ACTA ARITHMETICA
XCV.3 (2000)
Fronti`
ere du fractal de Rauzy et syst`
eme de
num´
eration complexe
par
Ali Messaoudi
(Marseille)
1. Introduction.
On consid`ere le polynË
ome
P
(
x
) =
x
3
â
x
2
â
x
â
1. Ce
polynË
ome a une racine r´eelle
β
strictement sup´erieure `
a 1 et deux racines complexes
conjugu´ees
Îą
et
Îą
de module inf´erieur strictement `
a 1
.
Fig. 1. Le fractal de Rauzy
Le
fractal de Rauzy
(fig. 1) est lâensemble
E
=
n
â
X
i
=3
Îľ
i
Îą
i
â
i
âĽ
3
, Îľ
i
â {
0
,
1
}
, Îľ
i
Îľ
i
+1
Îľ
i
+2
= 0
o
.
Il a ´et´e introduit par G. Rauzy [17] dans le but de donner une repr´esenta-
tion g´eom´etrique du syst`eme dynamique symbolique associ´e `
a la substitution
2000
Mathematics Subject Classification
: 28A78, 28A80, 11B39, 11B85, 11K16.
[195]
196
A. Messaoudi
Ď
d´efinie par
Ď
(0) = 01
,
Ď
(1) = 02
,
Ď
(2) = 0
.
Le fractal de Rauzy a plusieurs propri´et´es : câest un compact de
C
, connexe, `a
fronti´ere fractale et `a int´erieur simplement connexe et il induit un pavage p´eriodique
de
C
modulo
Z
+
Z
Îą
(voir [15]). Il est partag´e en trois r´egions similaires qui
induisent un autre pavage non p´eriodique et auto-similaire du plan complexe. Ces
r´egions sont :
Îą
E
,
Îą
3
+
Îą
2
E
et
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
E
.
Le fractal de Rauzy a fait lâobjet de plusieures ´etudes (voir [1], [17], [10], [15],
[19], [11]) et peut Ëetre reli´e `
a diff´erents probl`emes :
â˘
Syst`eme de num´eration complexe [15], [16].
â˘
Repr´esentation
g´eom´etrique
des
syst`emes
dynamiques
symboliques
[17], [10], [15], [19], [11].
â˘
M´ethode de Dekking pour la construction dâobjets fractals [10].
â˘
Fractions continues de dimension deux.
â˘
Pavages quasi-p´eriodiques du plan [10], [11].
â˘
Partitions de Markov pour les automorphismes hyperboliques du tore
T
3
[1],
[15].
La fronti`ere du fractal de Rauzy a ´et´e au d´ebut ´etudi´ee par S. Ito et M. Kimura
[10]. Ils ont montr´e que câest une courbe de Jordan engendr´ee par la m´ethode
de Dekking (voir [5]) pour la construction dâobjets fractals. Ensuite, en liant la
fronti`ere de
E
aux nombres complexes qui ont plusieurs d´eveloppements en base
Îą
avec des chiffres dans
{
0
,
1
}
sans trois â1â cons´ecutifs, il a ´et´e construit dans [16]
un automate fini qui g´en´ere cette fronti`ere.
Dans ce papier nous donnons une param´etrisation de la fronti`ere du fractal de
Rauzy. Cela permet de calculer sa dimension de Hausdorff et de montrer que câest
un quasi-cercle. Ensuite nous donnons une m´ethode de construction des points
strictement extr´emaux du fractal de Rauzy. Les d´eveloppements de ces points
en base
Îą
sont li´es au codage dâune rotation dâangle irrationnel donn´e en fonc-
tion de lâargument de
Îą
sur le tore
S
1
sous la partition ([0
,
1
/
2[
,
[1
/
2
,
1[) ou bien
(]0
,
1
/
2]
,
]1
/
2
,
1]). Cette construction permet de trouver lâenveloppe convexe du
fractal de Rauzy et se g´en´eralise aux
k
-fractals du dragon,
k
âĽ
1, câest-`
a-dire aux
ensembles
D
k
=
{
P
â
n
=1
a
n
/
(
â
k
+
i
)
n
|
a
n
â {
0
,
1
, . . . , k
2
}}
(pour lâ´etude de ces
ensembles, voir [6], [7], [8]).
Dans le cas o`
u
k
= 1, câest-`
a-dire le fractal du dragon, on montre que lâenveloppe
convexe est un octogone, on retrouve ainsi dâune autre fa¸con un r´esultat de Benedek
et Panzone (voir [3]). Ce qui est nouveau avec notre m´ethode est quâelle permet
de trouver tous les points strictement extr´emaux du fractal du dragon et quâelle se
g´en´eralise aux ensembles de la forme
{
P
â
i
=0
a
i
Îł
i
|
(
a
i
)
â
A
N
}
o`
u
A
est un ensemble
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
197
fini de r´eels positifs contenant 0, et
Îł
un nombre complexe de module
<
1
.
Remarque.
Les r´esultats que lâon obtiendra sont ind´ependants du fait que la
partie imaginaire de
Îą
soit positive ou n´egative. Les figures du fractal de Rauzy
donn´ees dans cet article sont faites pour
Îą
ayant une partie imaginaire n´egative,
câest-`a-dire
Îą
âź â
0
.
419
â
0
.
606
i.
2. Notations et d´
efinitions.
Notons
N
lâensemble des suites (
a
n
)
n
â
Z
appar-
tenant `a
{
0
,
1
}
Z
dans lesquelles ne figurent pas trois â1â cons´ecutifs, et telles quâil
existe un entier
k
â
Z
,
tel que pour tout entier
n
â¤
k
,
a
n
= 0
.
Nous parlerons indiff´eremment dâune suite (
a
n
)
n
â
Z
appartenant `
a
N
telle que
a
n
= 0 pour tout
n
â¤
k
et de la suite (
a
n
)
n
âĽ
k
.
Soit (
a
n
)
n
âĽ
k
un ´el´ement de
N
.
Supposons quâil existe
p
â
Z
tel que pour tout
n
âĽ
p
,
a
n
= 0
.
Cette suite sera not´ee
(
a
n
)
k
â¤
n
â¤
p
=
a
k
. . . a
p
et lâensemble de telles suites,
N
f
.
Soit
z
â
C
et
A
â
C
. Nous posons
A
+
z
=
{
x
+
z
|
x
â
A
}
et
zA
=
{
zx
|
x
â
A
}
.
Nous notons int(
A
) lâint´erieur de
A
, Fr(
A
) la fronti`ere de
A
, diam(
A
) le diam`etre
de
A
et
A
lâadh´erence de
A.
Soit
x
un r´eel. Nous notons [
x
] sa partie enti`ere,
x
[1] sa partie fractionnaire
x
â
[
x
]. Nous appelons (
¡
) mod 2 lâapplication de
Z
dans
{
0
,
1
}
qui `
a un entier
n
associe
n
mod 2 = 0 si
n
est pair, et 1 sinon.
Un
automate fini
est la donn´ee de (
S, A, C
) o`
u
A
est lâalphabet de lâautomate,
S
lâensemble des ´etats, et
C
un sous-ensemble de
S
Ă
S
Ă
A.
On ajoute souvent `
a lâautomate un ensemble
I
dâ´etats initiaux et un ensemble
F
dâ´etats finaux. Dans cet article, on aura besoin seulement de lâensemble
I.
On
dit quâune suite (
a
n
) est
reconnaissable
par lâautomate (
S, A, C
) sâil existe une suite
(
s
n
)
â
A
N
telle que (
s
i
â
1
, s
i
, a
i
)
â
C
pour tout
i
â
N
.
Soit (
X, f
) un syst`eme dynamique et
P
=
{
X
1
, . . . , X
k
}
, k
â
N
,
une partition
de
X
. Soit lâalphabet
B
=
{
a
1
, . . . , a
k
}
et
f
P
lâapplication de
X
dans
B
N
qui `a un
´el´ement
x
de
X
associe
f
P
(
x
) = (
v
n
)
n
â
N
o`
u
v
i
=
a
j
si
f
(
i
)
(
x
)
â
X
j
.
La suite
f
P
(
x
)
est appel´ee
codage
de
x
associ´e `
a la partition
P
sous lâapplication
f.
3. Propri´
et´
es de la fronti`
ere de
E
.
La fronti`ere de
E
est lâunion de six
arcs (voir [15], [16]) de la forme
E âŠ
(
E
+
u
) o`
u
u
â {
1
, Îą,
1 +
Îą,
â
1
,
â
Îą,
â
1
â
Îą
}
(fig. 2). En plus si
u
â
(
Z
+
Z
Îą
)
â {
0
}
alors
E âŠ
(
E
+
u
)
6
=
â
si et seulement si
u
â {
1
, Îą,
1 +
Îą,
â
1
,
â
Îą,
â
1
â
Îą
}
. Par ailleurs, il est connu [15] que tout nombre
complexe
z
sâ´ecrit en base
Îą
comme
z
=
â
X
i
=
l
Îľ
i
Îą
i
,
o`
u
l
â
Z
et (
Îľ
i
)
i
âĽ
l
â N
.
198
A. Messaoudi
Fig. 2. Pavage p´eriodique du plan par le fractal de Rauzy
La suite (
Îľ
i
)
i
âĽ
l
sera appel´ee un
Îą
-
d´
eveloppement
de
z.
