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ACTA ARITHMETICA

XCV.3 (2000)

Fronti`

ere du fractal de Rauzy et syst`

eme de

num´

eration complexe

par

Ali Messaoudi

(Marseille)

1. Introduction.

On consid`ere le polynˆ

ome

P

(

x

) =

x

3

−

x

2

−

x

−

1. Ce

polynˆ

ome a une racine r´eelle

β

strictement sup´erieure `

a 1 et deux racines complexes

conjugu´ees

Îą

et

Îą

de module inf´erieur strictement `

a 1

.

Fig. 1. Le fractal de Rauzy

Le

fractal de Rauzy

(fig. 1) est l’ensemble

E

=

n

∞

X

i

=3

Îľ

i

Îą

i



∀

i

≥

3

, Îľ

i

∈ {

0

,

1

}

, Îľ

i

Îľ

i

+1

Îľ

i

+2

= 0

o

.

Il a Â´et´e introduit par G. Rauzy [17] dans le but de donner une repr´esenta-

tion g´eom´etrique du syst`eme dynamique symbolique associ´e `

a la substitution

2000

Mathematics Subject Classification

: 28A78, 28A80, 11B39, 11B85, 11K16.

[195]

background image

196

A. Messaoudi

σ

d´efinie par

σ

(0) = 01

,

σ

(1) = 02

,

σ

(2) = 0

.

Le fractal de Rauzy a plusieurs propri´et´es : c’est un compact de

C

, connexe, `a

fronti´ere fractale et `a int´erieur simplement connexe et il induit un pavage p´eriodique
de

C

modulo

Z

+

Z

Îą

(voir [15]). Il est partag´e en trois r´egions similaires qui

induisent un autre pavage non p´eriodique et auto-similaire du plan complexe. Ces
r´egions sont :

Îą

E

,

Îą

3

+

Îą

2

E

et

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

E

.

Le fractal de Rauzy a fait l’objet de plusieures Â´etudes (voir [1], [17], [10], [15],

[19], [11]) et peut Ë†etre reli´e `

a diff´erents probl`emes :

•

Syst`eme de num´eration complexe [15], [16].

•

Repr´esentation

g´eom´etrique

des

syst`emes

dynamiques

symboliques

[17], [10], [15], [19], [11].

•

M´ethode de Dekking pour la construction d’objets fractals [10].

•

Fractions continues de dimension deux.

•

Pavages quasi-p´eriodiques du plan [10], [11].

•

Partitions de Markov pour les automorphismes hyperboliques du tore

T

3

[1],

[15].

La fronti`ere du fractal de Rauzy a Â´et´e au d´ebut Â´etudi´ee par S. Ito et M. Kimura

[10]. Ils ont montr´e que c’est une courbe de Jordan engendr´ee par la m´ethode
de Dekking (voir [5]) pour la construction d’objets fractals. Ensuite, en liant la
fronti`ere de

E

aux nombres complexes qui ont plusieurs d´eveloppements en base

Îą

avec des chiffres dans

{

0

,

1

}

sans trois â€œ1” cons´ecutifs, il a Â´et´e construit dans [16]

un automate fini qui g´en´ere cette fronti`ere.

Dans ce papier nous donnons une param´etrisation de la fronti`ere du fractal de

Rauzy. Cela permet de calculer sa dimension de Hausdorff et de montrer que c’est
un quasi-cercle. Ensuite nous donnons une m´ethode de construction des points
strictement extr´emaux du fractal de Rauzy. Les d´eveloppements de ces points
en base

Îą

sont li´es au codage d’une rotation d’angle irrationnel donn´e en fonc-

tion de l’argument de

Îą

sur le tore

S

1

sous la partition ([0

,

1

/

2[

,

[1

/

2

,

1[) ou bien

(]0

,

1

/

2]

,

]1

/

2

,

1]). Cette construction permet de trouver l’enveloppe convexe du

fractal de Rauzy et se g´en´eralise aux

k

-fractals du dragon,

k

≥

1, c’est-`

a-dire aux

ensembles

D

k

=

{

P

∞

n

=1

a

n

/

(

−

k

+

i

)

n

|

a

n

∈ {

0

,

1

, . . . , k

2

}}

(pour l’´etude de ces

ensembles, voir [6], [7], [8]).

Dans le cas o`

u

k

= 1, c’est-`

a-dire le fractal du dragon, on montre que l’enveloppe

convexe est un octogone, on retrouve ainsi d’une autre fa¸con un r´esultat de Benedek
et Panzone (voir [3]). Ce qui est nouveau avec notre m´ethode est qu’elle permet
de trouver tous les points strictement extr´emaux du fractal du dragon et qu’elle se
g´en´eralise aux ensembles de la forme

{

P

∞

i

=0

a

i

Îł

i

|

(

a

i

)

∈

A

N

}

o`

u

A

est un ensemble

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

197

fini de r´eels positifs contenant 0, et

Îł

un nombre complexe de module

<

1

.

Remarque.

Les r´esultats que l’on obtiendra sont ind´ependants du fait que la

partie imaginaire de

Îą

soit positive ou n´egative. Les figures du fractal de Rauzy

donn´ees dans cet article sont faites pour

Îą

ayant une partie imaginaire n´egative,

c’est-`a-dire

Îą

∟ âˆ’

0

.

419

−

0

.

606

i.

2. Notations et d´

efinitions.

Notons

N

l’ensemble des suites (

a

n

)

n

∈

Z

appar-

tenant `a

{

0

,

1

}

Z

dans lesquelles ne figurent pas trois â€œ1” cons´ecutifs, et telles qu’il

existe un entier

k

∈

Z

,

tel que pour tout entier

n

≤

k

,

a

n

= 0

.

Nous parlerons indiff´eremment d’une suite (

a

n

)

n

∈

Z

appartenant `

a

N

telle que

a

n

= 0 pour tout

n

≤

k

et de la suite (

a

n

)

n

≥

k

.

Soit (

a

n

)

n

≥

k

un Â´el´ement de

N

.

Supposons qu’il existe

p

∈

Z

tel que pour tout

n

≥

p

,

a

n

= 0

.

Cette suite sera not´ee

(

a

n

)

k

≤

n

≤

p

=

a

k

. . . a

p

et l’ensemble de telles suites,

N

f

.

Soit

z

∈

C

et

A

⊂

C

. Nous posons

A

+

z

=

{

x

+

z

|

x

∈

A

}

et

zA

=

{

zx

|

x

∈

A

}

.

Nous notons int(

A

) l’int´erieur de

A

, Fr(

A

) la fronti`ere de

A

, diam(

A

) le diam`etre

de

A

et

A

l’adh´erence de

A.

Soit

x

un r´eel. Nous notons [

x

] sa partie enti`ere,

x

[1] sa partie fractionnaire

x

−

[

x

]. Nous appelons (

¡

) mod 2 l’application de

Z

dans

{

0

,

1

}

qui `

a un entier

n

associe

n

mod 2 = 0 si

n

est pair, et 1 sinon.

Un

automate fini

est la donn´ee de (

S, A, C

) o`

u

A

est l’alphabet de l’automate,

S

l’ensemble des Â´etats, et

C

un sous-ensemble de

S

×

S

×

A.

On ajoute souvent `

a l’automate un ensemble

I

d’´etats initiaux et un ensemble

F

d’´etats finaux. Dans cet article, on aura besoin seulement de l’ensemble

I.

On

dit qu’une suite (

a

n

) est

reconnaissable

par l’automate (

S, A, C

) s’il existe une suite

(

s

n

)

∈

A

N

telle que (

s

i

−

1

, s

i

, a

i

)

∈

C

pour tout

i

∈

N

.

Soit (

X, f

) un syst`eme dynamique et

P

=

{

X

1

, . . . , X

k

}

, k

∈

N

,

une partition

de

X

. Soit l’alphabet

B

=

{

a

1

, . . . , a

k

}

et

f

P

l’application de

X

dans

B

N

qui `a un

´el´ement

x

de

X

associe

f

P

(

x

) = (

v

n

)

n

∈

N

o`

u

v

i

=

a

j

si

f

(

i

)

(

x

)

∈

X

j

.

La suite

f

P

(

x

)

est appel´ee

codage

de

x

associ´e `

a la partition

P

sous l’application

f.

3. Propri´

et´

es de la fronti`

ere de

E

.

La fronti`ere de

E

est l’union de six

arcs (voir [15], [16]) de la forme

E âˆŠ

(

E

+

u

) o`

u

u

∈ {

1

, Îą,

1 +

Îą,

−

1

,

−

Îą,

−

1

−

Îą

}

(fig. 2). En plus si

u

∈

(

Z

+

Z

Îą

)

− {

0

}

alors

E âˆŠ

(

E

+

u

)

6

=

∅

si et seulement si

u

∈ {

1

, Îą,

1 +

Îą,

−

1

,

−

Îą,

−

1

−

Îą

}

. Par ailleurs, il est connu [15] que tout nombre

complexe

z

s’´ecrit en base

Îą

comme

z

=

∞

X

i

=

l

Îľ

i

Îą

i

,

o`

u

l

∈

Z

et (

Îľ

i

)

i

≥

l

∈ N

.

background image

198

A. Messaoudi

Fig. 2. Pavage p´eriodique du plan par le fractal de Rauzy

La suite (

Îľ

i

)

i

≥

l

sera appel´ee un

Îą

-

d´

eveloppement

de

z.

Un point de la fronti`ere

de

E

a au moins deux

Îą

-d´eveloppements, un

Îą

-d´eveloppement provient de

E

et

l’autre de

E

+

u

o`

u

u

∈ {

1

, Îą,

1 +

Îą,

−

1

,

−

Îą,

−

1

−

Îą

}

(voir [15]). D’autre part, un

nombre complexe

z

ayant au moins deux

Îą

-d´eveloppements distincts peut s’´ecrire

comme

z

=

P

L
i

=

k

a

i

Îą

i

+

Îą

N

x

o`

u (

a

i

)

∈ N

f

est le d´ebut commun des deux

Îą

-

d´eveloppements de

z

et

N

entier relatif choisi de telle mani`ere que

x

∈ E âˆŠ

(

E

+

v

)

o`

u

v

∈ {

1

, Îą, Îą

2

,

1 +

Îą,

1 +

Îą

2

, Îą

+

Îą

2

}

. D’o`

u

x

∈

Fr(

E

). Par cons´equent, le

probl`eme de la fronti`ere de

E

est Â´equivalent au probl`eme des nombres complexes

ayant plusieurs

Îą

-d´eveloppements.

Ces nombres complexes sont caract´eris´es par un automate not´e

B

(fig. 3) et

nous avons le th´eor`eme suivant ([16], p. 145).

Th´

eor`

eme

1.

Soient

(

a

i

)

i

≥−

L

et

(

b

i

)

i

≥−

L

deux Â´

el´

ements distincts de

N

. Alors

∞

X

i

=

−

L

a

i

Îą

i

=

∞

X

i

=

−

L

b

i

Îą

i

si et seulement si la suite

((

a

i

, b

i

))

i

≥−

L

est reconnaissable par l’automate

B

.

L’id´ee de le construction de l’automate

B

(donn´ee dans [16]) est la suivante :

Soient

x

=

P

∞

i

=

−

L

a

i

Îą

i

et

y

=

P

∞

i

=

−

L

b

i

Îą

i

.

Nous avons ([16], th´eor`eme 1)

x

=

y

si et seulement si pour tout

k

≥ âˆ’

L

,

x

(

k

)

−

y

(

k

)

∈

S

=

{

0

,

Âą

1

,

Âą

Îą,

Âą

(1 +

Îą

)

,

Âą

(1 +

Îą

2

)

,

Âą

(

Îą

+

Îą

2

)

,

Âą

Îą

2

}

,

o`

u

x

(

k

) =

Îą

−

k

+2

P

k
i

=

−

L

a

i

Îą

i

et

y

(

k

) =

Îą

−

k

+2

P

k
i

=

−

L

b

i

Îą

i

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

199

(1,1)

(0,0)

(1,1)

(0,0)

(1,0)

(1,0)

(0,1)

(0,1)

(1,1)

(0,0)

(1,1)

(0,0)

(0,1)

(0,1)

(1,0)

(0,1)

(1,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

(0,0)

(1,1)

(0,0)

(1,0)

−

1

−

Îą

2

1 +

Îą

−

Îą

−

Îą

2

−

1

−

Îą

−

Îą

2

−

1

−

Îą

1

Îą

+

Îą

2

1 +

Îą

2

Îą

Îą

2

0

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

^

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

^

+

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

I

?

