple :
Si les v.a.
X
et
Y
sont ind卒
ependantes, on voit imm卒
ediatement quelles admettent la copule
C
(
u, v
) :=
uv
. Les fonctions
C
(
u, v
) := max
{
u
+
v
1
,
0
}
et
C
+
(
u, v
) := min
{
u, v
}
, appel卒
ees
copules
extr`
emes de Fr卒
echet
, ont la propri卒
et卒
e que pour toute copule
C
, on a
C
(
u, v
)
C
(
u, v
)
C
+
(
u, v
) pour
tout (
u, v
)
[0
,
1]
2
.
Exercice :
Montrer que les copules extr`
emes de Fr卒
echet sont bien des copules. Calculer la loi de v.a.
uniformes sur [0
,
1] dont la loi jointe admet cette copule. Calculer dans ce cas la covariance (voir ci-dessous)
de ces v.a..
Exercice :
Montrer que la
copule logistique de Gumbel
C
(
u, v
) :=
uv
u
+
v
uv
est bien une copule.
Proposition 5.4
Soient
h
et
k
deux fonctions strictement croissantes de
R
dans
R
. Soient
X
et
Y
deux
v.a.,
X
0
:=
h
(
X
)
et
Y
0
:=
k
(
Y
)
. Si le couple de v.a.
(
X, Y
)
admet la copule
C
, alors le couple
(
X
0
, Y
0
)
admet 卒
egalement la copule
C
.
Exercice :
Montrer la proposition 5.4.
5.3
Covariance
D卒
efinition :
Soient
X
et
Y
deux v.a. ; on appelle
covariance
de
X
et
Y
et on note Cov (
X, Y
) le nombre
Cov (
X, Y
) :=
E
((
X
E
(
X
))(
Y
E
(
Y
))) .
On appelle
corr卒
elation
de
X
et
Y
et on note
(
X, Y
) le nombre
(
X, Y
) :=
Cov (
X, Y
)
p
Var (
X
)Var (
Y
)
.
5.4. EXERCICES
27
Exemple :
Soient
X
une v.a. et
E
une v.a.
centr卒
ee
, cest-`
a-dire telle que
E
(
E
) = 0 ; on
suppose
que
X
et
E
sont
ind卒
ependantes
. Soient
a
et
b
deux r卒
eels ; posons
Y
:=
aX
+
b
et
Z
:=
aX
+
b
+
E
; nous voyons dans
Y
une fonction lin卒
eaire-affine de la grandeur al卒
eatoire
X
et dans
Z
sa valeur perturb卒
ee par des erreurs
de mesure
E
ind卒
ependantes de
X
. Alors Cov (
Z, X
) =
a
Var (
X
) = Cov (
aX
+
b, X
) ; en dautres termes,
dans ce cas Cov (
X, Z
) ne d卒
epend pas de lerreur
E
mais seulement de la pente
a
de la droite liant
X
et
Y
.
Exercice 5.1
Montrer que dans lexemple on a bien Cov (
Z, X
) =
a
Var (
X
). Soit
Z
n
:=
aX
+
b
+
E
n
, o`
u
E
n
=
1
n
E
. On suppose que
a
Var (
X
)
6
= 0 ; calculer
(
Z
n
, X
) et montrer que lim
n
(
Z
n
, X
) = 1.
Proposition 5.5 (in卒
egalit卒
e de Cauchy-Schwarz)
E
(
XY
)
p
E
(
X
2
)
E
(
Y
2
)
.
Preuve :
Il suffit de remarquer que la fonction
了
7
E
((
了X
Y
)
2
) est un polyn
ome du second degr卒
e
qui nest jamais n卒
egatif : son discriminant = 4(
E
(
XY
))
2
4
E
(
X
2
)
E
(
Y
2
) est donc n卒
egatif. Lin卒
egalit卒
e
de Cauchy-Schwarz en d卒
ecoule imm卒
ediatement.