Un point de la fronti`ere
de
E
a au moins deux
Îą
-d´eveloppements, un
Îą
-d´eveloppement provient de
E
et
lâautre de
E
+
u
o`
u
u
â {
1
, Îą,
1 +
Îą,
â
1
,
â
Îą,
â
1
â
Îą
}
(voir [15]). Dâautre part, un
nombre complexe
z
ayant au moins deux
Îą
-d´eveloppements distincts peut sâ´ecrire
comme
z
=
P
L
i
=
k
a
i
Îą
i
+
Îą
N
x
o`
u (
a
i
)
â N
f
est le d´ebut commun des deux
Îą
-
d´eveloppements de
z
et
N
entier relatif choisi de telle mani`ere que
x
â E âŠ
(
E
+
v
)
o`
u
v
â {
1
, Îą, Îą
2
,
1 +
Îą,
1 +
Îą
2
, Îą
+
Îą
2
}
. Dâo`
u
x
â
Fr(
E
). Par cons´equent, le
probl`eme de la fronti`ere de
E
est ´equivalent au probl`eme des nombres complexes
ayant plusieurs
Îą
-d´eveloppements.
Ces nombres complexes sont caract´eris´es par un automate not´e
B
(fig. 3) et
nous avons le th´eor`eme suivant ([16], p. 145).
Th´
eor`
eme
1.
Soient
(
a
i
)
i
âĽâ
L
et
(
b
i
)
i
âĽâ
L
deux ´
el´
ements distincts de
N
. Alors
â
X
i
=
â
L
a
i
Îą
i
=
â
X
i
=
â
L
b
i
Îą
i
si et seulement si la suite
((
a
i
, b
i
))
i
âĽâ
L
est reconnaissable par lâautomate
B
.
Lâid´ee de le construction de lâautomate
B
(donn´ee dans [16]) est la suivante :
Soient
x
=
P
â
i
=
â
L
a
i
Îą
i
et
y
=
P
â
i
=
â
L
b
i
Îą
i
.
Nous avons ([16], th´eor`eme 1)
x
=
y
si et seulement si pour tout
k
⼠â
L
,
x
(
k
)
â
y
(
k
)
â
S
=
{
0
,
Âą
1
,
Âą
Îą,
Âą
(1 +
Îą
)
,
Âą
(1 +
Îą
2
)
,
Âą
(
Îą
+
Îą
2
)
,
Âą
Îą
2
}
,
o`
u
x
(
k
) =
Îą
â
k
+2
P
k
i
=
â
L
a
i
Îą
i
et
y
(
k
) =
Îą
â
k
+2
P
k
i
=
â
L
b
i
Îą
i
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
199
(1,1)
(0,0)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
(1,0)
(0,1)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(1,1)
(0,0)
(0,1)
(0,1)
(1,0)
(0,1)
(1,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(0,0)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
â
1
â
Îą
2
1 +
Îą
â
Îą
â
Îą
2
â
1
â
Îą
â
Îą
2
â
1
â
Îą
1
Îą
+
Îą
2
1 +
Îą
2
Îą
Îą
2
0
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
^
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
^
+
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
I
?
@
@
@
@
@
@
I
?
-
-
??
?
?
??
HH
HH
HH
HH
HH
HH
H
j
-
Fig. 3. Automate
B
Posons pour tout
k
⼠â
L
,
A
k
=
x
(
k
)
â
y
(
k
)
.
Donc
(1)
A
k
+1
=
A
k
Îą
+ (
a
k
+1
â
b
k
+1
)
Îą
2
.
Soit
s
le plus petit entier tel que
a
s
6
=
b
s
.
Dâo`
u
A
i
= 0 pour tout
i
dans
{â
L, . . . , s
â
1
}
.
Supposons que (
a
s
, b
s
) = (1
,
0). Alors
A
s
=
Îą
2
.
Nous avons
A
s
+1
=
Îą
+ (
a
s
+1
â
b
s
+1
)
Îą
2
=
(
Îą
+
Îą
2
si (
a
s
+1
, b
s
+1
) = (1
,
0)
,
Îą
si (
a
s
+1
, b
s
+1
) = (0
,
0) ou (1
,
1)
.
Nous construisons lâautomate
B
dont les ´etats sont les ´el´ements de
S.
Soient
V
et
W
deux ´el´ements de
S
. Nous mettons une fl`eche ´etiquet´ee par (
x, y
)
â {
0
,
1
}
2
et allant de
V
`a
W
si et seulement si
W
=
V /Îą
+ (
x
â
y
)
Îą
2
.
Nous prenons 0 pour
´etat initial de lâautomate
B
. Câest lâ´etat o`
u les deux
Îą
-d´eveloppements ne sont pas
encore distincts.
200
A. Messaoudi
(1
,1
,1
)
(0
,0
,0
)
(0
,0
,0
)
(0
,0
,1
)
(1
,1
,1
)
(0
,0
,0
)
(1
,1
,0
)
(0
,0
,1
)
(1
,1
,0
)
(0
,0
,1
)
(1
,1
,0
)
(1
,1
,0
)
(0
,0
,1
)
(0
,0
,0
)
(1
,1
,1
)
(0
,0
,1
)
(1
,0
,0
)
(0
,1
,0
)
(0
,0
,1
)
(1
,1
,0
)
(1
,0
,1
)
(1
,1
,1
)
(0
,0
,0
)
(1
,1
,0
)
(1
,0
,0
)
(1
,0
,1
)
(0
,0
,0
)
(1
,1
,1
)
(1
,0
,1
)
(0
,1
,1
)
(1
,1
,0
)
(0
,0
,1
)
(1
,0
,0
)
(1
,1
,1
)
(0
,0
,0
)
(0
,0
,1
)
(1
,1
,0
)
?
?
--
Îą
2
,Îą
,
â
Îą
â
Îą
2
Îą
2
,
â
Îą
â
Îą
2
,Îą
3
?
?
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z}
-
?
?
-
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@I
?
Q
Q
Q
Q
Qk
?
?
3
?
--
A A
A A
A A
A A
AU
A A
A A
A A
A A
AU
?
?
?
?
-
H
H
H
H
H
H
H
H Hj
0
,Îą
+
Îą
2
,
â
Îą
â
Îą
2
0
0
,
â
1
â
Îą
,
1
+
Îą
0
,
1
+
Îą
,
â
1
â
Îą
0
,
1
+
Îą
2
,
â
1
â
Îą
2
0
,
â
1
â
Îą
2
,
1
+
Îą
2
â
Îą
2
,
â
1
â
Îą
2
,
1
Îą
,
1
,
â
Îą
â
1
1
,
â
Îą
â
1
,Îą
â
Îą
â
1
,Îą
,
1
Îą
2
,
1
,
â
1
â
Îą
2
1
,Îą
,
â
Îą
â
1
0
,Îą
2
,
â
Îą
2
0
,
â
Îą
2
,Îą
2
Îą
,
â
Îą
â
1
,
1
0
,
â
Îą
â
Îą
2
,Îą
+
Îą
2
0
,
â
Îą
,Îą
0
,Îą
,
â
Îą
0
,
1
,
â
1
0
,
â
1
,
1
â
Îą
â
1
,
1
,Îą
F
ig
.
4
.
A
u
to
ma
te
C
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
201
Lâ´etat initial est donc li´e `
a lâ´etat
Îą
2
par une fl`eche dâ´etiquette (1
,
0). Lâ´etat
Îą
2
est li´e `
a lâ´etat
Îą
+
Îą
2
par une fl`eche dâ´etiquette (1
,
0) et `
a lâ´etat
Îą
par deux fl`eches,
une dâ´etiquette (0
,
0) et lâautre dâ´etiquette (1
,
1)
.
Comme lâensemble des ´etats
S
est
fini, nous obtenons un automate fini.
De mËeme il existe un automate fini
C
(fig. 4) qui reconnait les nombres com-
plexes qui ont trois
Îą
-d´eveloppements (voir [16]). Une description detaill´ee des
automates
B
et
C
se trouve dans [15] et [16].
Remarque.
Il est facile de d´eterminer les points de la fronti`ere de
E
`
a partir
de lâautomate des nombres complexes doubles, car un point de la fronti`ere a au
moins deux
Îą
-d´eveloppements : (
a
n
)
n
âĽ
3
et (
b
n
)
n
âĽ
0
, tels que
b
0
+
b
1
Îą
+
b
2
Îą
2
â
{
1
, Îą, Îą
2
,
1 +
Îą,
1 +
Îą
2
, Îą
+
Îą
2
}
.
4. Param´
etrisation de la fronti`
ere de
E
.
Nous notons les six courbes (fig.
5) constituant la fronti`ere de
E
par
X
=
E âŠ
(
E
+
Îą
),
Y
=
E âŠ
(
E
+ 1 +
Îą
),
Z
=
E âŠ
(
E
+ 1),
X
â˛
=
E âŠ
(
E â
Îą
),
Y
â˛
=
E âŠ
(
E â
1
â
Îą
) et
Z
â˛
=
E âŠ
(
E â
1).
Fig. 5
Dans cette section, nous allons construire une bijection continue entre [0
,
1] et
X
=
E âŠ
(
E
+
Îą
), ce qui nous permet de calculer la dimension de Hausdorff de la
fronti`ere de
E
, et de montrer que celle-ci est un quasi-cercle.
202
A. Messaoudi
Tout dâabord, nous allons montrer que chacune de ses six courbes est lâimage
dâune autre par une transformation affine ; pour cela, nous avons besoin du lemme
suivant.
Lemme
1.
Les relations suivantes sont v´
erifi´
ees
:
1.
X
âŠ
Y
=
{â
Îą
2
}
.
2.
Y
âŠ
Z
=
{
Îą
3
/
(1
â
Îą
3
)
}
.
3.
Z
âŠ
X
â˛
=
{â
Îą
2
â
Îą
}
.
4.
X
â˛
âŠ
Y
â˛
=
{
Îą
5
/
(1
â
Îą
3
)
}
.
5.
Y
â˛
âŠ
Z
â˛
=
{â
Îą
3
}
.
6.
Z
â˛
âŠ
X
=
{
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
}
.
P r e u v e. Soit
z
un ´el´ement de
X
âŠ
Y
=
E âŠ
(
E
+
Îą
)
âŠ
(
E
+ 1 +
Îą
)
.