@

@

@

@

@

@

I

?

-

-

??

?

?

??

HH

HH

HH

HH

HH

HH

H

j

-

Fig. 3. Automate

B

Posons pour tout

k

≥ âˆ’

L

,

A

k

=

x

(

k

)

−

y

(

k

)

.

Donc

(1)

A

k

+1

=

A

k

Îą

+ (

a

k

+1

−

b

k

+1

)

Îą

2

.

Soit

s

le plus petit entier tel que

a

s

6

=

b

s

.

D’o`

u

A

i

= 0 pour tout

i

dans

{−

L, . . . , s

−

1

}

.

Supposons que (

a

s

, b

s

) = (1

,

0). Alors

A

s

=

Îą

2

.

Nous avons

A

s

+1

=

Îą

+ (

a

s

+1

−

b

s

+1

)

Îą

2

=

(

Îą

+

Îą

2

si (

a

s

+1

, b

s

+1

) = (1

,

0)

,

Îą

si (

a

s

+1

, b

s

+1

) = (0

,

0) ou (1

,

1)

.

Nous construisons l’automate

B

dont les Â´etats sont les Â´el´ements de

S.

Soient

V

et

W

deux Â´el´ements de

S

. Nous mettons une fl`eche Â´etiquet´ee par (

x, y

)

∈ {

0

,

1

}

2

et allant de

V

`a

W

si et seulement si

W

=

V /Îą

+ (

x

−

y

)

Îą

2

.

Nous prenons 0 pour

´etat initial de l’automate

B

. C’est l’´etat o`

u les deux

Îą

-d´eveloppements ne sont pas

encore distincts.

background image

200

A. Messaoudi

(1

,1

,1

)

(0

,0

,0

)

(0

,0

,0

)

(0

,0

,1

)

(1

,1

,1

)

(0

,0

,0

)

(1

,1

,0

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(0

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,1

)

(1

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(0

,0

,1

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(1

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,1

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(0

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(0

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(1

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(1

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(1

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,0

)

(1

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,1

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(0

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,0

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(1

,1

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(1

,0

,1

)

(0

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,1

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(0

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,1

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(1

,0

,0

)

(1

,1

,1

)

(0

,0

,0

)

(0

,0

,1

)

(1

,1

,0

)

?

?

--

Îą

2

,Îą

,

−

Îą

−

Îą

2

Îą

2

,

−

Îą

−

Îą

2

,Îą

3

?

?

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z}

-

?

?

-

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@I

?

Q

Q

Q

Q

Qk

?

?

3

?

--

A A

A A

A A

A A

AU

 

 

A A

A A

A A

A A

AU

?

?

?

?

-

H

H

H

H

H

H

H

H Hj

0

,Îą

+

Îą

2

,

−

Îą

−

Îą

2

0

0

,

−

1

−

Îą

,

1

+

Îą

0

,

1

+

Îą

,

−

1

−

Îą

0

,

1

+

Îą

2

,

−

1

−

Îą

2

0

,

−

1

−

Îą

2

,

1

+

Îą

2

−

Îą

2

,

−

1

−

Îą

2

,

1

Îą

,

1

,

−

Îą

−

1

1

,

−

Îą

−

1

,Îą

−

Îą

−

1

,Îą

,

1

Îą

2

,

1

,

−

1

−

Îą

2

1

,Îą

,

−

Îą

−

1

0

,Îą

2

,

−

Îą

2

0

,

−

Îą

2

,Îą

2

Îą

,

−

Îą

−

1

,

1

0

,

−

Îą

−

Îą

2

,Îą

+

Îą

2

0

,

−

Îą

,Îą

0

,Îą

,

−

Îą

0

,

1

,

−

1

0

,

−

1

,

1

−

Îą

−

1

,

1

,Îą

F

ig

.

4

.

A

u

to

ma

te

C

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

201

L’´etat initial est donc li´e `

a l’´etat

Îą

2

par une fl`eche d’´etiquette (1

,

0). L’´etat

Îą

2

est li´e `

a l’´etat

Îą

+

Îą

2

par une fl`eche d’´etiquette (1

,

0) et `

a l’´etat

Îą

par deux fl`eches,

une d’´etiquette (0

,

0) et l’autre d’´etiquette (1

,

1)

.

Comme l’ensemble des Â´etats

S

est

fini, nous obtenons un automate fini.

De mˆeme il existe un automate fini

C

(fig. 4) qui reconnait les nombres com-

plexes qui ont trois

Îą

-d´eveloppements (voir [16]). Une description detaill´ee des

automates

B

et

C

se trouve dans [15] et [16].

Remarque.

Il est facile de d´eterminer les points de la fronti`ere de

E

`

a partir

de l’automate des nombres complexes doubles, car un point de la fronti`ere a au
moins deux

Îą

-d´eveloppements : (

a

n

)

n

≥

3

et (

b

n

)

n

≥

0

, tels que

b

0

+

b

1

Îą

+

b

2

Îą

2

∈

{

1

, Îą, Îą

2

,

1 +

Îą,

1 +

Îą

2

, Îą

+

Îą

2

}

.

4. Param´

etrisation de la fronti`

ere de

E

.

Nous notons les six courbes (fig.

5) constituant la fronti`ere de

E

par

X

=

E âˆŠ

(

E

+

Îą

),

Y

=

E âˆŠ

(

E

+ 1 +

Îą

),

Z

=

E âˆŠ

(

E

+ 1),

X

′

=

E âˆŠ

(

E âˆ’

Îą

),

Y

′

=

E âˆŠ

(

E âˆ’

1

−

Îą

) et

Z

′

=

E âˆŠ

(

E âˆ’

1).

Fig. 5

Dans cette section, nous allons construire une bijection continue entre [0

,

1] et

X

=

E âˆŠ

(

E

+

Îą

), ce qui nous permet de calculer la dimension de Hausdorff de la

fronti`ere de

E

, et de montrer que celle-ci est un quasi-cercle.

background image

202

A. Messaoudi

Tout d’abord, nous allons montrer que chacune de ses six courbes est l’image

d’une autre par une transformation affine ; pour cela, nous avons besoin du lemme
suivant.

Lemme

1.

Les relations suivantes sont v´

erifi´

ees

:

1.

X

∊

Y

=

{−

Îą

2

}

.

2.

Y

∊

Z

=

{

Îą

3

/

(1

−

Îą

3

)

}

.

3.

Z

∊

X

′

=

{−

Îą

2

−

Îą

}

.

4.

X

′

∊

Y

′

=

{

Îą

5

/

(1

−

Îą

3

)

}

.

5.

Y

′

∊

Z

′

=

{−

Îą

3

}

.

6.

Z

′

∊

X

=

{

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

}

.

P r e u v e. Soit

z

un Â´el´ement de

X

∊

Y

=

E âˆŠ

(

E

+

Îą

)

∊

(

E

+ 1 +

Îą

)

.

D’apr`es

l’automate

C

,

z

=

X

i

≥

1

Îą

3

i

+

Îą

3

i

+1

= 1 +

Îą

+

X

i

≥

1

Îą

3

i

+1

+

Îą

3

i

+2

=

Îą

+

X

i

≥

1

Îą

3

i

+

Îą

3

i

+2

=

−

Îą

2

.

De mˆeme, l’ensemble

Y

∊

Z

=

E âˆŠ

(

E

+ 1)

∊

(

E

+ 1 +

Îą

) est r´eduit `

a un singleton

{

x

}

o`

u

x

=

X

i

≥

1

Îą

3

i

= 1 +

X

i

≥

1

Îą

3

i

+1

= 1 +

Îą

+

X

i

≥

1

Îą

3

i

+2

=

Îą

3

1

−

Îą

3

.

Les autres relations d´ecoulent du fait que

Z

∊

X

′

=

X

∊

Y

−

Îą

,

X

′

∊

Y

′

=

Y

∊

Z

−

1

−

Îą

,

Y

′

∊

Z

′

=

X

∊

Y

−

1

−

Îą

et

Z

′

∊

X

=

X

∊

Y

−

1

.

Lemme

2.

Les propri´

et´

es suivantes sont v´

erifi´

ees

:

1.

Y

= 1 +

Îą

+

ÎąX.

2.

Z

=

Îą

3

+

Îą

2

X.

3.

X

′

=

−

Îą

+

X.

4.

Y

′

=

ÎąX.

5.

Z

′

=

Îą

+

Îą

2

+

Îą

2

X.

P r e u v e. 1. Soit

z

un Â´el´ement de

Y.

En vertu de l’automate

B

, nous avons

trois cas :

•

z

= 1 +

Îą

+

Îą

5

+

Îą

3

w

1

=

Îą

3

+

Îą

6

+

Îą

4

w

′

1

o`

u

w

1

, w

′

1

∈ E

. Dans ce cas

(

z

−

1

−

Îą

)

/Îą

=

Îą

4

+

Îą

2

w

1

=

Îą

+

Îą

5

+

Îą

3

w

′

1

.

•

z

= 1 +

Îą

+

Îą

4

+

Îą

5

+

Îą

4

w

2

=

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

6

+

Îą

4

w

′

2

o`

u

w

2

, w

′

2

∈ E

, donc

(

z

−

1

−

Îą

)

/Îą

=

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

w

2

=

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

3

w

′

2

.

•

z

= 1 +

Îą

+

Îą

5

+

Îą

7

+

Îą

5

w

3

=

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

6

+

Îą

5

w

′

3

o`

u

w

3

, w

′

3

∈ E

, d’o`

u

(

z

−

1

−

Îą

)

/Îą

=

Îą

4

+

Îą

6

+

Îą

4

w

3

=

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

w

′

3

.

Par cons´equent (

z

−

1

−

Îą

)

/Îą

∈

X.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

203

R´eciproquement, si

z

appartient `

a

X,

alors

Îąz

+ 1 +

Îą

∈

(

Îą

E

+ 1 +

Îą

)

∊

(

Îą

E

+

Îą

3

)

⊂

Y.

2. Soit

z

´el´ement de

Z,

donc

z

= 1 +

Îą

4

+

Îą

2

w

=

Îą

3

+

Îą

2

w

′

o`

u

w, w

′

∈ E

,

d’o`

u

(

z

−

Îą

3

)

/Îą

2

=

Îą

+

w

=

w

′

∈

X.

Par ailleurs,

Îą

3

+

Îą

2

X

= (

Îą

3

+

Îą

2

E

)

∊

(2

Îą

3

+

Îą

2

E

)

.

Comme 2

Îą

3

=

Îą

4

+ 1

,

nous

avons

Îą

3

+

Îą

2

X

= (

Îą

3

+

Îą

2

E

)

∊

(1 +

Îą

4

+

Îą

2

E

)

⊂

Z.

Il en r´esulte que

Z

=

Îą

3

+

Îą

2

X.

Les autres relations d´ecoulent des relations

Y

′

=

Y

−

1

−

Îą,

Z

′

=

Z

−

1

,

X

′

=

X

−

Îą.

D’o`

u le lemme.

Fig. 6

Maintenant, nous allons Â´etudier l’ensemble

X.

On remarque que

X

est auto-

affine et partag´e en trois r´egions similaires (voir fig. 6). Nous allons montrer que
chacune de ses r´egions correspond `

a l’image de

X

par l’une des trois fonctions

g

i

,

background image

204

A. Messaoudi

i

∈ {

0

,

1

,

2

}

,

d´efinies par :

∀

z

∈

C

,

g

0

(

z

) =

Îą

4

+

Îą

3

z, g

1

(

z

) =

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

z, g

2

(

z

) =

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

z.

Pour cela, nous nous serverons du lemme suivant.

Lemme

3.

X

v´

erifie les propri´

et´

es suivantes

:

1.

X

=

g

0

(

X

)

∪

g

1

(

X

)

∪

g

2

(

X

)

.

2.

g

0

(

X

)

∊

g

1

(

X

) =

−

Îą

3

−

Îą

2

.

3.

g

1

(

X

)

∊

g

2

(

X

) =

Îą

3

+

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

4.

g

0

(

X

)

∊

g

2

(

X

) =

∅

.