2
Proposition 5.6
Lapplication
(
X, Y
)
7
Cov
(
X, Y
)
est bilin卒
eaire et positive. La corr卒
elation est `
a
valeurs dans
[
1
,
1]
. Si
(
X, Y
) =
賊
1
il existe
a
et
b
tel que
y
=
aX
+
b
p.s. avec sgn
(
a
) =
(
X, Y
)
.
Remarque :
La preuve de ce r卒
esultat est sans difficult卒
e ; la positivit卒
e tient au fait Cov (
X, X
) =
Var (
X
)
0. Le cas de
(
X, Y
) =
賊
1 fait lobjet de lexercice 5.4
Il est int卒
eressant de noter que Cov nest pas d卒
efinie-positive ; en effet, comme nous lavons vu, le fait que
Var (
X
) = 0 nentraine pas que
X
= 0, mais seulement que
X
= Cste(=
E
(
X
)) presque s
urement. En fait,
il y a bien un produit scalaire derri`
ere la notion de covariance : il sagit de
< X, Y >
:=
E
(
XY
), `
a condition
dassimiler
2
deux variables
X
1
et
X
2
d`
es lors quelles sont 卒
egales presque-s
urement (
P
(
{
X
1
=
X
2
}
= 1).
Dans ce cas les v.a. desp卒
erance nulle forment un sous-espace de codimension 1, et
X
7
X
0
:=
X
E
(
X
)
est la
projection orthogonale
sur ce sous-espace. L卒
ecart-type
(
X
) :=
p
Var (
X
) =:
k
X
0
k
est la
norme
de
X
0
au sens de ce produit scalaire, et la covariance de
X
et
Y
nest alors rien dautre que le produit
scalaire des projections
X
0
et
Y
0
. Dans cet esprit, la corr卒
elation
(
X, Y
) nest autre que le cosinus de
langle
慮
entre
X
0
et
Y
0
dans le sens
< X
0
, Y
0
>
=
k
X
0
kk
Y
0
k
cos(
慮
).
5.4
Exercices
Exercice 5.2 Cas de deux v.a. 卒
el卒
ementaires
Soient
X
et
Y
deux v.a. 卒
el卒
ementaires dont les lois sont
donn卒
ees par
x
1
2
3
P
(
{
X
=
x
}
)
1
3
1
3
1
3
, et
y
0
2
4
P
(
{
Y
=
y
}
)
1
4
1
2
1
4
On se propose de d卒
eterminer la loi jointe
F
Z
(
z
) de
Z
= (
X, Y
) et la copule couplant les lois de
X
et de
Y
dans deux situations distinctes. On pose
X
:=
X
() et
Y
=
Y
().
1. On suppose que
X
et
Y
sont
ind卒
ependantes
. Former successivement les tableaux donnant les
p
z
:=
P
(
{
X
=
x, Y
=
y
}
),
F
Z
(
x, y
) :=
P
(
{
X
x, Y
y
}
), et
C
(
u, v
) tels que
F
Z
(
x, y
) =
C
(
F
X
(
x
)
, F
Y
(
y
)), pour tous
z
:= (
x, y
)
X Y
, et tous (
u, v
)
F
X
(
X
)
F
Y
(
Y
).
Que vaut Cov (
X, Y
) ?
2. On suppose `
a pr卒
esent que les lois de
X
et
Y
sont coupl卒
ees par la copule
C
(
u, v
) :=
C
(
u, v
) :=
Max (
u
+
v
1
,
0). Former successivement les tableaux donnant les
C
(
u, v
),
F
Z
(
x, y
), et
p
z
, pour
tous (
u, v
)
C
(
F
X
(
X
)
, F
Y
(
Y
)) et tout
z
:= (
x, y
)
X Y
. Calculer la covariance Cov (
X, Y
) et la
corr卒
elation
(
X, Y
) dans ce cas.