Dâapr`es
lâautomate
C
,
z
=
X
i
âĽ
1
Îą
3
i
+
Îą
3
i
+1
= 1 +
Îą
+
X
i
âĽ
1
Îą
3
i
+1
+
Îą
3
i
+2
=
Îą
+
X
i
âĽ
1
Îą
3
i
+
Îą
3
i
+2
=
â
Îą
2
.
De mËeme, lâensemble
Y
âŠ
Z
=
E âŠ
(
E
+ 1)
âŠ
(
E
+ 1 +
Îą
) est r´eduit `
a un singleton
{
x
}
o`
u
x
=
X
i
âĽ
1
Îą
3
i
= 1 +
X
i
âĽ
1
Îą
3
i
+1
= 1 +
Îą
+
X
i
âĽ
1
Îą
3
i
+2
=
Îą
3
1
â
Îą
3
.
Les autres relations d´ecoulent du fait que
Z
âŠ
X
â˛
=
X
âŠ
Y
â
Îą
,
X
â˛
âŠ
Y
â˛
=
Y
âŠ
Z
â
1
â
Îą
,
Y
â˛
âŠ
Z
â˛
=
X
âŠ
Y
â
1
â
Îą
et
Z
â˛
âŠ
X
=
X
âŠ
Y
â
1
.
Lemme
2.
Les propri´
et´
es suivantes sont v´
erifi´
ees
:
1.
Y
= 1 +
Îą
+
ÎąX.
2.
Z
=
Îą
3
+
Îą
2
X.
3.
X
â˛
=
â
Îą
+
X.
4.
Y
â˛
=
ÎąX.
5.
Z
â˛
=
Îą
+
Îą
2
+
Îą
2
X.
P r e u v e. 1. Soit
z
un ´el´ement de
Y.
En vertu de lâautomate
B
, nous avons
trois cas :
â˘
z
= 1 +
Îą
+
Îą
5
+
Îą
3
w
1
=
Îą
3
+
Îą
6
+
Îą
4
w
â˛
1
o`
u
w
1
, w
â˛
1
â E
. Dans ce cas
(
z
â
1
â
Îą
)
/Îą
=
Îą
4
+
Îą
2
w
1
=
Îą
+
Îą
5
+
Îą
3
w
â˛
1
.
â˘
z
= 1 +
Îą
+
Îą
4
+
Îą
5
+
Îą
4
w
2
=
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
6
+
Îą
4
w
â˛
2
o`
u
w
2
, w
â˛
2
â E
, donc
(
z
â
1
â
Îą
)
/Îą
=
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
w
2
=
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
3
w
â˛
2
.
â˘
z
= 1 +
Îą
+
Îą
5
+
Îą
7
+
Îą
5
w
3
=
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
6
+
Îą
5
w
â˛
3
o`
u
w
3
, w
â˛
3
â E
, dâo`
u
(
z
â
1
â
Îą
)
/Îą
=
Îą
4
+
Îą
6
+
Îą
4
w
3
=
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
w
â˛
3
.
Par cons´equent (
z
â
1
â
Îą
)
/Îą
â
X.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
203
R´eciproquement, si
z
appartient `
a
X,
alors
Îąz
+ 1 +
Îą
â
(
Îą
E
+ 1 +
Îą
)
âŠ
(
Îą
E
+
Îą
3
)
â
Y.
2. Soit
z
´el´ement de
Z,
donc
z
= 1 +
Îą
4
+
Îą
2
w
=
Îą
3
+
Îą
2
w
â˛
o`
u
w, w
â˛
â E
,
dâo`
u
(
z
â
Îą
3
)
/Îą
2
=
Îą
+
w
=
w
â˛
â
X.
Par ailleurs,
Îą
3
+
Îą
2
X
= (
Îą
3
+
Îą
2
E
)
âŠ
(2
Îą
3
+
Îą
2
E
)
.
Comme 2
Îą
3
=
Îą
4
+ 1
,
nous
avons
Îą
3
+
Îą
2
X
= (
Îą
3
+
Îą
2
E
)
âŠ
(1 +
Îą
4
+
Îą
2
E
)
â
Z.
Il en r´esulte que
Z
=
Îą
3
+
Îą
2
X.
Les autres relations d´ecoulent des relations
Y
â˛
=
Y
â
1
â
Îą,
Z
â˛
=
Z
â
1
,
X
â˛
=
X
â
Îą.
Dâo`
u le lemme.
Fig. 6
Maintenant, nous allons ´etudier lâensemble
X.
On remarque que
X
est auto-
affine et partag´e en trois r´egions similaires (voir fig. 6). Nous allons montrer que
chacune de ses r´egions correspond `
a lâimage de
X
par lâune des trois fonctions
g
i
,
204
A. Messaoudi
i
â {
0
,
1
,
2
}
,
d´efinies par :
â
z
â
C
,
g
0
(
z
) =
Îą
4
+
Îą
3
z, g
1
(
z
) =
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
z, g
2
(
z
) =
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
z.
Pour cela, nous nous serverons du lemme suivant.
Lemme
3.
X
v´
erifie les propri´
et´
es suivantes
:
1.
X
=
g
0
(
X
)
âŞ
g
1
(
X
)
âŞ
g
2
(
X
)
.
2.
g
0
(
X
)
âŠ
g
1
(
X
) =
â
Îą
3
â
Îą
2
.
3.
g
1
(
X
)
âŠ
g
2
(
X
) =
Îą
3
+
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
4.
g
0
(
X
)
âŠ
g
2
(
X
) =
â
.
P r e u v e. 1. Puisque
X
=
E âŠ
(
E
+
Îą
)
,
nous avons
g
0
(
X
) = (
Îą
4
+
Îą
3
E
)
âŠ
(2
Îą
4
+
Îą
3
E
) = (
Îą
4
+
Îą
3
E
)
âŠ
(
Îą
+
Îą
5
+
Îą
3
E
)
,
g
1
(
X
) = (
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
E
)
âŠ
(
Îą
4
+
Îą
6
+
Îą
4
E
)
,
g
2
(
X
) = (
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
E
)
âŠ
(
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
3
E
)
.
Donc, pour tout
i
´el´ement de
{
0
,
1
,
2
}
,
g
i
(
X
) est inclus dans
X.
Soit
z
un ´el´ement de
X.
En vertu de lâautomate
B
, nous avons trois cas :
â˘
z
=
Îą
+
Îą
5
+
Îą
3
w
0
=
Îą
4
+
Îą
3
w
â˛
0
o`
u
w
0
, w
â˛
0
â E
.
Dans ce cas,
g
â
1
0
(
z
) =
Îą
+
w
0
=
w
â˛
0
â
X,
dâo`
u
z
â
g
0
(
X
)
.
â˘
z
=
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
w
1
=
Îą
4
+
Îą
6
+
Îą
4
w
â˛
1
o`
u
w
1
, w
â˛
1
â E
. Donc
g
â
1
1
(
z
) =
w
1
=
Îą
+
w
â˛
1
â
X,
dâo`
u
z
â
g
1
(
X
)
.
â˘
z
=
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
3
w
2
=
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
w
â˛
2
o`
u
w
2
, w
â˛
2
â E
, alors
g
â
1
2
(
z
) =
Îą
+
w
2
=
w
â˛
2
â
X,
dâo`
u
z
â
g
2
(
X
)
.
Par cons´equent
X
=
g
0
(
X
)
âŞ
g
1
(
X
)
âŞ
g
2
(
X
)
.
2. Supposons que
x
appartient `
a
g
0
(
X
)
âŠ
g
1
(
X
). Il existe
z
et
z
â˛
deux ´el´ements
de
X
tels que
x
=
Îą
4
+
Îą
3
z
=
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
z
â˛
,
dâo`
u
z
= 1 +
Îą
+
Îąz
â˛
,
ce qui implique que
z
â E âŠ
(
E
+
Îą
)
âŠ
(
E
+ 1 +
Îą
)
,
dâo`
u
z
=
â
Îą
2
, par cons´equent
x
=
â
Îą
3
â
Îą
2
.
3. Soit
x
un ´el´ement de
g
1
(
X
)
âŠ
g
2
(
X
)
,
donc
x
=
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
z
=
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
z
â˛
.
Il sâensuit que
z
et
z
â˛
â
X
dâo`
u
z
=
Îą
+
Îąz
â˛
â E âŠ
(
Îą
E
+
Îą
)
.
Par ailleurs,
lâautomate
B
implique que lâensemble
E âŠ
(
Îą
E
+
Îą
) est inclus dans
Îą
E âŠ
(
E
+
Îą
)
.
Par cons´equent
z
â˛
=
z
Îą
â
1
â E âŠ
(
E
+
Îą
)
âŠ
(
E â
1) =
Îą
4
1
â
Îą
3
,
ce qui entraËÄąne que
x
=
Îą
3
+
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
205
4. Soient
z
et
z
â˛
deux ´el´ements de
X
tels que
Îą
4
+
Îą
3
z
=
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
z
â˛
. Alors
z
= 1 +
z
â˛
, dâo`
u
z
â E âŠ
(
E
+
Îą
)
âŠ
(
E
+ 1) =
â
.
Il en d´ecoule que
g
0
(
X
)
âŠ
g
2
(
X
) =
â
.
Ceci ach`eve la preuve.
Param´
etrisation de
X.
Soient
a
et
b
appartenant `
a Fr(
E
)
.
Notons par I(
a, b
)
lâarc de Fr(
E
) dâorigine
a
et dâextr´emit´e
b
dans le sens trigonom´etrique. En vertu
du lemme 3, nous avons
g
0
(
X
) = I
Îą
4
1
â
Îą
3
,
â
Îą
3
â
Îą
2
= I
g
0
Îą
4
1
â
Îą
3
, g
0
(
â
Îą
2
)
,
g
1
(
X
) = I
â
Îą
3
â
Îą
2
, Îą
3
+
Îą
4
1
â
Îą
3
= I
g
1
(
â
Îą
2
)
, g
1
Îą
4
1
â
Îą
3
,
g
2
(
X
) = I
Îą
3
+
Îą
4
1
â
Îą
3
,
â
Îą
2
= I
g
2
Îą
4
1
â
Îą
3
, g
2
(
â
Îą
2
)
.