P r e u v e. 1. Puisque

X

=

E âˆŠ

(

E

+

Îą

)

,

nous avons

g

0

(

X

) = (

Îą

4

+

Îą

3

E

)

∊

(2

Îą

4

+

Îą

3

E

) = (

Îą

4

+

Îą

3

E

)

∊

(

Îą

+

Îą

5

+

Îą

3

E

)

,

g

1

(

X

) = (

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

E

)

∊

(

Îą

4

+

Îą

6

+

Îą

4

E

)

,

g

2

(

X

) = (

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

E

)

∊

(

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

3

E

)

.

Donc, pour tout

i

´el´ement de

{

0

,

1

,

2

}

,

g

i

(

X

) est inclus dans

X.

Soit

z

un Â´el´ement de

X.

En vertu de l’automate

B

, nous avons trois cas :

•

z

=

Îą

+

Îą

5

+

Îą

3

w

0

=

Îą

4

+

Îą

3

w

′

0

o`

u

w

0

, w

′

0

∈ E

.

Dans ce cas,

g

−

1

0

(

z

) =

Îą

+

w

0

=

w

′

0

∈

X,

d’o`

u

z

∈

g

0

(

X

)

.

•

z

=

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

w

1

=

Îą

4

+

Îą

6

+

Îą

4

w

′

1

o`

u

w

1

, w

′

1

∈ E

. Donc

g

−

1

1

(

z

) =

w

1

=

Îą

+

w

′

1

∈

X,

d’o`

u

z

∈

g

1

(

X

)

.

•

z

=

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

3

w

2

=

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

w

′

2

o`

u

w

2

, w

′

2

∈ E

, alors

g

−

1

2

(

z

) =

Îą

+

w

2

=

w

′

2

∈

X,

d’o`

u

z

∈

g

2

(

X

)

.

Par cons´equent

X

=

g

0

(

X

)

∪

g

1

(

X

)

∪

g

2

(

X

)

.

2. Supposons que

x

appartient `

a

g

0

(

X

)

∊

g

1

(

X

). Il existe

z

et

z

′

deux Â´el´ements

de

X

tels que

x

=

Îą

4

+

Îą

3

z

=

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

z

′

,

d’o`

u

z

= 1 +

Îą

+

Îąz

′

,

ce qui implique que

z

∈ E âˆŠ

(

E

+

Îą

)

∊

(

E

+ 1 +

Îą

)

,

d’o`

u

z

=

−

Îą

2

, par cons´equent

x

=

−

Îą

3

−

Îą

2

.

3. Soit

x

un Â´el´ement de

g

1

(

X

)

∊

g

2

(

X

)

,

donc

x

=

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

z

=

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

z

′

.

Il s’ensuit que

z

et

z

′

∈

X

d’o`

u

z

=

Îą

+

Îąz

′

∈ E âˆŠ

(

Îą

E

+

Îą

)

.

Par ailleurs,

l’automate

B

implique que l’ensemble

E âˆŠ

(

Îą

E

+

Îą

) est inclus dans

Îą

E âˆŠ

(

E

+

Îą

)

.

Par cons´equent

z

′

=

z

Îą

−

1

∈ E âˆŠ

(

E

+

Îą

)

∊

(

E âˆ’

1) =

Îą

4

1

−

Îą

3

,

ce qui entraˆıne que

x

=

Îą

3

+

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

205

4. Soient

z

et

z

′

deux Â´el´ements de

X

tels que

Îą

4

+

Îą

3

z

=

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

z

′

. Alors

z

= 1 +

z

′

, d’o`

u

z

∈ E âˆŠ

(

E

+

Îą

)

∊

(

E

+ 1) =

∅

.

Il en d´ecoule que

g

0

(

X

)

∊

g

2

(

X

) =

∅

.

Ceci ach`eve la preuve.

Param´

etrisation de

X.

Soient

a

et

b

appartenant `

a Fr(

E

)

.

Notons par I(

a, b

)

l’arc de Fr(

E

) d’origine

a

et d’extr´emit´e

b

dans le sens trigonom´etrique. En vertu

du lemme 3, nous avons

g

0

(

X

) = I

Îą

4

1

−

Îą

3

,

−

Îą

3

−

Îą

2

= I

g

0

Îą

4

1

−

Îą

3

, g

0

(

−

Îą

2

)

,

g

1

(

X

) = I

−

Îą

3

−

Îą

2

, Îą

3

+

Îą

4

1

−

Îą

3

= I

g

1

(

−

Îą

2

)

, g

1

Îą

4

1

−

Îą

3

,

g

2

(

X

) = I

Îą

3

+

Îą

4

1

−

Îą

3

,

−

Îą

2

= I

g

2

Îą

4

1

−

Îą

3

, g

2

(

−

Îą

2

)

.

Pour param´etriser

X,

nous d´eterminerons trois fonctions complexes

f

i

,

i

∈ {

0

,

1

,

2

}

,

telles que

f

i

(

X

) soit Â´egal `

a I(

f

i

(

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

))

, f

i

(

−

Îą

2

))

.

Pour cela, nous nous server-

ons de la sym´etrie de

X.

Lemme

4.

L’ensemble

X

a un centre de sym´

etrie

C

0

=

1
2

Îą

+

Îą

6

1

−

Îą

3

.

P r e u v e. Posons

C

=

Îą

6

/

(1

−

Îą

3

)

.

Puisque

C

=

P

∞

i

=3

Îą

i

,

si

z

=

P

∞

i

=3

a

i

Îą

i

∈

E

alors

C

−

z

=

∞

X

i

=3

(1

−

a

i

)

Îą

i

∈ E

.

Il en r´esulte que

C/

2 est un centre de sym´etrie de

E

.

Par ailleurs,

2

C

0

−

X

=

Îą

+

Îą

6

1

−

Îą

3

− E

∊

Îą

6

1

−

Îą

3

− E

= (

E

+

Îą

)

∊ E

=

X.

D’o`

u le lemme.

Notons par

S

la sym´etrie centrale de centre

C

0

,

S

(

z

) = 2

C

0

−

z

pour tout

z

∈

X,

et consid´erons les trois fonctions complexes

f

0

,

f

1

et

f

2

d´efinies par

f

0

(

z

) =

g

0

(

z

) =

Îą

4

+

Îą

3

z,

f

1

(

z

) =

g

1

(

Sz

) =

Îą

4

+

Îą

6

+

Îą

10

/

(1

−

Îą

3

)

−

Îą

4

z,

f

2

(

z

) =

g

2

(

z

) =

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

z.

Soit

z

un Â´el´ement de

X

. Puisque

X

=

f

0

(

X

)

∪

f

1

(

X

)

∪

f

2

(

X

), il existe

z

1

appartenant `a

X

et

a

0

un Â´el´ement de

{

0

,

1

,

2

}

tel que

z

=

f

a

0

(

z

1

)

.

De proche en

proche, nous construisons une suite (

a

n

)

n

∈

N

dans

{

0

,

1

,

2

}

N

et une suite (

z

n

)

n

∈

N

dans

X,

tels que pour tout entier naturel

n

,

z

=

f

a

0

◦

f

a

1

◦

. . .

◦

f

a

n

(

z

n

+1

)

.

background image

206

A. Messaoudi

Comme les fonctions

f

i

sont contractantes,

f

a

0

◦

f

a

1

◦

. . .

◦

f

a

n

(

z

n

+1

) tend vers

z

quand

n

tend vers l’infini, et que pour tout

x

∈

X

,

f

a

0

◦

f

a

1

◦

. . .

◦

f

a

n

(

x

) tend

vers

z

quand

n

tend vers l’infini.

Fixons

x

0

∈

X,

et d´efinissons une correspondance

f

de l’ensemble [0

,

1] dans

X

de la mani`ere suivante :

Soit

t

un Â´el´ement de [0

,

1].

Si

P

∞

i

=1

a

i

3

−

i

,

(

a

i

)

∈ {

0

,

1

,

2

}

N

est un d´eveloppement de

t

en base 3

,

alors

f

(

t

) = lim

n

→∞

f

a

1

◦

f

a

2

◦

. . .

◦

f

a

n

(

x

0

)

.

Dans tout ce qui suit, nous supposons que si

t

et

t

′

appartiennent `

a [0

,

1]

,

alors

t

=

P

∞

i

=1

a

i

3

−

i

et

t

′

=

P

∞

i

=1

b

i

3

−

i

,

o`

u

a

i

et

b

i

sont des Â´el´ements de

{

0

,

1

,

2

}

tels

que

a

i

=

b

i

pour

i < k

et

a

k

< b

k

,

k

∈

N

.

Proposition

1.

La correspondance

f

est une application bijective

,

continue et

v´

erifie

f

(0) =

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

et

f

(1) =

−

Îą

2

.

Pour la preuve, nous avons besoin des lemmes suivants.

Lemme

5.

Soient

t

et

t

′

deux Â´

el´

ements de

[0

,

1]

. Alors

(1)

Si

|

t

−

t

′

|

<

3

−

N

o`

u

N > k,

alors

b

k

=

a

k

+ 1,

b

i

= 0

et

a

i

= 2

pour tout

i

v´

erifiant

k

+ 1

≤

i

≤

N.

(2)

Si

t

=

t

′

alors

b

k

=

a

k

+ 1,

b

i

= 0

et

a

i

= 2

pour

i

≥

k

+ 1

.

P r e u v e. (2) est une cons´equence imm´ediate de (1)

.

(1) provient du fait que

3

−

N

>

∞

X

i

=1

(

b

i

−

a

i

)3

−

i

= (

b

k

−

a

k

)3

−

k

+

∞

X

i

=

k

+1

(

b

i

−

a

i

)3

−

i

= (

b

k

−

a

k

−

1)3

−

k

+

∞

X

i

=

k

+1

(2 +

b

i

−

a

i

)3

−

i

.

Ceci ach`eve la preuve.

Lemme

6.

Soient

h

et

k

deux Â´

el´

ements de

{

0

,

1

,

2

}

tels que

h < k

et soient

x

et

y

deux Â´

el´

ements de

X

. Alors

f

h

(

x

) =

f

k

(

x

)

si et seulement si

k

=

h

+ 1,

x

=

−

Îą

2

et

y

=

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

P r e u v e.

L’implication r´eciproque est Â´evidente. Prouvons l’implication di-

recte.

L’ensemble

f

0

(

X

)

∊

f

2

(

X

) Â´etant vide, les entiers

h

et

k

sont n´ecessairement

cons´ecutifs. Nous avons donc deux cas `

a Â´etudier :

•

Si

h

= 0,

k

= 1

,

alors

f

0

(

x

) =

f

1

(

y

)

⇔

g

0

(

x

) =

g

1

(

Sy

) ; d’o`

u d’apr`es le lemme

3, nous avons

g

0

(

x

) =

g

1

(

Sy

) =

−

Îą

3

−

Îą

2

,

ou encore

x

=

S

(

y

) =

−

Îą

2

. Il en r´esulte

que

x

=

−

Îą

2

et

y

=

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

207

•

Si

h

= 1,

k

= 2

,

alors

f

1

(

x

) =

f

2

(

y

)

⇔

g

1

(

Sx

) =

g

2

(

y

)

,

donc

Sx

=

y

=

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

,

d’o`

u

x

=

−

Îą

2

,

y

=

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

Lemme

7.

f

(

t

) =

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

si et seulement si

t

= 0

et

f

(

t

) = 1

si et

seulement si

t

=

−

Îą

2

.

P r e u v e. Puisque

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

6∈

f

1

(

X

)

∪

f

2

(

X

) et

f

(

t

) =

f

a

1

◦

f

∞

X

i

=2

a

i

3

−

i

,

nous avons

f

(

t

) =

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

⇔

a

1

= 0

.

Or

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

) est le seul point fixe de

f

0

; cela entraˆıne que

f

(

P

∞

i

=2

a

i

3

−

i

) =

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

En it´erant le proc´ed´e, nous montrons que pour tout entier naturel

n

non nul,

a

n

= 0, d’o`

u

t

= 0

.

En utilisant le mˆeme raisonnement et le fait que

−

Îą

2

est le seul point fixe de

f

2

,

nous prouvons que

f

(

t

) = 1 si et seulement si

t

=

−

Îą

2

.

Preuve de la proposition 1

f

est bien d´

efinie.

Soient

t

et

t

′

dans [0

,

1]. Si

t

=

t

′

, alors d’apr`es le lemme 5,

b

k

=

a

k

+ 1

, b

i

= 0 et

a

i

= 2 pour tout

i

≥

k

+ 1. Donc

f

(

t

) =

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

f

a

k

( lim

n

→∞

f

(

n

)

2

(

x

0

))

,

f

(

t

′

) =

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

f

a

k

+1

( lim

n

→∞

f

(

n

)

0

(

x

0

))

.