Exercice 5.3 Cas de deux v.a. continues
Soient
X
et
Y
deux v.a. dont les lois sont donn卒
ees par
f
X
(
x
) =
1
3
I
[0
,
3]
et
f
Y
(
y
) =
1
2
I
[0
,
2]
. On se propose de d卒
eterminer la loi jointe
F
Z
(
z
) de
Z
= (
X, Y
) et la
copule couplant les lois de
X
et de
Y
dans deux situations distinctes. On pose
X
:=
X
() et
Y
=
Y
().
2
La relation
X
1
X
2
si et seulement si
P
(
{
X
1
=
X
2
}
) = 1 est une relation d卒
equivalence ; on consid`
ere le
quotient
de
lensemble
L
2
des v.a. telles que
E
(
X
2
) existe par cette relation d卒
equivalence.
28
CHAPITRE 5. EXPRESSION ET MESURE
DE LINTERD 卒
EPENDANCE
1. On suppose que
X
et
Y
sont
ind卒
ependantes
. Calculer successivement la densit卒
e
f
Z
(
x, y
), la fonc-
tion de r卒
epartition
F
Z
(
x, y
) :=
P
(
{
X
x, Y
y
}
), et la copule
C
(
u, v
) (telle que
F
Z
(
x, y
) =
C
(
F
X
(
x
)
, F
Y
(
y
))), pour tous
z
:= (
x, y
)
X Y
, et tous (
u, v
)
[0
,
1]
[0
,
1].
Que vaut Cov (
X, Y
) ?
2. On suppose `
a pr卒
esent que les lois de
X
et
Y
sont coupl卒
ees par la copule
C
(
u, v
) :=
C
+
(
u, v
) :=
Min (
u, v
). Montrer que
3
F
Z
(
x, y
) = ((0
(
x
3
y
2
))
1.
Repr卒
esenter sur un schema du plan
R
2
x,y
sur quelles r卒
egion la fonction
F
Z
est 卒
egale respectivement `
a
0, 1,
x
3
, et
y
2
, et montrer que si la loi de
Z
:= (
X, Y
) admettait une densit卒
e
f
Z
on aurait
f
Z
(
x, y
) = 0
presque-partout.
Montrer que
Z
:= (
X, Y
) a m
eme loi que
Z
0
:= (
X,
2
3
X
).
En d卒
eduire la covariance Cov (
X, Y
) et la corr卒
elation
(
X, Y
) dans ce cas.
Exercice 5.4
Soient
X
0
et
Y
0
tels que
E
(
X
0
) = 0 =
E
(
Y
0
) et Var (
X
0
) = 1 = Var (
Y
0
).
1. Montrer que si
(
X
0
, Y
0
) = 1, alors Var (
X
0
Y
0
) = 0.
2. Soit
Z
tel que
E
(
Z
) = 0 = Var (
Z
) ; on suppose dabord que
Z
()
N
. Montrer que
P
(
{
Z
6
= 0
}
) = 0.
3. Soit toujours
Z
tel que
E
(
Z
) = 0 = Var (
Z
). On suppose `
a pr卒
esent que
Z
est absolument continue,
cest-`
a-dire quil existe une fonction
f
Z
:
R
R
+
, la densit卒
e de
Z
, telle que
P
(
{
X
[
a, b
]
}
) =
R
b
a
f
Z
(
z
)
dz
pour tout
a
b
. Montrer que pour tout
a
b
tels que 0
/
[
a, b
] on a
P
(
{
X
[
a, b
]
}
) = 0 ;
on dit que
Z
= 0
presque-s
urement
, et on 卒
ecrit
Z
= 0 p.s..
4. Soient
X
et
Y
tels que
(
X, Y
) =
賊
1. Trouver
a
et
b
tels que
Y
=
aX
+
b
; v卒
erifier que sgn (
a
) =
(
X, Y
).
Maurice Fr卒
echet (1878-1973) :
: Abe Sklar ()
3
On note
a
b
:= Min (
a, b
) et
a
b
:= Max (
a, b
).