Pour param´etriser
X,
nous d´eterminerons trois fonctions complexes
f
i
,
i
â {
0
,
1
,
2
}
,
telles que
f
i
(
X
) soit ´egal `
a I(
f
i
(
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
))
, f
i
(
â
Îą
2
))
.
Pour cela, nous nous server-
ons de la sym´etrie de
X.
Lemme
4.
Lâensemble
X
a un centre de sym´
etrie
C
0
=
1
2
Îą
+
Îą
6
1
â
Îą
3
.
P r e u v e. Posons
C
=
Îą
6
/
(1
â
Îą
3
)
.
Puisque
C
=
P
â
i
=3
Îą
i
,
si
z
=
P
â
i
=3
a
i
Îą
i
â
E
alors
C
â
z
=
â
X
i
=3
(1
â
a
i
)
Îą
i
â E
.
Il en r´esulte que
C/
2 est un centre de sym´etrie de
E
.
Par ailleurs,
2
C
0
â
X
=
Îą
+
Îą
6
1
â
Îą
3
â E
âŠ
Îą
6
1
â
Îą
3
â E
= (
E
+
Îą
)
⊠E
=
X.
Dâo`
u le lemme.
Notons par
S
la sym´etrie centrale de centre
C
0
,
S
(
z
) = 2
C
0
â
z
pour tout
z
â
X,
et consid´erons les trois fonctions complexes
f
0
,
f
1
et
f
2
d´efinies par
f
0
(
z
) =
g
0
(
z
) =
Îą
4
+
Îą
3
z,
f
1
(
z
) =
g
1
(
Sz
) =
Îą
4
+
Îą
6
+
Îą
10
/
(1
â
Îą
3
)
â
Îą
4
z,
f
2
(
z
) =
g
2
(
z
) =
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
z.
Soit
z
un ´el´ement de
X
. Puisque
X
=
f
0
(
X
)
âŞ
f
1
(
X
)
âŞ
f
2
(
X
), il existe
z
1
appartenant `a
X
et
a
0
un ´el´ement de
{
0
,
1
,
2
}
tel que
z
=
f
a
0
(
z
1
)
.
De proche en
proche, nous construisons une suite (
a
n
)
n
â
N
dans
{
0
,
1
,
2
}
N
et une suite (
z
n
)
n
â
N
dans
X,
tels que pour tout entier naturel
n
,
z
=
f
a
0
âŚ
f
a
1
âŚ
. . .
âŚ
f
a
n
(
z
n
+1
)
.
206
A. Messaoudi
Comme les fonctions
f
i
sont contractantes,
f
a
0
âŚ
f
a
1
âŚ
. . .
âŚ
f
a
n
(
z
n
+1
) tend vers
z
quand
n
tend vers lâinfini, et que pour tout
x
â
X
,
f
a
0
âŚ
f
a
1
âŚ
. . .
âŚ
f
a
n
(
x
) tend
vers
z
quand
n
tend vers lâinfini.
Fixons
x
0
â
X,
et d´efinissons une correspondance
f
de lâensemble [0
,
1] dans
X
de la mani`ere suivante :
Soit
t
un ´el´ement de [0
,
1].
Si
P
â
i
=1
a
i
3
â
i
,
(
a
i
)
â {
0
,
1
,
2
}
N
est un d´eveloppement de
t
en base 3
,
alors
f
(
t
) = lim
n
ââ
f
a
1
âŚ
f
a
2
âŚ
. . .
âŚ
f
a
n
(
x
0
)
.
Dans tout ce qui suit, nous supposons que si
t
et
t
â˛
appartiennent `
a [0
,
1]
,
alors
t
=
P
â
i
=1
a
i
3
â
i
et
t
â˛
=
P
â
i
=1
b
i
3
â
i
,
o`
u
a
i
et
b
i
sont des ´el´ements de
{
0
,
1
,
2
}
tels
que
a
i
=
b
i
pour
i < k
et
a
k
< b
k
,
k
â
N
.
Proposition
1.
La correspondance
f
est une application bijective
,
continue et
v´
erifie
f
(0) =
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
et
f
(1) =
â
Îą
2
.
Pour la preuve, nous avons besoin des lemmes suivants.
Lemme
5.
Soient
t
et
t
â˛
deux ´
el´
ements de
[0
,
1]
. Alors
(1)
Si
|
t
â
t
â˛
|
<
3
â
N
o`
u
N > k,
alors
b
k
=
a
k
+ 1,
b
i
= 0
et
a
i
= 2
pour tout
i
v´
erifiant
k
+ 1
â¤
i
â¤
N.
(2)
Si
t
=
t
â˛
alors
b
k
=
a
k
+ 1,
b
i
= 0
et
a
i
= 2
pour
i
âĽ
k
+ 1
.
P r e u v e. (2) est une cons´equence imm´ediate de (1)
.
(1) provient du fait que
3
â
N
>
â
X
i
=1
(
b
i
â
a
i
)3
â
i
= (
b
k
â
a
k
)3
â
k
+
â
X
i
=
k
+1
(
b
i
â
a
i
)3
â
i
= (
b
k
â
a
k
â
1)3
â
k
+
â
X
i
=
k
+1
(2 +
b
i
â
a
i
)3
â
i
.
Ceci ach`eve la preuve.
Lemme
6.
Soient
h
et
k
deux ´
el´
ements de
{
0
,
1
,
2
}
tels que
h < k
et soient
x
et
y
deux ´
el´
ements de
X
. Alors
f
h
(
x
) =
f
k
(
x
)
si et seulement si
k
=
h
+ 1,
x
=
â
Îą
2
et
y
=
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
P r e u v e.
Lâimplication r´eciproque est ´evidente. Prouvons lâimplication di-
recte.
Lâensemble
f
0
(
X
)
âŠ
f
2
(
X
) ´etant vide, les entiers
h
et
k
sont n´ecessairement
cons´ecutifs. Nous avons donc deux cas `
a ´etudier :
â˘
Si
h
= 0,
k
= 1
,
alors
f
0
(
x
) =
f
1
(
y
)
â
g
0
(
x
) =
g
1
(
Sy
) ; dâo`
u dâapr`es le lemme
3, nous avons
g
0
(
x
) =
g
1
(
Sy
) =
â
Îą
3
â
Îą
2
,
ou encore
x
=
S
(
y
) =
â
Îą
2
. Il en r´esulte
que
x
=
â
Îą
2
et
y
=
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
207
â˘
Si
h
= 1,
k
= 2
,
alors
f
1
(
x
) =
f
2
(
y
)
â
g
1
(
Sx
) =
g
2
(
y
)
,
donc
Sx
=
y
=
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
,
dâo`
u
x
=
â
Îą
2
,
y
=
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
Lemme
7.
f
(
t
) =
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
si et seulement si
t
= 0
et
f
(
t
) = 1
si et
seulement si
t
=
â
Îą
2
.
P r e u v e. Puisque
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
6â
f
1
(
X
)
âŞ
f
2
(
X
) et
f
(
t
) =
f
a
1
âŚ
f
â
X
i
=2
a
i
3
â
i
,
nous avons
f
(
t
) =
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
â
a
1
= 0
.
Or
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
) est le seul point fixe de
f
0
; cela entraËÄąne que
f
(
P
â
i
=2
a
i
3
â
i
) =
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
En it´erant le proc´ed´e, nous montrons que pour tout entier naturel
n
non nul,
a
n
= 0, dâo`
u
t
= 0
.
En utilisant le mËeme raisonnement et le fait que
â
Îą
2
est le seul point fixe de
f
2
,
nous prouvons que
f
(
t
) = 1 si et seulement si
t
=
â
Îą
2
.
Preuve de la proposition 1
f
est bien d´
efinie.
Soient
t
et
t
â˛
dans [0
,
1]. Si
t
=
t
â˛
, alors dâapr`es le lemme 5,
b
k
=
a
k
+ 1
, b
i
= 0 et
a
i
= 2 pour tout
i
âĽ
k
+ 1. Donc
f
(
t
) =
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
f
a
k
( lim
n
ââ
f
(
n
)
2
(
x
0
))
,
f
(
t
â˛
) =
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
f
a
k
+1
( lim
n
ââ
f
(
n
)
0
(
x
0
))
.
Or
lim
n
ââ
f
(
n
)
0
(
x
0
) = lim
n
ââ
f
(
n
)
0
Îą
4
1
â
Îą
3
=
Îą
4
1
â
Îą
3
,
car
f
0
(
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)) =
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
,
de mËeme
lim
n
ââ
f
(
n
)
2
(
x
0
) = lim
n
ââ
f
(
n
)
2
(
â
Îą
2
) =
â
Îą
2
,
car
f
2
(
â
Îą
2
) =
â
Îą
2
.
Il r´esulte du lemme 6 que
f
(
t
) =
f
(
t
â˛
)
.
f
est injective.
Nous avons
f
(
t
) =
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
âŚ
f
â
X
i
=1
a
i
+
k
â
1
3
â
i
,
f
(
t
â˛
) =
f
b
1
. . . f
b
k
â
1
âŚ
f
â
X
i
=1
b
i
+
k
â
1
3
â
i
.
208
A. Messaoudi
Comme les fonctions
f
i
sont bijectives (rappelons que
a
i
=
b
i
pour 1
â¤
i
â¤
k
â
1),
f
(
t
) =
f
(
t
â˛
)
â
f
â
X
i
=1
a
i
+
k
â
1
3
â
i
=
f
â
X
i
=1
b
i
+
k
â
1
3
â
i
.