Or

lim

n

→∞

f

(

n

)

0

(

x

0

) = lim

n

→∞

f

(

n

)

0

Îą

4

1

−

Îą

3

=

Îą

4

1

−

Îą

3

,

car

f

0

(

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)) =

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

,

de mˆeme

lim

n

→∞

f

(

n

)

2

(

x

0

) = lim

n

→∞

f

(

n

)

2

(

−

Îą

2

) =

−

Îą

2

,

car

f

2

(

−

Îą

2

) =

−

Îą

2

.

Il r´esulte du lemme 6 que

f

(

t

) =

f

(

t

′

)

.

f

est injective.

Nous avons

f

(

t

) =

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

◦

f

∞

X

i

=1

a

i

+

k

−

1

3

−

i

,

f

(

t

′

) =

f

b

1

. . . f

b

k

−

1

◦

f

∞

X

i

=1

b

i

+

k

−

1

3

−

i

.

background image

208

A. Messaoudi

Comme les fonctions

f

i

sont bijectives (rappelons que

a

i

=

b

i

pour 1

≤

i

≤

k

−

1),

f

(

t

) =

f

(

t

′

)

⇔

f

∞

X

i

=1

a

i

+

k

−

1

3

−

i

=

f

∞

X

i

=1

b

i

+

k

−

1

3

−

i

.

D’o`

u

f

a

k

◦

f

(3

t

1

−

a

k

) =

f

b

k

◦

f

(3

t

′

1

−

b

k

)

,

o`

u

t

1

=

P

∞

i

=1

a

i

+

k

−

1

3

−

i

et

t

′

1

=

P

∞

i

=1

b

i

+

k

−

1

3

−

i

.

Il d´ecoule du lemme 6 que

b

k

=

a

k

+ 1,

f

(3

t

1

−

a

k

) =

−

Îą

2

et

f

(3

t

′

1

−

b

k

) =

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

)

.

Par cons´equent, le lemme

7 implique que

3

t

1

−

a

k

= 1 et

3

t

′

1

−

b

k

= 0

.

Or

b

k

=

a

k

+1

,

d’o`

u

t

1

=

t

′

1

ou encore

t

=

t

′

.

f

´etant surjective par construction, donc

f

est bijective.

f

est continue.

Supposons que 0

<

|

t

−

t

′

|

<

3

−

N

,

N

∈

N

, N > k.

Le lemme 5

entraˆıne que

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

|

=

|

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

◦

f

(

t

1

)

−

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

◦

f

(

t

′

1

)

|

,

o`

u

f

(

t

1

) =

f

a

k

◦

f

N

−

k

2

(

z

1

) et

f

(

t

′

1

) =

f

a

k

+1

◦

f

N

−

k

0

(

z

′

1

)

,

o`

u

z

1

, z

′

1

∈

X.

Par cons´equent,

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤ |

f

a

k

◦

f

N

−

k

2

(

z

1

)

−

f

a

k

+1

◦

f

N

−

k

0

(

z

′

1

)

| Âˇ |

Îą

|

3(

k

−

1)

.

Puisque

f

a

k

◦

f

N

−

k

2

(

−

Îą

2

) =

f

a

k

+1

◦

f

N

−

k

0

(

Îą

4

/

(1

−

Îą

3

))

,

nous avons

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤

|

f

a

k

◦

f

N

−

k

2

(

z

1

)

−

f

a

k

◦

f

N

−

k

2

(

−

Îą

2

)

|

+




f

a

k

+1

◦

f

N

−

k

2

(

z

′

1

)

−

f

a

k

+1

◦

f

N

−

k

0

Îą

4

1

−

Îą

3



|

Îą

|

3(

k

−

1)

≤

(

|

Îą

|

3(

N

−

k

)+3

+

|

Îą

|

3(

N

−

k

)+4

)

|

Îą

|

3(

k

−

1)

¡

diam(

X

)

≤

diam(

X

)

¡

(1 +

|

Îą

|

)

|

Îą

|

3

N

.

Corollaire

1.

La fronti`

ere de

E

est une courbe de Jordan.

Proposition

2.

L’application

f

est

δ

=

−

3 log(

|

Îą

|

)

/

log 3

H¨

older continue.

P r e u v e. Montrons qu’il existe un r´eel

C >

0 tel que

∀

t, t

′

∈

[0

,

1]

,

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤

C

|

t

−

t

′

|

δ

.

Soient

t

et

t

′

∈

[0

,

1]

.

Supposons que 3

−

N

−

1

≤ |

t

−

t

′

|

<

3

−

N

o`

u

N

∈

N

.

•

Si

N > k,

alors

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤

diam(

X

)

¡

(1 +

|

Îą

|

)

|

Îą

|

3

N

.

•

Si

N < k,

alors

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

|

=

|

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

(

z

1

)

−

f

a

1

. . . f

a

k

−

1

(

z

′

1

)

| â‰¤

diam(

X

)

¡ |

Îą

|

3(

k

−

1)

≤

diam(

X

)

¡ |

Îą

|

3

N

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

209

D’o`

u

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤

diam(

X

)

¡

(1 +

|

Îą

|

)

e

3

N

log(

|

Îą

|

)

.

Comme

−

log

|

t

−

t

′

|

log 3

> N,

nous avons

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤

C

|

t

−

t

′

|

δ

,

o`

u

C

= diam(

X

)

¡

(1 +

|

Îą

|

)

.

Calcul de la dimension de Hausdorff.

Comme Fr(

E

) est l’union de six r´egions

qui sont chacune l’image de

X

par une transformation affine (voir lemme 2), nous

avons dim

H

(

X

) = dim

H

(Fr(

E

))

.

L’ensemble

X

=

S

2

i

=0

f

i

(

X

) entre dans le cadre

des compacts invariants par des similitudes (il est stable par les

f

i

). La dimension

de Hausdorff de cette classe de compact est major´ee par sa dimension fractale et
dans des cas, elle lui est Â´egale.

Th´

eor`

eme

2 (voir [2], [9]).

Soit

A

un sous-ensemble de

C

tel que

A

=

S

n
i

=0

h

i

(

A

)

est le compact invariant par des similitudes

h

i

de coefficients de simil-

itudes

r

i

(

i.e.

∀

x, y

∈

C

,

|

h

i

(

x

)

−

h

i

(

y

)

|

=

r

i

|

x

−

y

|

)

. Alors

dim

H

(

A

)

≤

s

o`

u

s

est

l’unique r´

eel v´

erifiant

P

n
i

=0

r

s

i

= 1

.

Si de plus il existe un ouvert

O

de

C

tel que

∀

i

,

h

i

(

O

)

⊂

O

et

h

i

(

O

)

∊

h

j

(

O

) =

∅

,

∀

i

6

=

j,

alors

dim

H

(

A

) =

s.

Soit (

a

i

)

0

≤

i

≤

m

∈ N

f

. Notons

C

a

0

...a

m

=

n

z

=

m

X

i

=0

a

i

Îą

i

+

∞

X

i

=

m

+1

d

i

Îą

i

o`

u

a

0

. . . a

m

d

m

+1

d

m

+2

. . .

∈ N

o

.

Proposition

3.

Soit

U

= int(

C

0000100000

)

et

O

=

S

∞

p

=1

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

2

◦

g

i

1

(

U

)

o`

u

i

1

, . . . , i

p

= 0

,

1

,

2

. Alors

(1)

g

i

(

O

)

⊂

O

,

i

= 0

,

1

,

2

.

(2)

g

i

(

O

)

∊

g

j

(

O

) =

∅

si

i

6

=

j.

Lemme

8.

Soit

a

0

. . . a

m

∈ N

f

,

m

≥

3

.

Si

int(

C

a

0

...a

m

) =

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

)

,

alors

a

0

. . . a

m

ne contient pas cinq

“0”

cons´

ecutifs sauf peut Ë†

etre `

a la fin.

P r e u v e. Un simple calcul montre que

g

0

(

C

000

a

3

...a

m

) =

C

000010

a

3

...a

m

,

g

0

(

C

010

a

3

...a

m

) =

C

010001

a

3

...a

m

,

g

1

(

C

000

a

3

...a

m

) =

C

0101010

a

3

...a

m

,

g

1

(

C

010

a

3

...a

m

) =

C

0000101

a

3

...a

m

,

g

2

(

C

000

a

3

...a

m

) =

C

000110

a

3

...a

m

,

g

2

(

C

010

a

3

...a

m

) =

C

010101

a

3

...a

m

.

Montrons le lemme 8 par recurrence sur

p.

Si

p

= 1, c’est Â´evident.

background image

210

A. Messaoudi

Supposons la propri´et´e du lemme 8 est vraie `

a l’ordre

p

−

1

.

On a

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

) =

g

i

p

(int(

C

d

0

...d

l

))

.

•

Si

i

p

= 0, alors

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

) satisfait la propri´et´e du lemme 8 sauf si

d

0

. . . d

l

= 0000000

d

7

. . . d

l

ou

d

0

. . . d

l

= 010110

d

6

. . . d

l

.

•

Si

i

p

= 1 ou 2, alors

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

) satisfait la propri´et´e du lemme 8 sauf si

d

0

. . . d

l

= 0000000

d

7

. . . d

l

ou

d

0

. . . d

l

= 010110110

d

9

. . . d

l

.

Il est facile de voir que dans ces cas int(

C

d

0

...d

l

) ne peut pas Ë†etre sous la forme

g

i

p

−

1

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

)

.

Lemme

9.

Soient

a

0

. . . a

m

et

b

0

. . . b

k

∈ N

f

o`

u

k, m

≥

3

,

et

a

0

a

1

a

2

, b

0

b

1

b

2

∈ {

000

,

010

}

.

S’il existe

i

1

, . . . , i

p

∈ {

0

,

1

,

2

}

tels que

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(int(

C

b

0

...b

k

)) = int(

C

a

0

...a

m

)

,

alors

(

i

1

, . . . , i

p

)

est uniquement d´

etermin´

e.

P r e u v e. D’apr`es la d´efinition des

g

i

(lemme 8), on a :

1. Si

b

0

b

1

b

2

= 000, alors

•

si

a

m

−

k

= 0 et

a

m

−

k

−

1

= 0 alors

i

1

= 0,

•

si

a

m

−

k

= 0 et

a

m

−

k

−

1

= 1 alors

i

1

= 1,

•

si

a

m

−

k

= 1 alors

i

1

= 2

.

2. Si

b

0

b

1

b

2

= 010

,

alors

•

si

a

m

−

k

= 0 alors

i

1

= 0,

•

si

a

m

−

k

= 1 et (

a

m

−

k

−

1

, a

m

−

k

−

2

) = (0

,

0) alors

i

1

= 1,

•

si

a

m

−

k

= 1 et (

a

m

−

k

−

1

, a

m

−

k

−

2

)

6

= (0

,

0) alors

i

1

= 2

.

D’o`

u

i

1

est uniquement d´etermin´e.

Nous appliquons le mˆeme proc´ed´e `a

g

i

1

(int(

C

b

0

...b

k

)) et int(

C

a

0

...a

m

) pour obtenir que

i

2

est uniquement d´etermin´e.

En continuant le mˆeme proc´ed´e, nous obtenons le lemme.

Preuve de la proposition 3.

(1) est Â´evident.

(2) Supposons que

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

) = int(

C

a

0

...a

m

) et

g

j

s

◦

. . .

◦

g

j

1

(

U

) =

int(

C

d

0

...d

k

) o`

u

m

≥

k.

Supposons que

g

i

p

◦

. . .

◦

g

i

1

(

U

)

∊

g

j

s

◦

. . .

◦

g

j

1

(

U

)

6

=

∅

.

Comme l’ensemble des nombres complexes qui ont au moins deux

Îą

-d´eveloppements

est de mesure nulle [16], nous avons

a

i

=

d

i

pour 0

≤

i

≤

k.

Puisque

a

k

=

a

k

−

1

=

. . .

=

a

k

−

4

= 0 et en vertu du lemme 8, nous avons

k

=

m.

Le lemme 9 implique

que (

i

p

, . . . , i

1

) = (

j

s

, . . . , j

1

)

.

Ceci termine la preuve.