Dâo`
u
f
a
k
âŚ
f
(3
t
1
â
a
k
) =
f
b
k
âŚ
f
(3
t
â˛
1
â
b
k
)
,
o`
u
t
1
=
P
â
i
=1
a
i
+
k
â
1
3
â
i
et
t
â˛
1
=
P
â
i
=1
b
i
+
k
â
1
3
â
i
.
Il d´ecoule du lemme 6 que
b
k
=
a
k
+ 1,
f
(3
t
1
â
a
k
) =
â
Îą
2
et
f
(3
t
â˛
1
â
b
k
) =
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
)
.
Par cons´equent, le lemme
7 implique que
3
t
1
â
a
k
= 1 et
3
t
â˛
1
â
b
k
= 0
.
Or
b
k
=
a
k
+1
,
dâo`
u
t
1
=
t
â˛
1
ou encore
t
=
t
â˛
.
f
´etant surjective par construction, donc
f
est bijective.
f
est continue.
Supposons que 0
<
|
t
â
t
â˛
|
<
3
â
N
,
N
â
N
, N > k.
Le lemme 5
entraËÄąne que
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
|
=
|
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
âŚ
f
(
t
1
)
â
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
âŚ
f
(
t
â˛
1
)
|
,
o`
u
f
(
t
1
) =
f
a
k
âŚ
f
N
â
k
2
(
z
1
) et
f
(
t
â˛
1
) =
f
a
k
+1
âŚ
f
N
â
k
0
(
z
â˛
1
)
,
o`
u
z
1
, z
â˛
1
â
X.
Par cons´equent,
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| ⤠|
f
a
k
âŚ
f
N
â
k
2
(
z
1
)
â
f
a
k
+1
âŚ
f
N
â
k
0
(
z
â˛
1
)
| ¡ |
Îą
|
3(
k
â
1)
.
Puisque
f
a
k
âŚ
f
N
â
k
2
(
â
Îą
2
) =
f
a
k
+1
âŚ
f
N
â
k
0
(
Îą
4
/
(1
â
Îą
3
))
,
nous avons
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| â¤
|
f
a
k
âŚ
f
N
â
k
2
(
z
1
)
â
f
a
k
âŚ
f
N
â
k
2
(
â
Îą
2
)
|
+
f
a
k
+1
âŚ
f
N
â
k
2
(
z
â˛
1
)
â
f
a
k
+1
âŚ
f
N
â
k
0
Îą
4
1
â
Îą
3
|
Îą
|
3(
k
â
1)
â¤
(
|
Îą
|
3(
N
â
k
)+3
+
|
Îą
|
3(
N
â
k
)+4
)
|
Îą
|
3(
k
â
1)
¡
diam(
X
)
â¤
diam(
X
)
¡
(1 +
|
Îą
|
)
|
Îą
|
3
N
.
Corollaire
1.
La fronti`
ere de
E
est une courbe de Jordan.
Proposition
2.
Lâapplication
f
est
δ
=
â
3 log(
|
Îą
|
)
/
log 3
H¨
older continue.
P r e u v e. Montrons quâil existe un r´eel
C >
0 tel que
â
t, t
â˛
â
[0
,
1]
,
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| â¤
C
|
t
â
t
â˛
|
δ
.
Soient
t
et
t
â˛
â
[0
,
1]
.
Supposons que 3
â
N
â
1
⤠|
t
â
t
â˛
|
<
3
â
N
o`
u
N
â
N
.
â˘
Si
N > k,
alors
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| â¤
diam(
X
)
¡
(1 +
|
Îą
|
)
|
Îą
|
3
N
.
â˘
Si
N < k,
alors
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
|
=
|
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
(
z
1
)
â
f
a
1
. . . f
a
k
â
1
(
z
â˛
1
)
| â¤
diam(
X
)
¡ |
Îą
|
3(
k
â
1)
â¤
diam(
X
)
¡ |
Îą
|
3
N
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
209
Dâo`
u
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| â¤
diam(
X
)
¡
(1 +
|
Îą
|
)
e
3
N
log(
|
Îą
|
)
.
Comme
â
log
|
t
â
t
â˛
|
log 3
> N,
nous avons
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| â¤
C
|
t
â
t
â˛
|
δ
,
o`
u
C
= diam(
X
)
¡
(1 +
|
Îą
|
)
.
Calcul de la dimension de Hausdorff.
Comme Fr(
E
) est lâunion de six r´egions
qui sont chacune lâimage de
X
par une transformation affine (voir lemme 2), nous
avons dim
H
(
X
) = dim
H
(Fr(
E
))
.
Lâensemble
X
=
S
2
i
=0
f
i
(
X
) entre dans le cadre
des compacts invariants par des similitudes (il est stable par les
f
i
). La dimension
de Hausdorff de cette classe de compact est major´ee par sa dimension fractale et
dans des cas, elle lui est ´egale.
Th´
eor`
eme
2 (voir [2], [9]).
Soit
A
un sous-ensemble de
C
tel que
A
=
S
n
i
=0
h
i
(
A
)
est le compact invariant par des similitudes
h
i
de coefficients de simil-
itudes
r
i
(
i.e.
â
x, y
â
C
,
|
h
i
(
x
)
â
h
i
(
y
)
|
=
r
i
|
x
â
y
|
)
. Alors
dim
H
(
A
)
â¤
s
o`
u
s
est
lâunique r´
eel v´
erifiant
P
n
i
=0
r
s
i
= 1
.
Si de plus il existe un ouvert
O
de
C
tel que
â
i
,
h
i
(
O
)
â
O
et
h
i
(
O
)
âŠ
h
j
(
O
) =
â
,
â
i
6
=
j,
alors
dim
H
(
A
) =
s.
Soit (
a
i
)
0
â¤
i
â¤
m
â N
f
. Notons
C
a
0
...a
m
=
n
z
=
m
X
i
=0
a
i
Îą
i
+
â
X
i
=
m
+1
d
i
Îą
i
o`
u
a
0
. . . a
m
d
m
+1
d
m
+2
. . .
â N
o
.
Proposition
3.
Soit
U
= int(
C
0000100000
)
et
O
=
S
â
p
=1
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
2
âŚ
g
i
1
(
U
)
o`
u
i
1
, . . . , i
p
= 0
,
1
,
2
. Alors
(1)
g
i
(
O
)
â
O
,
i
= 0
,
1
,
2
.
(2)
g
i
(
O
)
âŠ
g
j
(
O
) =
â
si
i
6
=
j.
Lemme
8.
Soit
a
0
. . . a
m
â N
f
,
m
âĽ
3
.
Si
int(
C
a
0
...a
m
) =
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
)
,
alors
a
0
. . . a
m
ne contient pas cinq
â0â
cons´
ecutifs sauf peut Ë
etre `
a la fin.
P r e u v e. Un simple calcul montre que
g
0
(
C
000
a
3
...a
m
) =
C
000010
a
3
...a
m
,
g
0
(
C
010
a
3
...a
m
) =
C
010001
a
3
...a
m
,
g
1
(
C
000
a
3
...a
m
) =
C
0101010
a
3
...a
m
,
g
1
(
C
010
a
3
...a
m
) =
C
0000101
a
3
...a
m
,
g
2
(
C
000
a
3
...a
m
) =
C
000110
a
3
...a
m
,
g
2
(
C
010
a
3
...a
m
) =
C
010101
a
3
...a
m
.
Montrons le lemme 8 par recurrence sur
p.
Si
p
= 1, câest ´evident.
210
A. Messaoudi
Supposons la propri´et´e du lemme 8 est vraie `
a lâordre
p
â
1
.
On a
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
) =
g
i
p
(int(
C
d
0
...d
l
))
.
â˘
Si
i
p
= 0, alors
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
) satisfait la propri´et´e du lemme 8 sauf si
d
0
. . . d
l
= 0000000
d
7
. . . d
l
ou
d
0
. . . d
l
= 010110
d
6
. . . d
l
.
â˘
Si
i
p
= 1 ou 2, alors
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
) satisfait la propri´et´e du lemme 8 sauf si
d
0
. . . d
l
= 0000000
d
7
. . . d
l
ou
d
0
. . . d
l
= 010110110
d
9
. . . d
l
.
Il est facile de voir que dans ces cas int(
C
d
0
...d
l
) ne peut pas Ëetre sous la forme
g
i
p
â
1
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
)
.
Lemme
9.
Soient
a
0
. . . a
m
et
b
0
. . . b
k
â N
f
o`
u
k, m
âĽ
3
,
et
a
0
a
1
a
2
, b
0
b
1
b
2
â {
000
,
010
}
.
Sâil existe
i
1
, . . . , i
p
â {
0
,
1
,
2
}
tels que
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(int(
C
b
0
...b
k
)) = int(
C
a
0
...a
m
)
,
alors
(
i
1
, . . . , i
p
)
est uniquement d´
etermin´
e.
P r e u v e. Dâapr`es la d´efinition des
g
i
(lemme 8), on a :
1. Si
b
0
b
1
b
2
= 000, alors
â˘
si
a
m
â
k
= 0 et
a
m
â
k
â
1
= 0 alors
i
1
= 0,
â˘
si
a
m
â
k
= 0 et
a
m
â
k
â
1
= 1 alors
i
1
= 1,
â˘
si
a
m
â
k
= 1 alors
i
1
= 2
.
2. Si
b
0
b
1
b
2
= 010
,
alors
â˘
si
a
m
â
k
= 0 alors
i
1
= 0,
â˘
si
a
m
â
k
= 1 et (
a
m
â
k
â
1
, a
m
â
k
â
2
) = (0
,
0) alors
i
1
= 1,
â˘
si
a
m
â
k
= 1 et (
a
m
â
k
â
1
, a
m
â
k
â
2
)
6
= (0
,
0) alors
i
1
= 2
.
Dâo`
u
i
1
est uniquement d´etermin´e.