Nous d´eduisons de la proposition 3 et du th´eor`eme 2 que dim

H

(

X

) =

s

o`

u

s

v´erifie

2

|

Îą

|

3

s

+

|

Îą

|

4

s

= 1

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

211

Nous en concluons que dim

H

(

X

) = log

Ěş/

log

|

Îą

|

= 1

.

09336

. . .

o`

u

Ěş

est la racine

r´eelle maximale du polynˆ

ome

X

4

+ 2

X

3

−

1 = 0

.

Nous retrouvons un r´esultat de

S. Ito et M. Kimura [10].

Remarque.

Soit

Îł

un nombre de Pisot r´eel ou complexe (entier alg´ebrique

de module

>

1 dont tous les conjugu´es au sens de Galois, `

a l’exception de

Îł

, sont

de module

<

1). Soit

A

un sous-ensemble fini d’entiers alg´ebriques de

Q

(

Îł

)

.

Soit

Ξ

=

{

P

∞

i

=0

a

i

Îł

−

i

|

(

a

i

)

∈

A

N

}

. Il est connu ([20], [15]) qu’il existe un automate fini

L

qui reconnaˆıt toutes les suites (

a

i

, b

i

)

i

∈

N

, (

a

i

)

,

(

b

i

)

∈

A

N

telles que

P

∞

i

=0

a

i

Îł

−

i

=

P

∞

i

=0

b

i

Îł

−

i

.

Il est int´eressant de voir si on peut utiliser le mˆeme raisonnement que

ci-dessus pour param´etriser la fronti`ere de

Ξ

et calculer sa dimension de Hausdorff.

4.1.

La fronti`

ere de

E

est un quasi-cercle.

Nous commen¸cons par donner

quelques d´efinitions (voir [14]).

Dans le plan complexe, on consid`ere le quadrilat`ere

Q

=

Q

(

z

1

, z

2

, z

3

, z

4

) de

sommets

z

i

. Soit

f

une fonction conforme de

Q

dans un rectangle

R

. Si

f

(

z

i

)

, i

∈

{

1

,

2

,

3

,

4

}

,

co¨Ĺncident avec les sommets de

R

, alors on dit que

f

est

canonique

et

R

est appel´e

rectangle canonique

de

Q.

Il est connu [14] que tout quadrilat`ere poss`ede une fonction conforme canonique,

unique modulo des similitudes.

On suppose que

R

=

{

x

+

iy

|

0

< x < a

, 0

< y < b

}

est rectangle canonique

de

Q

(

z

1

, z

2

, z

3

, z

4

) tel que le cˆ

ot´e [

z

1

, z

2

] correspond au segment [0

, a

]

.

On appelle

a/b

=

M

(

Q

(

z

1

, z

2

, z

3

, z

4

))

le

module

du quadrilat`ere

Q

(

z

1

, z

2

, z

3

, z

4

).

On montre que le module d’un quadrilat`ere est ind´ependant du choix du rect-

angle canonique associ´e.

Soit

A

un domaine. On consid`ere

K

l’ensemble de tous les quadrilat`eres

Q

=

Q

(

z

1

, z

2

, z

3

, z

4

) tels que

Q

⊂

A

et

f

un hom´eomorphisme qui pr´eserve le sens. On

pose

M

f

= sup

K

M

(

f

(

Q

))(

f

(

z

1

)

, f

(

z

2

)

, f

(

z

3

)

, f

(

z

4

))

M

(

Q

(

z

1

, z

2

, z

3

, z

4

))

.

D´

efinition

1.

Un hom´eomorphisme pr´eservant l’orientation est dit

quasi-conforme

si

M

f

est fini. En particulier si

M

f

= 1 alors

f

est conforme.

D´

efinition

2. Un courbe de Jordan

J

est un

quasi-cercle

si elle est l’image

d’un cercle par un hom´eomorphisme quasi-conforme. Le domaine entour´e par un
quasi-cercle est appel´e

quasi-disque

.

background image

212

A. Messaoudi

D´

efinition

3. Soient

x

et

y

deux Â´el´ements de

J

, soit I(

x, y

) l’arc de

J

orient´e

positivement et diam(I(

x, y

)) le diam`etre de cet arc. On dit que

J

v´erifie les

conditions d’Ahlfors

s’il existe un r´eel positif

k

tel que

∀

x, y

∈ J

,

min(diam(I(

x, y

))

,

diam(I(

y, x

)))

≤

k

|

x

−

y

|

.

Th´

eor`

eme

3 ([14]).

Si

J

v´

erifie les conditions d’Ahlfors

,

alors

J

est un

quasi-cercle.

Nous allons donc montrer que Fr(

E

) v´erifie les conditions d’Ahlfors ; pour cela,

nous avons besoin du lemme suivant.

Lemme

10.

Il existe un r´

eel strictement positif

k

tel que si

0

≤

t

0

≤

t

1

≤

t

2

≤

1

,

alors

|

f

(

t

1

)

−

f

(

t

0

)

| â‰¤

k

|

f

(

t

2

)

−

f

(

t

0

)

|

.

P r e u v e. Il est facile de v´erifier que

f

0

◦

f

2

(

z

) =

f

0

◦

f

0

(

z

) +

Îą

6

,

f

1

◦

f

0

(

z

) =

f

0

◦

f

1

(

z

) +

Îą

6

.

D’o`

u

f

[2

/

9

,

1

/

3] =

f

0

◦

f

2

(

X

) =

f

0

◦

f

0

(

X

) +

Îą

6

=

f

[0

,

1

/

9] +

Îą

6

,

et

f

[1

/

3

,

1

/

3 + 1

/

9] =

f

1

◦

f

0

(

X

) =

f

0

◦

f

1

(

X

) +

Îą

6

=

f

[1

/

9

,

2

/

9] +

Îą

6

.

Par cons´equent,

f

[2

/

9

,

1

/

3 + 1

/

9] =

f

[0

,

2

/

9] +

Îą

6

.

De mˆeme, en utilisant la sym´etrie de

X

, nous obtenons

f

[1

−

2

/

9

,

1] =

f

[1

−

4

/

9

,

1

−

2

/

9] +

Îą

6

.

Posons [0

,

1] =

A

1

∪

A

2

∪

A

3

∪

A

4

∪

A

5

o`

u

A

1

= [0

,

1

/

3],

A

2

= [2

/

9

,

1

/

3 + 1

/

9],

A

3

= [1

/

3

,

2

/

3],

A

4

= [1

−

4

/

9

,

1

−

2

/

9] et

A

5

= [2

/

3

,

1]

.

Donc

X

=

S

5

i

=1

f

(

A

i

)

.

Soient

t

0

,

t

1

et

t

2

trois Â´el´ements de [0

,

1] tels que 0

≤

t

0

≤

t

1

≤

t

2

≤

1

.

Nous

avons donc deux cas `a Â´etudier :

(1) Il existe

i

appartenant `

a

{

1

,

2

,

3

,

4

,

5

}

tel que

f

(

t

0

) et

f

(

t

2

) appartiennent `a

f

(

A

i

)

.

(2) Il n’existe pas

i

tel que

f

(

t

0

) et

f

(

t

2

) appartiennent `

a

f

(

A

i

)

.

Supposons que l’on est dans le cas (2). Soit

p

le minimum des distances entre

deux points de

X

v´erifiant (2) ; d’apr`es la construction des

A

i

,

p

est strictement

positif. Puisque

p

≤ |

f

(

t

2

)

−

f

(

t

0

)

|

, nous avons

|

f

(

t

1

)

−

f

(

t

0

)

| â‰¤

diam(

X

)

p

¡ |

f

(

t

2

)

−

f

(

t

0

)

|

.

Il suffit donc de prendre

k

= diam(

X

)

/p.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

213

Si on est dans le cas (1)

,

on peut toujours se ramener au cas o`

u

t

0

et

t

2

ap-

partiennent `

a

A

i

o`

u

i

est un Â´el´ement de

{

1

,

3

,

5

}

,

car

f

(

A

2

) =

f

[0

,

2

/

9] +

Îą

6

et

f

(

A

4

) =

f

[1

−

2

/

9

,

1]

−

Îą

6

.

Posons

i

= 2

s

+ 1,

s

∈ {

0

,

1

,

2

}

et d´efinissons l’application

h

de [0

,

1] dans lui

mˆeme par

h

(

t

) = 3

t

−

s

si

t

∈

A

2

s

+1

.

Donc

f

s

◦

f

(

h

(

t

0

)) =

f

(

t

0

)

,

f

s

◦

f

(

h

(

t

2

)) =

f

(

t

2

)

.

De mˆeme, nous avons

f

s

◦

f

(

h

(

t

1

)) =

f

(

t

1

)

,

car

t

1

∈

A

2

s

+1

.

Pour avoir le lemme, il

suffit d’avoir

|

f

(

h

(

t

1

))

−

f

(

h

(

t

0

))

| â‰¤

k

|

f

(

h

(

t

2

))

−

f

(

h

(

t

0

))

|

.

Par ailleurs,

|

Îą

−

3

| Âˇ |

f

(

t

0

)

−

f

(

t

2

)

| â‰¤ |

f

(

h

(

t

0

))

−

f

(

h

(

t

2

))

| â‰¤ |

Îą

−

4

| Âˇ |

f

(

t

0

)

−

f

(

t

2

)

|

.

Comme

Îą

est de module inf´erieur strictement `

a 1, en appliquant

h

un nombre fini

de fois, on obtient un couple (

h

n

(

t

0

)

, h

n

(

t

2

)) appartenant `

a

X

et v´erifiant

|

f

(

h

n

(

t

0

))

−

f

(

h

n

(

t

2

))

| â‰Ľ

p.

On prend

k

= diam(

X

)

/p

et on obtient

|

f

(

h

n

(

t

1

))

−

f

(

h

n

(

t

0

))

| â‰¤

k

|

f

(

h

n

(

t

0

))

−

f

(

h

n

(

t

2

))

|

.

Comme

t

1

appartient `

a

A

i

, nous avons

|

f

(

t

1

)

−

f

(

t

0

)

| â‰¤

k

|

f

(

t

2

)

−

f

(

t

0

)

|

.

Un corollaire imm´ediat du lemme 10 est le suivant.

Corollaire

2.

Il existe un r´

eel strictement positif

k

tel que pour tout r´

eel

t, t

′

, t

0

et

t

2

v´

erifiant

0

≤

t

0

≤

t

≤

t

′

≤

t

2

≤

1

,

on a

|

f

(

t

)

−

f

(

t

′

)

| â‰¤

k

|

f

(

t

2

)

−

f

(

t

0

)

|

.

Th´

eor`

eme

4.

Il existe un r´

eel positif

k

tel que pour tout

x

et

y

appartenant `

a

Fr(

E

)

,

on a

min(diam(I(

x, y

))

,

diam(I(

y, x

)))

≤

k

|

x

−

y

|

.

P r e u v e. Comme

f

2

(

X

)

−

Îą

est inclus dans

E âˆŠ

(

E âˆ’

Îą

)

,

la fronti`ere de

E

est

l’union de six arcs

B

0

=

X

∪

Y

,

B

1

=

Y

∪

Z

,

B

2

=

Z

∪

(

f

2

(

X

)

−

Îą

),

B

3

=

X

′

∪

Y

′

,

B

4

=

Y

′

∪

Z

′

,

B

5

=

Z

′

∪

f

0

(

X

)

.

D’apr`es la figure 5, on remarque que ces arcs sont similaires `

a

X

et on montre

en utilisant le lemme 2 qu’il existe des applications affines

H

i

de

C

dans

C

,

i

´el´ement de

{

0

,

1

,

2

,

3

,

4

,

5

}

, telles que l’image de

B

i

par

H

i

soit incluse dans

X.