Nous appliquons le mËeme proc´ed´e `a
g
i
1
(int(
C
b
0
...b
k
)) et int(
C
a
0
...a
m
) pour obtenir que
i
2
est uniquement d´etermin´e.
En continuant le mËeme proc´ed´e, nous obtenons le lemme.
Preuve de la proposition 3.
(1) est ´evident.
(2) Supposons que
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
) = int(
C
a
0
...a
m
) et
g
j
s
âŚ
. . .
âŚ
g
j
1
(
U
) =
int(
C
d
0
...d
k
) o`
u
m
âĽ
k.
Supposons que
g
i
p
âŚ
. . .
âŚ
g
i
1
(
U
)
âŠ
g
j
s
âŚ
. . .
âŚ
g
j
1
(
U
)
6
=
â
.
Comme lâensemble des nombres complexes qui ont au moins deux
Îą
-d´eveloppements
est de mesure nulle [16], nous avons
a
i
=
d
i
pour 0
â¤
i
â¤
k.
Puisque
a
k
=
a
k
â
1
=
. . .
=
a
k
â
4
= 0 et en vertu du lemme 8, nous avons
k
=
m.
Le lemme 9 implique
que (
i
p
, . . . , i
1
) = (
j
s
, . . . , j
1
)
.
Ceci termine la preuve.
Nous d´eduisons de la proposition 3 et du th´eor`eme 2 que dim
H
(
X
) =
s
o`
u
s
v´erifie
2
|
Îą
|
3
s
+
|
Îą
|
4
s
= 1
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
211
Nous en concluons que dim
H
(
X
) = log
Ěş/
log
|
Îą
|
= 1
.
09336
. . .
o`
u
Ěş
est la racine
r´eelle maximale du polynË
ome
X
4
+ 2
X
3
â
1 = 0
.
Nous retrouvons un r´esultat de
S. Ito et M. Kimura [10].
Remarque.
Soit
Îł
un nombre de Pisot r´eel ou complexe (entier alg´ebrique
de module
>
1 dont tous les conjugu´es au sens de Galois, `
a lâexception de
Îł
, sont
de module
<
1). Soit
A
un sous-ensemble fini dâentiers alg´ebriques de
Q
(
Îł
)
.
Soit
Î
=
{
P
â
i
=0
a
i
Îł
â
i
|
(
a
i
)
â
A
N
}
. Il est connu ([20], [15]) quâil existe un automate fini
L
qui reconnaËÄąt toutes les suites (
a
i
, b
i
)
i
â
N
, (
a
i
)
,
(
b
i
)
â
A
N
telles que
P
â
i
=0
a
i
Îł
â
i
=
P
â
i
=0
b
i
Îł
â
i
.
Il est int´eressant de voir si on peut utiliser le mËeme raisonnement que
ci-dessus pour param´etriser la fronti`ere de
Î
et calculer sa dimension de Hausdorff.
4.1.
La fronti`
ere de
E
est un quasi-cercle.
Nous commen¸cons par donner
quelques d´efinitions (voir [14]).
Dans le plan complexe, on consid`ere le quadrilat`ere
Q
=
Q
(
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
) de
sommets
z
i
. Soit
f
une fonction conforme de
Q
dans un rectangle
R
. Si
f
(
z
i
)
, i
â
{
1
,
2
,
3
,
4
}
,
co¨Ĺncident avec les sommets de
R
, alors on dit que
f
est
canonique
et
R
est appel´e
rectangle canonique
de
Q.
Il est connu [14] que tout quadrilat`ere poss`ede une fonction conforme canonique,
unique modulo des similitudes.
On suppose que
R
=
{
x
+
iy
|
0
< x < a
, 0
< y < b
}
est rectangle canonique
de
Q
(
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
) tel que le cË
ot´e [
z
1
, z
2
] correspond au segment [0
, a
]
.
On appelle
a/b
=
M
(
Q
(
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
))
le
module
du quadrilat`ere
Q
(
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
).
On montre que le module dâun quadrilat`ere est ind´ependant du choix du rect-
angle canonique associ´e.
Soit
A
un domaine. On consid`ere
K
lâensemble de tous les quadrilat`eres
Q
=
Q
(
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
) tels que
Q
â
A
et
f
un hom´eomorphisme qui pr´eserve le sens. On
pose
M
f
= sup
K
M
(
f
(
Q
))(
f
(
z
1
)
, f
(
z
2
)
, f
(
z
3
)
, f
(
z
4
))
M
(
Q
(
z
1
, z
2
, z
3
, z
4
))
.
D´
efinition
1.
Un hom´eomorphisme pr´eservant lâorientation est dit
quasi-conforme
si
M
f
est fini. En particulier si
M
f
= 1 alors
f
est conforme.
D´
efinition
2. Un courbe de Jordan
J
est un
quasi-cercle
si elle est lâimage
dâun cercle par un hom´eomorphisme quasi-conforme. Le domaine entour´e par un
quasi-cercle est appel´e
quasi-disque
.
212
A. Messaoudi
D´
efinition
3. Soient
x
et
y
deux ´el´ements de
J
, soit I(
x, y
) lâarc de
J
orient´e
positivement et diam(I(
x, y
)) le diam`etre de cet arc. On dit que
J
v´erifie les
conditions dâAhlfors
sâil existe un r´eel positif
k
tel que
â
x, y
â J
,
min(diam(I(
x, y
))
,
diam(I(
y, x
)))
â¤
k
|
x
â
y
|
.
Th´
eor`
eme
3 ([14]).
Si
J
v´
erifie les conditions dâAhlfors
,
alors
J
est un
quasi-cercle.
Nous allons donc montrer que Fr(
E
) v´erifie les conditions dâAhlfors ; pour cela,
nous avons besoin du lemme suivant.
Lemme
10.
Il existe un r´
eel strictement positif
k
tel que si
0
â¤
t
0
â¤
t
1
â¤
t
2
â¤
1
,
alors
|
f
(
t
1
)
â
f
(
t
0
)
| â¤
k
|
f
(
t
2
)
â
f
(
t
0
)
|
.
P r e u v e. Il est facile de v´erifier que
f
0
âŚ
f
2
(
z
) =
f
0
âŚ
f
0
(
z
) +
Îą
6
,
f
1
âŚ
f
0
(
z
) =
f
0
âŚ
f
1
(
z
) +
Îą
6
.
Dâo`
u
f
[2
/
9
,
1
/
3] =
f
0
âŚ
f
2
(
X
) =
f
0
âŚ
f
0
(
X
) +
Îą
6
=
f
[0
,
1
/
9] +
Îą
6
,
et
f
[1
/
3
,
1
/
3 + 1
/
9] =
f
1
âŚ
f
0
(
X
) =
f
0
âŚ
f
1
(
X
) +
Îą
6
=
f
[1
/
9
,
2
/
9] +
Îą
6
.
Par cons´equent,
f
[2
/
9
,
1
/
3 + 1
/
9] =
f
[0
,
2
/
9] +
Îą
6
.
De mËeme, en utilisant la sym´etrie de
X
, nous obtenons
f
[1
â
2
/
9
,
1] =
f
[1
â
4
/
9
,
1
â
2
/
9] +
Îą
6
.
Posons [0
,
1] =
A
1
âŞ
A
2
âŞ
A
3
âŞ
A
4
âŞ
A
5
o`
u
A
1
= [0
,
1
/
3],
A
2
= [2
/
9
,
1
/
3 + 1
/
9],
A
3
= [1
/
3
,
2
/
3],
A
4
= [1
â
4
/
9
,
1
â
2
/
9] et
A
5
= [2
/
3
,
1]
.
Donc
X
=
S
5
i
=1
f
(
A
i
)
.
Soient
t
0
,
t
1
et
t
2
trois ´el´ements de [0
,
1] tels que 0
â¤
t
0
â¤
t
1
â¤
t
2
â¤
1
.
Nous
avons donc deux cas `a ´etudier :
(1) Il existe
i
appartenant `
a
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
tel que
f
(
t
0
) et
f
(
t
2
) appartiennent `a
f
(
A
i
)
.
(2) Il nâexiste pas
i
tel que
f
(
t
0
) et
f
(
t
2
) appartiennent `
a
f
(
A
i
)
.
Supposons que lâon est dans le cas (2). Soit
p
le minimum des distances entre
deux points de
X
v´erifiant (2) ; dâapr`es la construction des
A
i
,
p
est strictement
positif. Puisque
p
⤠|
f
(
t
2
)
â
f
(
t
0
)
|
, nous avons
|
f
(
t
1
)
â
f
(
t
0
)
| â¤
diam(
X
)
p
¡ |
f
(
t
2
)
â
f
(
t
0
)
|
.
Il suffit donc de prendre
k
= diam(
X
)
/p.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
213
Si on est dans le cas (1)
,
on peut toujours se ramener au cas o`
u
t
0
et
t
2
ap-
partiennent `
a
A
i
o`
u
i
est un ´el´ement de
{
1
,
3
,
5
}
,
car
f
(
A
2
) =
f
[0
,
2
/
9] +
Îą
6
et
f
(
A
4
) =
f
[1
â
2
/
9
,
1]
â
Îą
6
.
Posons
i
= 2
s
+ 1,
s
â {
0
,
1
,
2
}
et d´efinissons lâapplication
h
de [0
,
1] dans lui
mËeme par
h
(
t
) = 3
t
â
s
si
t
â
A
2
s
+1
.
Donc
f
s
âŚ
f
(
h
(
t
0
)) =
f
(
t
0
)
,
f
s
âŚ
f
(
h
(
t
2
)) =
f
(
t
2
)
.
De mËeme, nous avons
f
s
âŚ
f
(
h
(
t
1
)) =
f
(
t
1
)
,
car
t
1
â
A
2
s
+1
.