Ces

applications sont d´efinies par

H

0

(

z

) =

Îą

4

+

Îą

3

z,

H

1

(

z

) =

Îą

+

Îą

3

+

Îą

2

z,

H

2

(

z

) =

Îąz,

et

H

3

=

H

0

◦

s,

H

4

=

H

1

◦

s,

H

5

=

H

2

◦

s,

o`

u

s

est la sym´etrie centrale d´efinie sur

E

.

background image

214

A. Messaoudi

En effet, nous avons

H

0

(

X

∪

Y

) =

H

0

(

X

∪

(1 +

Îą

+

ÎąX

))

= (

Îą

4

+

Îą

3

X

)

∪

(

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

X

)

=

f

0

(

X

)

∪

f

1

(

X

)

⊂

X,

H

1

(

Y

∪

Z

) =

H

1

((1 +

Îą

+

ÎąX

)

∪

(

Îą

3

+

Îą

2

X

))

= (

Îą

3

+

Îą

4

+

Îą

3

X

)

∪

(

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

X

)

=

f

2

(

X

)

∪

f

1

(

X

)

⊂

X,

H

2

(

Z

∪

(

f

2

(

X

)

−

Îą

)) =

H

2

((

Îą

3

+

Îą

2

X

)

∪

(1 +

Îą

2

+

Îą

4

+

Îą

3

X

))

= (

Îą

4

+

Îą

3

X

)

∪

(

Îą

+

Îą

3

+

Îą

5

+

Îą

4

X

)

=

f

0

(

X

)

∪

f

1

(

X

)

⊂

X.

Nous avons

H

3

(

X

′

∪

Y

′

) =

H

0

(

s

(

X

′

∪

Y

′

)) =

H

0

(

X

∪

Y

)

.

De mˆeme

H

4

(

Y

′

∪

Z

′

) =

H

1

(

Y

∪

Z

) et

H

5

(

Z

′

∪

f

0

(

X

)) =

H

2

(

f

2

(

X

)

−

Îą

)

.

Soient

x

et

y

deux Â´el´ements de Fr(

E

). Alors nous avons deux cas :

(1)

x

et

y

appartiennent au mˆeme arc

B

i

.

Dans ce cas,

H

i

(

x

) et

H

i

(

y

) appar-

tiennent `

a

X

et il r´esulte du corollaire 2 que

min(diam(I(

H

i

(

x

)

,

H

i

(

y

)))

,

diam(I(

H

i

(

y

)

,

H

i

(

x

))))

≤

k

|H

i

(

x

)

− H

i

(

y

)

|

,

d’o`

u le r´esultat.

(2)

x

et

y

n’appartiennent pas au mˆeme arc

B

i

.

Donc, d’apr`es la construction

des

B

i

,

x

et

y

n’appartiennent pas `

a deux arcs successifs de Fr(

E

) (i.e. (

x, y

)

6∈

(

X

×

Y

)

∪

(

Y

×

Z

)

∪

(

Z

×

X

′

)

∪

(

X

′

×

Y

′

)

∪

(

Y

′

×

Z

′

)

∪

(

Z

′

×

X

)). D’o`

u il existe un r´eel

strictement positif

d

tel que

|

x

−

y

| â‰Ľ

d.

Il suffit donc de prendre

k

= diam(Fr(

E

))

/d

pour avoir le th´eor`eme.

Il est connu [14] que la classe des domaines qui sont des quasi-disques co¨Ĺncide

avec celle des domaines uniformes. Il s’en suit que int(

E

) est un domaine uniforme,

c’est-`a-dire, il existe deux r´eels positifs

a

et

b

tels que tout

z

1

et

z

2

appartenant `a

int(

E

) peuvent Ë†etre joints par un arc

Ρ

dans int(

E

) qui v´erifie les deux propri´et´es

suivantes :

•

La longueur euclidienne

l

(

Ρ

) de

Ρ

satisfait l’in´egalit´e

l

(

Ρ

)

≤

a

|

z

1

−

z

2

|

.

• âˆ€

z

∈

Ρ,

min(

l

(

Ρ

1

)

, l

(

Ρ

2

))

≤

b

¡

d

(

z,

Fr(

E

)) o`

u

Ρ

1

et

Ρ

2

sont les deux arcs de

Ρ

\

z.

Remarque.

Il a Â´et´e prouv´e dans [3] que la fronti`ere du fractal du dragon est

un quasi-cercle. Ceci motive la question suivante : Parmi les courbes g´en´er´ees par
la m´ethode de Dekking, quelles sont celles qui sont quasi-cercles?

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

215

5. Les points strictement extr´

emaux du fractal de Rauzy.

Dans cette

section nous construisons les points strictement extr´emaux du fractal de Rauzy, ce
qui permet de trouver l’enveloppe convexe du fractal de Rauzy et se g´en´eralise aux

n

-fractals du dragon,

n

≥

1.

Dans le plan complexe, nous consid´erons une droite

∆

a

passant par l’origine,

de vecteur directeur

~u

et de direction un r´eel

a

∈

[0

,

2

π

[

.

Soit

p

a

la projection

orthogonale de

E

sur

∆

a

:

∀

z

∈ E

,

p

a

(

z

) =

c

a

(

z

)

~u,

o`

u

c

a

(

z

)

∈

R

.

Comme

E

est compact, le maximum des

c

a

(

z

),

z

∈ E

,

est atteint en au moins un point

x

appartenant `a

E

.

D´

efinition

4. Sous les mˆemes hypoth`eses, un point

x

∈ E

est dit

strictement

extr´

emal

pour la direction

a

si

c

a

(

x

) = max

{

c

a

(

z

);

z

∈ E}

.

Remarque.

Un point strictement extr´emal de

E

appartient `

a Fr(

E

)

.

Construction d’un point strictement extr´

emal.

Soit

Îą

=

|

Îą

|

e

iφ

o`

u

φ

est un

argument de

Îą

appartenant `

a l’ensemble [0

,

2

π

[ (

φ/π

∟

0

.

69). Soit

a

∈

[0

,

2

π

[ et

z

∈ E

tel que

z

=

P

∞

n

=3

Îľ

n

Îą

n

. Alors

(1)

p

a

(

z

) = Re(

ze

−

ia

)

~u

=

∞

X

n

=3

Îľ

n

|

Îą

|

n

cos(

nφ

−

a

)

~u.

Soit (

a

n

)

n

≥

3

une suite dont les termes sont dans

{

0

,

1

}

et v´erifient







a

n

= 1

si cos(

nφ

−

a

)

>

0

,

a

n

= 0

si cos(

nφ

−

a

)

<

0

,

a

n

arbitraire dans

{

0

,

1

}

si cos(

nφ

−

a

) = 0

.

Proposition

4.

Soit

(

a

n

)

n

≥

3

une des suites d´

efinies ci-dessus. Alors

(

a

n

)

n

≥

3

∈

N

,

et

P

∞

n

=3

a

n

Îą

n

est un point strictement extr´

emal pour la direction

a.

P r e u v e. Montrons que (

a

n

)

n

≥

3

∈ N

.

Supposons qu’il existe

n

≥

3 tel que

a

n

=

a

n

+1

= 1 ; d’o`

u cos(

nφ

−

a

) et cos((

n

+ 1)

φ

−

a

) sont positifs. Par cons´equent

il existe deux entiers relatifs

k

et

k

′

tels que

−

π

2

+ 2

kπ

≤

nφ

−

a

≤

π

2

+ 2

kπ

et

−

π

2

+ 2

k

′

π

≤

(

n

+ 1)

φ

−

a

≤

π

2

+ 2

k

′

π,

ou encore

2

k

≤

n

φ
π

−

a

π

+

1
2

≤

2

k

+ 1 et 2

k

′

≤

(

n

+ 1)

φ
π

−

a

π

+

1
2

≤

2

k

′

+ 1

.

Nous avons

k

′

≥

k

car (

n

+ 1)

φ
π

−

a
π

+

1
2

> n

φ
π

−

a
π

+

1
2

,

d’o`

u

2

k

′

−

2

k

−

1

≤

(

n

+ 1)

φ
π

−

a

π

+

1
2

−

n

φ
π

−

a

π

+

1
2

=

φ
π

<

1

,

ce qui implique que

k

′

=

k.

background image

216

A. Messaoudi

Par ailleurs

n

φ
π

−

a

π

+

1
2

<

n

φ
π

−

a

π

+

1
2

+

2

φ
π

−

1

<

(

n

+ 1)

φ
π

−

a

π

+

1
2

car

φ/π

∟

0

.

69. Donc 2

k <

(

n

+ 2)

φ
π

−

a
π

+

1
2

−

1

<

2

k

+ 1

,

c’est-`

a-dire 2

k

+ 1

<

(

n

+ 2)

φ
π

−

a
π

+

1
2

<

2

k

+ 2. Il en r´esulte que cos((

n

+ 2)

φ

−

a

)

<

0

,

d’o`

u

a

n

+2

= 0

,

ce qui implique que (

a

n

)

n

≥

3

∈ N

.

Par ailleurs, soit (

Îľ

n

)

n

≥

3

dans

N

. De la relation (1) et de la d´efinition de (

a

n

),

nous d´eduisons que

∞

X

n

=3

Îľ

n

|

Îą

|

n

cos(

nφ

−

a

)

≤

∞

X

n

=3

a

n

|

Îą

|

n

cos(

nφ

−

a

)

.

Par cons´equent

P

∞

n

=3

a

n

Îą

n

est un point strictement extr´emal pour la direction

a.

Remarque.

La preuve montre aussi que la suite (

a

n

)

n

≥

3

ne peut pas contenir

trois â€œ0” cons´ecutifs. Il suffit de remplacer partout 2

k

(resp. 2

k

′

) par 2

k

+ 1 (resp.

2

k

′

+ 1).

La d´efinition de la suite (

a

n

)

n

≥

3

montre qu’a priori, nous pouvons avoir une

infinit´e de points strictement extr´emaux pour une direction

a

. Cela est faux. Nous

allons prouver que pour une direction donn´ee, on ne peut avoir plus de deux points
strictement extr´emaux.

Lemme

11.

φ/π

est irrationnel.

P r e u v e. Supposons que

φ/π

est rationnel, il existe donc un entier naturel

n

tel que

Îą

n

soit r´eel. D’o`

u

Îą

n

=

Îą

n

.

Il en r´esulte que le seul possible conjugu´e au

sens de Galois de

Îą

n

,

diff´erent de

Îą

n

est

β

n

o`

u

β

est le conjugu´e r´eel de

Îą

. D’o`

u

le corps

Q

(

Îą

n

) est strictement inclus dans le corps cubique

Q

(

Îą

)

.

Cela implique

que

Q

(

Îą

n

) =

Q

car un corps cubique ne peut pas contenir un corps quadratique.

Par cons´equent, il existe deux entiers relatifs

m

et

r

tels que

mÎą

n

−

r

= 0, d’o`

u le

polynˆome

Q

(

X

) =

mX

n

−

r

est un multiple du polynˆ

ome minimal de

Îą

. Cela est

impossible, car toutes les racines de

Q

(

X

) ont le mˆeme module.

Remarque.

Ce lemme est vrai pour arg(

Îł

)

/π

o`

u

Îł

est un complexe alg´ebrique

de degr´e 3 ayant au moins un conjugu´e de module diff´erent de celui de

Îł

.

Corollaire

3.

Soit

a

∈

[0

,

2

π

[

.

Alors l’ensemble

{

n

≥

3

|

cos(

nφ

−

a

)

= 0

}

est soit vide

,

soit r´

eduit `

a un Â´

el´

ement.

P r e u v e. Supposons qu’il existe deux entiers diff´erents

m

et

n

sup´erieurs ou

´egaux `a 3 tels que cos(

nφ

−

a

) = cos(

mφ

−

a

) = 0

.

Par cons´equent, il existe

s

∈

Z

tel que

φ/π

=

s/

(

n

−

m

)

∈

Q

, ce qui contredit le lemme 11.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

217

Maintenant, nous sommes en mesure d’expliciter les points strictement

extr´emaux.

Premier cas

. Si

{

n

≥

3

|

cos(

nφ

−

a

) = 0

}

=

∅

, alors nous avons un seul point

strictement extr´emal pour la direction

a

. Ce point est

x

a

=

P

∞

n

=3

a

n

Îą

n

, o`

u

a

n

=

1 si cos(

nφ

−

a

)

≥

0,

0 sinon,

ou encore

a

n

=

1

si

∃

k

∈

Z

,

2

k

−

1

≤

n

φ
π

−

a

π

−

1
2

≤

2

k

,

0

sinon.

Comme pour tout entier

n

≥

3 et

k

∈

Z

,

n

φ
π

−

a
π

−

1
2

6∈ {

2

k

−

1

,

2

k

}

car cos(

nφ

−

a

)

6

=

0

,

nous avons

a

n

=

n

φ
π

−

a

π

−

1
2

mod 2

.

Deuxi`

eme cas

. Il existe un unique entier

m

≥

3 tel que cos(

mφ

−

a

) = 0,

ou encore

a

=

mφ

+ (1

/

2

−

p

)

π

,

p

∈

Z

.

Dans ce cas, nous obtenons deux points

strictement extr´emaux qui sont

x

a

=

P

∞

n

=3

a

n

Îą

n

et

y

a

=

P

∞

n

=3

b

n

Îą

n

o`

u

a

n

=

1 si cos(

nφ

−

a

)

≥

0,

0 sinon

et

b

n

=

1

si cos(

nφ

−

a

)

>

0,

0

sinon.

Pour tout

n

≥

3, si

n

6

=

m

alors

a

n

=

b

n

et

a

m

= 1

, b

m

= 0

.

Par cons´equent

y

a

=

∞

X

n

=3

, n

6

=

m

a

n

Îą

n

et

x

a

=

∞

X

n

=3

, n

6

=

m

a

n

Îą

n

+

Îą

m

=

∞

X

n

=3

, n

6

=

m

a

n

Îą

n

+

|

Îą

m

|

e

i

(

a

−

(1

/

2

−

p

)

π

)

.

D’o`

u

x

a

=

y

a

+

|

Îą

m

|

e

i

(

a

−

π/

2)

si

p

est pair,

x

a

=

y

a

− |

Îą

m

|

e

i

(

a

−

π/

2)

si

p

est impair

et

y

a

=

P

∞

n

=3

, n

6

=

m

a

n

Îą

n

o`

u

a

n

=

n

φ
π

−

a

π

−

1
2

mod 2

,

pour tout

n

≥

3

.

Proposition

5.

Soit

x

=

P

∞

n

=3

a

n

Îą

n

un point strictement extr´

emal de

E

pour

une direction

a

∈

[0

,

2

π

[

. Alors la suite

(

a

n

)

n

≥

3

est le codage de

x

0

=

−

a

2

π

+

1
4

+

3

φ

π

[1]

pour la rotation d’angle

φ/

(2

π

)

sous la partition

([0

,

1

/

2[

,

[1

/

2

,

1[)

ou bien

(]0

,

1

/

2]

,

]1

/

2

,

1])

.

background image

218

A. Messaoudi

P r e u v e. Supposons qu’il existe

m

≥

3 tel que

a

=

mφ

+ (1

/

2

−

p

)

π

,

p

∈

Z

.

Les

deux suites correspondant aux deux points strictement extr´emaux sont (

a

n

)

n

≥

3

et

(

b

n

)

n

≥

3

o`

u

a

n

= 1

⇔ âˆƒ

k

∈

Z

,

−

π/

2 + 2

kπ

≤

nφ

−

a

≤

π/

2 + 2

kπ

et

b

n

= 1

⇔ âˆƒ

k

′

∈

Z

,

−

π/

2 + 2

kπ < nφ

−

a < Ď€/

2 + 2

kπ.

Nous avons

mφ

−

a

=

−

π/

2 +

pπ.

Si

p

est pair, alors en vertu du corollaire 3, nous avons

∀

n

≥

3

,

a

n

= 1

⇔ âˆƒ

k

∈

Z

,

−

π/

2 + 2

kπ

≤

nφ

−

a < Ď€/

2 + 2

kπ

ou encore

∀

n

≥

3

,

a

n

=

1

si

nφ

2

π

−

a

2

π

+

1
4

[1]

∈

[0

,

1

/

2[,

0

sinon.

D’o`

u la suite (

a

n

)

n

≥

3

=

T

3

((

c

n

)

n

∈

N

) (

T

est l’application de

{

0

,

1

}

N

dans lui mˆeme

qui `

a une suite (

a

n

) associe la suite (

a

n

+1

) ; et (

c

n

) est le codage de

−

a

2

π

+

1
4

[1] pour

la rotation d’angle

φ/

(2

π

) sous la partition ([0

,

1

/

2[

,

[1

/

2

,

1[)

,

ou encore (

a

n

)

n

≥

3

est

le codage de

x

0

=

−

a

2

π

+

1
4

+

3

φ

π

pour la rotation d’angle

φ/

(2

π

) sous la partition

([0

,

1

/

2[

,

[1

/

2

,

1[)

.

De mˆeme la suite (

b

n

)

n

≥

3

est le codage de

−

a

2

π

+

1
4

+

3

φ

π

[1] pour la rotation

d’angle

φ/

(2

π

) sous la partition (]0

,

1

/

2]

,

]1

/

2

,

1])

.

Si

p

est impair, alors

mφ

−

a

=

π/

2 + (

p

−

1)

π.

Dans ce cas, nous avons

a

n

=

1

si

nφ

2

π

−

a

2

π

+

1
4

[1]

∈

]0

,

1

/

2],

0

sinon

et

b

n

=

1

si

nφ

2

π

−

a

2

π

+

1
4

[1]

∈

[0

,

1

/

2[,

0

sinon.

Dans le cas o`

u cos(

nφ

−

a

)

6

= 0 pour tout

n

≥

3

,

les deux codages sont les mˆemes

et coincident avec la suite (

a

n

)

n

≥

3

qui est d´efinie par :

a

n

=

n

φ
π

−

a

π

−

1
2

mod 2

pour tout

n

≥

3

.

Remarque.

Les suites codages d’une rotation d’angle fixe sous la partition

([0

,

1

/

2[

,

[1

/

2

,

1[) ou bien (]0

,

1

/

2]

,

]1

/

2

,

1]) ont plusieurs propri´et´es (voir [18]), en

particulier quand l’angle de rotation est irrationnel ; ce qui est le cas ici.

6. L’enveloppe convexe ferm´

ee de

E

.

´

Etant donn´e un ensemble

A

⊂

C

,

nous appelons

enveloppe convexe ferm´

ee

de

A

le plus petit convexe ferm´e contenant

A

; nous le notons par

O

(

A

)

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

219

Il y a deux fa¸cons de construire l’enveloppe convexe ferm´ee d’un ensemble. La

premi`ere est avec les barycentres, elle consiste `

a joindre deux points quelconques

de

A

par un segment.

Th´

eor`

eme

5.

L’ensemble

O

(

A

)

est la fermeture topologique de l’ensemble

{

tx

+ (1

−

t

)

y

|

t

∈

[0

,

1]

, x, y

∈

A

}

.

La seconde m´ethode consiste `

a utiliser les droites d’appui des Â´el´ements de la

fronti`ere de

A.

D´

efinition

5. Soient

A

et

B

deux parties de

C

et

D

une droite. On dit

que

D

s´

epare

(resp.

strictement

)

A

et

B

si

A

est dans l’un et

B

dans l’autre des

demi-espaces (resp. ouverts) d´etermin´es par la droite

D.

D´

efinition

6. Soit

A

une partie quelconque de

C

,

on appelle

droite d’appui

de

A

toute droite

D

contenant un point

x

∈

A

et s´eparant

{

x

}

et

A

. Le point

x

est appel´e

point d’appui

.

Remarque.

Une droite d’appui n’existe pas toujours en un point

x

∈

A

et si

elle existe, elle peut ne pas Ë†etre unique et avoir plus d’un point d’appui. Un point
d’appui appartient `

a Fr(

A

)

.

Th´

eor`

eme

6.

L’ensemble

O

(

A

)

est l’intersection des demi-espaces ferm´

es con-

tenant

A

et d´

etermin´

es par toutes les droites d’appui des Â´

el´

ements de

A

.

Pour la preuve, nous allons utiliser la proposition suivante (voir [4], p. 35).

Proposition

6.

Si

A

et

B

sont deux convexes de

C

avec

A

ferm´

e non vide

,

B

compact et

A

∊

B

=

∅

,

alors il existe une droite les s´

eparant strictement.

P r e u v e (du th´eor`eme 6). Soit

X

(

A

) l’intersection des demi-espaces ferm´es

contenant

A

et d´etermin´es par toutes les droites d’appui des Â´el´ements de

A

. Alors

X

(

A

) est un convexe ferm´e contenant

A

. Soit

z

∈

X

(

A

)

−

O

(

A

). En vertu de la

proposition pr´ec´edente, il existe une droite

D

qui s´epare strictement

{

z

}

et

O

(

A

).

Cela implique l’existence d’une droite d’appui

∆

qui s´epare

z

et

A

strictement (

∆

est parall`ele `a

D

). D’o`

u une contradiction avec la d´efinition de

X

(

A

)

.

Construction de l’enveloppe convexe de

E

Proposition

7.

L’ensemble des points strictement extr´

emaux du fractal de

Rauzy est Â´

egal `

a l’ensemble de ses points d’appui.

P r e u v e. Soit

z

un point d’appui et

D

z

sa droite d’appui. Consid´erons (

∆

) la

droite passant par l’origine et perpendiculaire `

a

D

z

. Soit

a

∈

[0

,

2

π

[ la direction

de (

∆

). Alors

z

est un point strictement extr´emal pour la direction

a,

car sinon, il

existe

z

′

∈ E

, z

′

6

=

z

, tel que

z

′

appartient au demi-plan ferm´e d´etermin´e par

D

z

et

ne contenant pas 0, ce qui est absurde, car

D

z

s´epare

{

z

}

et

E

.

De mˆeme si

z

est

un point strictement extr´emal pour une direction

a

, alors c’est un point d’appui :

sa droite d’appui est la perpendiculaire `

a la droite de direction

a

.

background image

220

A. Messaoudi

Remarque.

Comme les points strictement extr´emaux de

E

sont associ´es `a

des suites qui sont codages d’une rotation d’angle irrationnel, pour deux directions
diff´erentes, on ne peut pas obtenir le mˆeme point strictement extr´emal. Il en r´esulte
que chaque point d’appui de

E

poss`ede une et une seule droite d’appui. Une droite

d’appui poss`ede au plus deux points d’appui.

Th´

eor`

eme

7.

La fronti`

ere de

O

(

E

)

admet un nombre d´

enombrable de cˆ

ot´

es.

Chaque cˆ

ot´

e a pour extr´

emit´

e les deux points strictment extr´

emaux pour la mˆ

eme

direction

a

=

mφ

+ (1

/

2

−

p

)

π

o`

u

m

est un entier naturel sup´

erieur ou Â´

egal `

a

3

et

p

un entier relatif.

7. Application au fractal du dragon.

Cette m´ethode peut Ë†etre appliqu´ee

au fractal du dragon

D

1

=

{

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

| âˆ€

n

≥

1

, a

n

∈ {

0

,

1

}}

.

Posons

ψ

= arg

1

−

1 +

i

=

5

π

4

.

Comme ci-dessus,

x

=

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

est un point strictement extr´emal

pour la direction

a

∈

[0

,

2

π

[ si et seulement si la suite (

a

n

)

n

≥

1

est d´efinie par

(

∗

)

a

n

=







1

si cos(5

nπ/

4

−

a

)

>

0,

0

si cos(5

nπ/

4

−

a

)

<

0,

arbitraire si cos(5

nπ/

4

−

a

) = 0.

Supposons que pour tout

n

≥

1, cos(5

nπ/

4

−

a

)

6

= 0

.

Nous obtenons un unique

point strictement extr´emal pour la direction

a

, soit

∞

X

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

o`

u

a

n

=

1

si

5

n

8

−

a

2

π

+

1
4

[1]

∈

[0

,

1

/

2[,

0

sinon.

La suite (

a

n

)

n

≥

1

est donc p´eriodique de p´eriode 8. C’est le codage de

−

a

2

π

+

1
4

+

ψ

π

[1]

pour la rotation d’angle 5

/

8 pour la partition ([0

,

1

/

2[

,

[1

/

2

,

1[)

.

Quand

a

parcourt l’ensemble [0

,

2

π

[

−{

5

nπ/

4 + (1

/

2

−

p

)

π

|

p

∈

Z

, n

∈

N

∗

}

,

l’ensemble des suites (

a

n

)

n

≥

1

associ´ees aux points strictement extr´emaux parcourt

un ensemble fini `a 8 Â´el´ements que l’on peut calculer explicitement.

Supposons maintenant que

a

= 5

mπ/

4 + (1

/

2

−

p

)

π

o`

u

p

∈

Z

et

m

∈

N

∗

,

c’est-`a-dire

a

∈ {

0

, Ď€/

4

, Ď€/

2

,

3

π/

4

, Ď€,

5

π/

4

,

3

π/

2

,

7

π/

4

}

.

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

221

Nous avons cos(5

mπ/

4

−

a

) = 0

.