Pour avoir le lemme, il
suffit dâavoir
|
f
(
h
(
t
1
))
â
f
(
h
(
t
0
))
| â¤
k
|
f
(
h
(
t
2
))
â
f
(
h
(
t
0
))
|
.
Par ailleurs,
|
Îą
â
3
| ¡ |
f
(
t
0
)
â
f
(
t
2
)
| ⤠|
f
(
h
(
t
0
))
â
f
(
h
(
t
2
))
| ⤠|
Îą
â
4
| ¡ |
f
(
t
0
)
â
f
(
t
2
)
|
.
Comme
Îą
est de module inf´erieur strictement `
a 1, en appliquant
h
un nombre fini
de fois, on obtient un couple (
h
n
(
t
0
)
, h
n
(
t
2
)) appartenant `
a
X
et v´erifiant
|
f
(
h
n
(
t
0
))
â
f
(
h
n
(
t
2
))
| âĽ
p.
On prend
k
= diam(
X
)
/p
et on obtient
|
f
(
h
n
(
t
1
))
â
f
(
h
n
(
t
0
))
| â¤
k
|
f
(
h
n
(
t
0
))
â
f
(
h
n
(
t
2
))
|
.
Comme
t
1
appartient `
a
A
i
, nous avons
|
f
(
t
1
)
â
f
(
t
0
)
| â¤
k
|
f
(
t
2
)
â
f
(
t
0
)
|
.
Un corollaire imm´ediat du lemme 10 est le suivant.
Corollaire
2.
Il existe un r´
eel strictement positif
k
tel que pour tout r´
eel
t, t
â˛
, t
0
et
t
2
v´
erifiant
0
â¤
t
0
â¤
t
â¤
t
â˛
â¤
t
2
â¤
1
,
on a
|
f
(
t
)
â
f
(
t
â˛
)
| â¤
k
|
f
(
t
2
)
â
f
(
t
0
)
|
.
Th´
eor`
eme
4.
Il existe un r´
eel positif
k
tel que pour tout
x
et
y
appartenant `
a
Fr(
E
)
,
on a
min(diam(I(
x, y
))
,
diam(I(
y, x
)))
â¤
k
|
x
â
y
|
.
P r e u v e. Comme
f
2
(
X
)
â
Îą
est inclus dans
E âŠ
(
E â
Îą
)
,
la fronti`ere de
E
est
lâunion de six arcs
B
0
=
X
âŞ
Y
,
B
1
=
Y
âŞ
Z
,
B
2
=
Z
âŞ
(
f
2
(
X
)
â
Îą
),
B
3
=
X
â˛
âŞ
Y
â˛
,
B
4
=
Y
â˛
âŞ
Z
â˛
,
B
5
=
Z
â˛
âŞ
f
0
(
X
)
.
Dâapr`es la figure 5, on remarque que ces arcs sont similaires `
a
X
et on montre
en utilisant le lemme 2 quâil existe des applications affines
H
i
de
C
dans
C
,
i
´el´ement de
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
, telles que lâimage de
B
i
par
H
i
soit incluse dans
X.
Ces
applications sont d´efinies par
H
0
(
z
) =
Îą
4
+
Îą
3
z,
H
1
(
z
) =
Îą
+
Îą
3
+
Îą
2
z,
H
2
(
z
) =
Îąz,
et
H
3
=
H
0
âŚ
s,
H
4
=
H
1
âŚ
s,
H
5
=
H
2
âŚ
s,
o`
u
s
est la sym´etrie centrale d´efinie sur
E
.
214
A. Messaoudi
En effet, nous avons
H
0
(
X
âŞ
Y
) =
H
0
(
X
âŞ
(1 +
Îą
+
ÎąX
))
= (
Îą
4
+
Îą
3
X
)
âŞ
(
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
X
)
=
f
0
(
X
)
âŞ
f
1
(
X
)
â
X,
H
1
(
Y
âŞ
Z
) =
H
1
((1 +
Îą
+
ÎąX
)
âŞ
(
Îą
3
+
Îą
2
X
))
= (
Îą
3
+
Îą
4
+
Îą
3
X
)
âŞ
(
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
X
)
=
f
2
(
X
)
âŞ
f
1
(
X
)
â
X,
H
2
(
Z
âŞ
(
f
2
(
X
)
â
Îą
)) =
H
2
((
Îą
3
+
Îą
2
X
)
âŞ
(1 +
Îą
2
+
Îą
4
+
Îą
3
X
))
= (
Îą
4
+
Îą
3
X
)
âŞ
(
Îą
+
Îą
3
+
Îą
5
+
Îą
4
X
)
=
f
0
(
X
)
âŞ
f
1
(
X
)
â
X.
Nous avons
H
3
(
X
â˛
âŞ
Y
â˛
) =
H
0
(
s
(
X
â˛
âŞ
Y
â˛
)) =
H
0
(
X
âŞ
Y
)
.
De mËeme
H
4
(
Y
â˛
âŞ
Z
â˛
) =
H
1
(
Y
âŞ
Z
) et
H
5
(
Z
â˛
âŞ
f
0
(
X
)) =
H
2
(
f
2
(
X
)
â
Îą
)
.
Soient
x
et
y
deux ´el´ements de Fr(
E
). Alors nous avons deux cas :
(1)
x
et
y
appartiennent au mËeme arc
B
i
.
Dans ce cas,
H
i
(
x
) et
H
i
(
y
) appar-
tiennent `
a
X
et il r´esulte du corollaire 2 que
min(diam(I(
H
i
(
x
)
,
H
i
(
y
)))
,
diam(I(
H
i
(
y
)
,
H
i
(
x
))))
â¤
k
|H
i
(
x
)
â H
i
(
y
)
|
,
dâo`
u le r´esultat.
(2)
x
et
y
nâappartiennent pas au mËeme arc
B
i
.
Donc, dâapr`es la construction
des
B
i
,
x
et
y
nâappartiennent pas `
a deux arcs successifs de Fr(
E
) (i.e. (
x, y
)
6â
(
X
Ă
Y
)
âŞ
(
Y
Ă
Z
)
âŞ
(
Z
Ă
X
â˛
)
âŞ
(
X
â˛
Ă
Y
â˛
)
âŞ
(
Y
â˛
Ă
Z
â˛
)
âŞ
(
Z
â˛
Ă
X
)). Dâo`
u il existe un r´eel
strictement positif
d
tel que
|
x
â
y
| âĽ
d.
Il suffit donc de prendre
k
= diam(Fr(
E
))
/d
pour avoir le th´eor`eme.
Il est connu [14] que la classe des domaines qui sont des quasi-disques co¨Ĺncide
avec celle des domaines uniformes. Il sâen suit que int(
E
) est un domaine uniforme,
câest-`a-dire, il existe deux r´eels positifs
a
et
b
tels que tout
z
1
et
z
2
appartenant `a
int(
E
) peuvent Ëetre joints par un arc
Ρ
dans int(
E
) qui v´erifie les deux propri´et´es
suivantes :
â˘
La longueur euclidienne
l
(
Ρ
) de
Ρ
satisfait lâin´egalit´e
l
(
Ρ
)
â¤
a
|
z
1
â
z
2
|
.
⢠â
z
â
Ρ,
min(
l
(
Ρ
1
)
, l
(
Ρ
2
))
â¤
b
¡
d
(
z,
Fr(
E
)) o`
u
Ρ
1
et
Ρ
2
sont les deux arcs de
Ρ
\
z.
Remarque.
Il a ´et´e prouv´e dans [3] que la fronti`ere du fractal du dragon est
un quasi-cercle. Ceci motive la question suivante : Parmi les courbes g´en´er´ees par
la m´ethode de Dekking, quelles sont celles qui sont quasi-cercles?
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
215
5. Les points strictement extr´
emaux du fractal de Rauzy.
Dans cette
section nous construisons les points strictement extr´emaux du fractal de Rauzy, ce
qui permet de trouver lâenveloppe convexe du fractal de Rauzy et se g´en´eralise aux
n
-fractals du dragon,
n
âĽ
1.
Dans le plan complexe, nous consid´erons une droite
â
a
passant par lâorigine,
de vecteur directeur
~u
et de direction un r´eel
a
â
[0
,
2
Ď
[
.
Soit
p
a
la projection
orthogonale de
E
sur
â
a
:
â
z
â E
,
p
a
(
z
) =
c
a
(
z
)
~u,
o`
u
c
a
(
z
)
â
R
.
Comme
E
est compact, le maximum des
c
a
(
z
),
z
â E
,
est atteint en au moins un point
x
appartenant `a
E
.
D´
efinition
4. Sous les mËemes hypoth`eses, un point
x
â E
est dit
strictement
extr´
emal
pour la direction
a
si
c
a
(
x
) = max
{
c
a
(
z
);
z
â E}
.
Remarque.
Un point strictement extr´emal de
E
appartient `
a Fr(
E
)
.
Construction dâun point strictement extr´
emal.
Soit
Îą
=
|
Îą
|
e
iĎ
o`
u
Ď
est un
argument de
Îą
appartenant `
a lâensemble [0
,
2
Ď
[ (
Ď/Ď
âź
0
.
69). Soit
a
â
[0
,
2
Ď
[ et
z
â E
tel que
z
=
P
â
n
=3
Îľ
n
Îą
n
. Alors
(1)
p
a
(
z
) = Re(
ze
â
ia
)
~u
=
â
X
n
=3
Îľ
n
|
Îą
|
n
cos(
nĎ
â
a
)
~u.
Soit (
a
n
)
n
âĽ
3
une suite dont les termes sont dans
{
0
,
1
}
et v´erifient



a
n
= 1
si cos(
nĎ
â
a
)
>
0
,
a
n
= 0
si cos(
nĎ
â
a
)
<
0
,
a
n
arbitraire dans
{
0
,
1
}
si cos(
nĎ
â
a
) = 0
.
Proposition
4.