Or l’ensemble

{

n

∈

N

∗

|

cos(5

nπ/

4

−

a

) = 0

}

=

{

m

+ 4

k

|

k

∈

Z

} âˆŠ

N

∗

est infini. Nous avons donc un nombre infini de points

strictement extr´emaux pour la direction

a.

Soit

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

un point strictement extr´emal pour

a

. Pour tout

k

∈

N

∗

− {

m

}

, nous avons

a

k

+4

+

a

k

= 1

.

Par cons´equent, pour connaˆıtre la suite

(

a

n

)

n

≥

1

,

il suffit connaˆıtre ses quatre premiers termes.

Premier cas:

a

= 0

.

Dans ce cas,

m

= 2 et

p

= 3, d’o`

u pour tout

k

∈

N

, a

2+4

k

est un Â´el´ement arbitraire de

{

0

,

1

}

. D’autre part, en utilisant la relation

(1)

a

n

= ([5

n/

4

−

a/π

−

1

/

2]) mod 2

si

n

6

=

m

+ 4

k

nous obtenons

a

1

= 0

, a

3

= 1 et

a

4

= 0

.

Il en r´esulte que les suites correspondant

aux points strictement extr´emaux pour la direction 0 sont de la forme (

a

n

)

n

≥

1

o`

u

a

1

=

a

4

=

a

7

= 0

, a

3

=

a

5

=

a

8

= 1 et

a

2+4

k

est arbitraire pour tout

k

∈

N

,

et

a

n

+8

=

a

n

pour tout

n

6

= 2 + 4

k.

Nous notons une suite

a

1

a

2

. . .

de cette forme par (0

.

101

.

01) (le â€œ.” d´esigne que

l’on a un Â´el´ement arbitraire de

{

0

,

1

}

)

.

Deuxi`

eme cas:

a

=

π/

4

.

Dans ce cas

m

= 3 et

p

= 4, d’o`

u pour tout

k

∈

N

,

a

3+4

k

est un Â´el´ement arbitraire de

{

0

,

1

}

. En vertu de la relation (1), on trouve

a

1

= 0

, a

2

= 1 et

a

4

= 0. Donc les suites (

a

n

)

n

≥

1

sont de la forme (01

.

010

.

1).

Nous remarquons que

c

=

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1+

i

)

−

n

o`

u (

a

n

)

n

≥

1

est la suite p´eriodique

(01101001), est l’unique point strictement extr´emal `a la fois pour 0 et

π/

4

.

Troisi`

eme cas:

a

=

π/

2

.

Dans ce cas

m

= 4 et

p

= 5

,

d’o`

u

a

4

k

est arbitraire

pour tout

k

∈

N

∗

.

On trouve

a

1

= 0

, a

2

= 1 et

a

3

= 0. Par cons´equent, les suites

(

a

n

)

n

≥

1

sont de la forme (010

.

101

.

)

.

Soit

d

=

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

o`

u (

a

n

)

n

≥

1

est la suite p´eriodique (01001011).

Alors

d

est l’unique point strictement extr´emal `

a la fois pour

π/

4 et

π/

2

.

Quatri`

eme cas:

a

= 3

π/

4

.

Dans ce cas nous avons

m

= 1 et

p

= 1

,

d’o`

u

pour tout

k

∈

N

, a

1+4

k

est un Â´el´ement arbitraire de

{

0

,

1

}

et pour tout

n

6

= 1 + 4

k

,

a

n

= ([5

n/

4

−

5

/

4]) mod 2

.

D’o`

u

a

2

= 1

, a

3

= 0 et

a

4

= 1

.

Il en r´esulte que les

suites (

a

n

)

n

≥

1

sont de la forme (

.

101

.

010)

.

La point

e

=

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

o`

u (

a

n

)

n

≥

1

est la suite p´eriodique (01011010)

est l’unique point strictement extr´emal `

a la fois pour

π/

2 et 3

π/

4

.

D’autre part, en vertu de (

∗

), un point

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

est strictement

extr´emal pour la direction

a

si et seulement si

P

∞

n

=1

(1

−

a

n

)(

−

1 +

i

)

−

n

est stricte-

ment extr´emal pour la direction

π

−

a

. Il en d´ecoule que les points strictement

extr´emaux respectivement pour les directions

π,

5

π/

4

,

3

π/

2

,

7

π/

4 se d´eduisent de

background image

222

A. Messaoudi

ceux associ´es respectivement aux directions 0

, Ď€/

4

, Ď€/

2

,

3

π/

4

.

Les points

c

′

=

P

∞

n

=1

a

n

(

−

1 +

i

)

−

n

,

d

′

=

P

∞

n

=1

b

n

(

−

1 +

i

)

−

n

et

P

∞

n

=1

c

n

(

−

1 +

i

)

−

n

o`

u

(

a

n

) = (10010110)

,

(

b

n

) = (10110100)

,

(

c

n

) = (10100101)

sont respectivement les seuls points strictement extr´emaux associ´es respectivement
`a la fois `a

π

et 5

π/

4, 5

π/

4 et 3

π/

2, 3

π/

2 et 7

π/

4

.

De mˆeme, nous montrons que

g

=

P

∞

n

=1

d

n

(

−

1+

i

)

−

n

o`

u (

d

n

)

n

≥

1

= (11010010)

et

g

′

=

P

∞

n

=1

(1

−

d

n

)(

−

1 +

i

)

−

n

sont respectivement les seuls points strictement

extr´emaux `

a la fois pour 3

π/

4 et

π

, 7

π/

4 et 0

.

Par cons´equent, nous avons la proposition suivante.

Proposition

8.

L’enveloppe convexe ferm´

ee du fractal du dragon est un poly-

gone convexe

;

c’est exactement l’octogone dont les

8

cˆ

ot´

es ont pour extr´

emit´

es les

points

c, d, e, g, c

′

, d

′

, e

′

, g

′

.

Nous pouvons facilement calculer les nombres complexes

c, d, e, g, c

′

, d

′

,

e

′

, g

′

,

car ils ont chacun un d´eveloppement p´eriodique en base

−

1 +

i.

Posons

−

1 +

i

=

Îł

; alors

c

=

Îł

2

+

Îł

3

+

Îł

5

+

Îł

8

1

−

Îł

8

=

7 + 6

i

15

,

d

=

Îł

2

+

Îł

5

+

Îł

7

+

Îł

8

1

−

Îł

8

=

2 + 11

i

15

,

e

=

Îł

2

+

Îł

4

+

Îł

5

+

Îł

7

1

−

Îł

8

=

−

3 + 11

i

15

,

g

=

Îł

+

Îł

2

+

Îł

4

+

Îł

7

1

−

Îł

8

=

13 +

i

15

,

c

′

=

−

13

−

9

i

15

,

d

′

=

−

8

−

14

i

15

,

e

′

=

−

13

−

14

i

15

et

d

′

=

7

−

14

i

15

.

Remarque.

Nous retrouvons d’une autre fa¸con un r´esultat de Benedek et

Panzone (voir [3]). Ce qui est nouveau avec notre m´ethode est qu’elle permet de
trouver tous les points strictement extr´emaux du fractal du dragon.

8. G´

en´

eralisation aux

k

-fractals du dragon.

Les

k

-

fractals du dragon

(

k

≥

1) sont les ensembles

D

k

=

{

P

∞

n

=1

a

n

/

(

−

k

+

i

)

n

|

a

n

∈ {

0

,

1

, . . . , k

2

}}

.

Ce sont des compacts de

C

`

a fronti`ere fractale (voir [6], [7], [12], [13]).

De la mˆeme mani`ere que le fractal de Rauzy, nous pouvons d´eterminer les points

strictement extr´emaux de

D

k

,

k >

1. Il suffit de coder par

a

n

=







k

2

si cos(

nθ

−

a

)

>

0,

0

si cos(

nθ

−

a

)

<

0,

arbitraire si cos(

nθ

−

a

) = 0,

o`

u

θ

= arg(1

/

(

−

k

+

i

))

.

Le th´eor`eme (classique) qui va suivre montre que nous

sommes dans la mˆeme situation que celle du fractal de Rauzy.

Th´

eor`

eme

8.

Pour tout

k >

1, arg(1

/

(

−

k

+

i

))

/π

∈

R

−

Q

.

P r e u v e. Supposons que

θ/

(2

π

) est rationnel. Il est clair que cos(

θ

) est un

nombre alg´ebrique de degr´e au plus deux. Comme [

Q

(cos(

θ

)) :

Q

] =

ψ

(

n

)

/

2 o`

u

background image

Fronti`

ere du fractal de Rauzy

223

n

est le d´enominateur de cos(

θ

) et

ψ

est la fonction d’Euler, nous d´eduisons que

ψ

(

n

)

≤

4, ou encore

n

peut prendre seulement les valeurs 1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

,

8

,

10

,

12

.

Une simple v´erification montre que ce n’est pas le cas.

Remarque.

Notre m´ethode de la construction de l’enveloppe convexe se

g´en´eralise aux ensembles de la forme

{

P

∞

i

=0

a

i

Îł

i

|

(

a

i

)

∈

A

N

}

o`

u

A

est un en-

semble fini de r´eels positifs contenant 0, et

Îł

un nombre complexe de module

<

1

.

Remerciement.

L’auteur remercie le rapporteur pour ses remarques int´eress-

antes et de lui avoir indiqu´e une d´emonstration assez simple du th´eor`eme 8.

R´

ef´

erences

[1]

P. A r n o u x,

Un exemple de semi-conjugaison entre un Â´

echange d’intervalles et une

rotation sur le tore

, Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 489–500.

[2]

M. B a r n s l e y,

Fractals Everywhere

, Academic Press, 1988.

[3]

A. B e n e d e k and R. P a n z o n e,

The set of Gaussian fractions

, in: Proc. Second

Conf. Math. â€œDr. Antonio A. R. Monteiro” (Bahia Blanca, 1993), 11–40.

[4]

M. B e r g e r,

G´

eom´

etrie 2

, Cedic/Nathan, 1977.

[5]

F. M. D e k k i n g,

Recurrent sets

, Adv. Math. 44 (1982), 78–104.

[6]

W. J. G i l b e r t,

Complex numbers with three radix expansions

, Canad. J. Math. 34

(1982), 1335–1348.

[7]

—,

Fractal geometry derived from complex bases

, Math. Intelligencer 4 (1982), 78–

86.

[8]

—,

Fractal dimension of sets derived from complex bases

, Canad. Math. Bull. 29

(1986), 495–500.

[9]

J. E. H u t c h i n s o n,

Fractals and self similarity

, Indiana Univ. Math. J. 5 (1981),

713–747.

[10]

S. I t o and M. K i m u r a,

On the Rauzy fractal

, Japan J. Indust. Appl. Math. 8

(1991), 461–486.

[11]

S. I t o and M. M i z u t a n i,

Potato exchange transformations with fractal domains

,

preprint.

[12]

J. K Â´

a t a i and J. S z a b Â´

o,

Canonical number systems for complex integers

, Acta Sci.

Math. (Szeged) 37 (1975), 255–260.

[13]

D. E. K n u t h,

The Art of Computer Programming

, Vol. 2, Seminumerical Algo-

rithms, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.

[14]

O. L e h t o,

Univalent Functions and Teichm¨

uller Spaces

, Springer, 1986.

[15]

A. M e s s a o u d i,

Autour du fractal de Rauzy

, Th`ese de l’Universit´e de la M´edit´eran-

n´ee, Aix-Marseille II, 1996.

[16]

—,

Propri´

et´

es arithm´

etiques et dynamiques du fractal de Rauzy

, J. Th´eor. Nombres

Bordeaux 10 (1998), 135–162.

[17]

G. R a u z y,

Nombres alg´

ebriques et substitutions

, Bull. Soc. Math. France 110 (1982),

147–178.

[18]

G. R o t e,

Sequences with subword complexity

2

n

, J. Number Theory 46 (1972),

196–213.

background image

224

A. Messaoudi

[19]

V. S i r v e n t,

Properties of geometrical realisations of substitutions associated to a

family of Pisot numbers

, Ph.D. thesis, Univ. of Warwick, 1993.

[20]

W. P. T h u r s t o n,

Groups

,

tilings

,

and finite state automata

, AMS Colloquium

lectures, 1990.

Institut de Math´ematiques de Luminy
CNRS-UPR 9016
163, avenue de Luminy Case 930
13288 Marseille Cedex 9, France
E-mail: messaoud@iml.univ-mrs.fr

Re¸

cu le 27.10.1997

et r´

evis´

e le 1.2.2000

(3287)