Soit
(
a
n
)
n
âĽ
3
une des suites d´
efinies ci-dessus. Alors
(
a
n
)
n
âĽ
3
â
N
,
et
P
â
n
=3
a
n
Îą
n
est un point strictement extr´
emal pour la direction
a.
P r e u v e. Montrons que (
a
n
)
n
âĽ
3
â N
.
Supposons quâil existe
n
âĽ
3 tel que
a
n
=
a
n
+1
= 1 ; dâo`
u cos(
nĎ
â
a
) et cos((
n
+ 1)
Ď
â
a
) sont positifs. Par cons´equent
il existe deux entiers relatifs
k
et
k
â˛
tels que
â
Ď
2
+ 2
kĎ
â¤
nĎ
â
a
â¤
Ď
2
+ 2
kĎ
et
â
Ď
2
+ 2
k
â˛
Ď
â¤
(
n
+ 1)
Ď
â
a
â¤
Ď
2
+ 2
k
â˛
Ď,
ou encore
2
k
â¤
n
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
â¤
2
k
+ 1 et 2
k
â˛
â¤
(
n
+ 1)
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
â¤
2
k
â˛
+ 1
.
Nous avons
k
â˛
âĽ
k
car (
n
+ 1)
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
> n
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
,
dâo`
u
2
k
â˛
â
2
k
â
1
â¤
(
n
+ 1)
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
â
n
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
=
Ď
Ď
<
1
,
ce qui implique que
k
â˛
=
k.
216
A. Messaoudi
Par ailleurs
n
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
<
n
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
+
2
Ď
Ď
â
1
<
(
n
+ 1)
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
car
Ď/Ď
âź
0
.
69. Donc 2
k <
(
n
+ 2)
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
â
1
<
2
k
+ 1
,
câest-`
a-dire 2
k
+ 1
<
(
n
+ 2)
Ď
Ď
â
a
Ď
+
1
2
<
2
k
+ 2. Il en r´esulte que cos((
n
+ 2)
Ď
â
a
)
<
0
,
dâo`
u
a
n
+2
= 0
,
ce qui implique que (
a
n
)
n
âĽ
3
â N
.
Par ailleurs, soit (
Îľ
n
)
n
âĽ
3
dans
N
. De la relation (1) et de la d´efinition de (
a
n
),
nous d´eduisons que
â
X
n
=3
Îľ
n
|
Îą
|
n
cos(
nĎ
â
a
)
â¤
â
X
n
=3
a
n
|
Îą
|
n
cos(
nĎ
â
a
)
.
Par cons´equent
P
â
n
=3
a
n
Îą
n
est un point strictement extr´emal pour la direction
a.
Remarque.
La preuve montre aussi que la suite (
a
n
)
n
âĽ
3
ne peut pas contenir
trois â0â cons´ecutifs. Il suffit de remplacer partout 2
k
(resp. 2
k
â˛
) par 2
k
+ 1 (resp.
2
k
â˛
+ 1).
La d´efinition de la suite (
a
n
)
n
âĽ
3
montre quâa priori, nous pouvons avoir une
infinit´e de points strictement extr´emaux pour une direction
a
. Cela est faux. Nous
allons prouver que pour une direction donn´ee, on ne peut avoir plus de deux points
strictement extr´emaux.
Lemme
11.
Ď/Ď
est irrationnel.
P r e u v e. Supposons que
Ď/Ď
est rationnel, il existe donc un entier naturel
n
tel que
Îą
n
soit r´eel. Dâo`
u
Îą
n
=
Îą
n
.
Il en r´esulte que le seul possible conjugu´e au
sens de Galois de
Îą
n
,
diff´erent de
Îą
n
est
β
n
o`
u
β
est le conjugu´e r´eel de
Îą
. Dâo`
u
le corps
Q
(
Îą
n
) est strictement inclus dans le corps cubique
Q
(
Îą
)
.
Cela implique
que
Q
(
Îą
n
) =
Q
car un corps cubique ne peut pas contenir un corps quadratique.
Par cons´equent, il existe deux entiers relatifs
m
et
r
tels que
mÎą
n
â
r
= 0, dâo`
u le
polynËome
Q
(
X
) =
mX
n
â
r
est un multiple du polynË
ome minimal de
Îą
. Cela est
impossible, car toutes les racines de
Q
(
X
) ont le mËeme module.
Remarque.
Ce lemme est vrai pour arg(
Îł
)
/Ď
o`
u
Îł
est un complexe alg´ebrique
de degr´e 3 ayant au moins un conjugu´e de module diff´erent de celui de
Îł
.
Corollaire
3.
Soit
a
â
[0
,
2
Ď
[
.
Alors lâensemble
{
n
âĽ
3
|
cos(
nĎ
â
a
)
= 0
}
est soit vide
,
soit r´
eduit `
a un ´
el´
ement.
P r e u v e. Supposons quâil existe deux entiers diff´erents
m
et
n
sup´erieurs ou
´egaux `a 3 tels que cos(
nĎ
â
a
) = cos(
mĎ
â
a
) = 0
.
Par cons´equent, il existe
s
â
Z
tel que
Ď/Ď
=
s/
(
n
â
m
)
â
Q
, ce qui contredit le lemme 11.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
217
Maintenant, nous sommes en mesure dâexpliciter les points strictement
extr´emaux.
Premier cas
. Si
{
n
âĽ
3
|
cos(
nĎ
â
a
) = 0
}
=
â
, alors nous avons un seul point
strictement extr´emal pour la direction
a
. Ce point est
x
a
=
P
â
n
=3
a
n
Îą
n
, o`
u
a
n
=
1 si cos(
nĎ
â
a
)
âĽ
0,
0 sinon,
ou encore
a
n
=
1
si
â
k
â
Z
,
2
k
â
1
â¤
n
Ď
Ď
â
a
Ď
â
1
2
â¤
2
k
,
0
sinon.
Comme pour tout entier
n
âĽ
3 et
k
â
Z
,
n
Ď
Ď
â
a
Ď
â
1
2
6â {
2
k
â
1
,
2
k
}
car cos(
nĎ
â
a
)
6
=
0
,
nous avons
a
n
=
n
Ď
Ď
â
a
Ď
â
1
2
mod 2
.
Deuxi`
eme cas
. Il existe un unique entier
m
âĽ
3 tel que cos(
mĎ
â
a
) = 0,
ou encore
a
=
mĎ
+ (1
/
2
â
p
)
Ď
,
p
â
Z
.
Dans ce cas, nous obtenons deux points
strictement extr´emaux qui sont
x
a
=
P
â
n
=3
a
n
Îą
n
et
y
a
=
P
â
n
=3
b
n
Îą
n
o`
u
a
n
=
1 si cos(
nĎ
â
a
)
âĽ
0,
0 sinon
et
b
n
=
1
si cos(
nĎ
â
a
)
>
0,
0
sinon.
Pour tout
n
âĽ
3, si
n
6
=
m
alors
a
n
=
b
n
et
a
m
= 1
, b
m
= 0
.
Par cons´equent
y
a
=
â
X
n
=3
, n
6
=
m
a
n
Îą
n
et
x
a
=
â
X
n
=3
, n
6
=
m
a
n
Îą
n
+
Îą
m
=
â
X
n
=3
, n
6
=
m
a
n
Îą
n
+
|
Îą
m
|
e
i
(
a
â
(1
/
2
â
p
)
Ď
)
.
Dâo`
u
x
a
=
y
a
+
|
Îą
m
|
e
i
(
a
â
Ď/
2)
si
p
est pair,
x
a
=
y
a
â |
Îą
m
|
e
i
(
a
â
Ď/
2)
si
p
est impair
et
y
a
=
P
â
n
=3
, n
6
=
m
a
n
Îą
n
o`
u
a
n
=
n
Ď
Ď
â
a
Ď
â
1
2
mod 2
,
pour tout
n
âĽ
3
.
Proposition
5.
Soit
x
=
P
â
n
=3
a
n
Îą
n
un point strictement extr´
emal de
E
pour
une direction
a
â
[0
,
2
Ď
[
. Alors la suite
(
a
n
)
n
âĽ
3
est le codage de
x
0
=
â
a
2
Ď
+
1
4
+
3
Ď
Ď
[1]
pour la rotation dâangle
Ď/
(2
Ď
)
sous la partition
([0
,
1
/
2[
,
[1
/
2
,
1[)
ou bien
(]0
,
1
/
2]
,
]1
/
2
,
1])
.
218
A. Messaoudi
P r e u v e. Supposons quâil existe
m
âĽ
3 tel que
a
=
mĎ
+ (1
/
2
â
p
)
Ď
,
p
â
Z
.
Les
deux suites correspondant aux deux points strictement extr´emaux sont (
a
n
)
n
âĽ
3
et
(
b
n
)
n
âĽ
3
o`
u
a
n
= 1
â â
k
â
Z
,
â
Ď/
2 + 2
kĎ
â¤
nĎ
â
a
â¤
Ď/
2 + 2
kĎ
et
b
n
= 1
â â
k
â˛
â
Z
,
â
Ď/
2 + 2
kĎ < nĎ
â
a < Ď/
2 + 2
kĎ.
Nous avons
mĎ
â
a
=
â
Ď/
2 +
pĎ.
Si
p
est pair, alors en vertu du corollaire 3, nous avons
â
n
âĽ
3
,
a
n
= 1
â â
k
â
Z
,
â
Ď/
2 + 2
kĎ
â¤
nĎ
â
a < Ď/
2 + 2
kĎ
ou encore
â
n
âĽ
3
,
a
n
=
1
si
nĎ
2
Ď
â
a
2
Ď
+
1
4
[1]
â
[0
,
1
/
2[,
0
sinon.
Dâo`
u la suite (
a
n
)
n
âĽ
3
=
T
3
((
c
n
)
n
â
N
) (
T
est lâapplication de
{
0
,
1
}
N
dans lui mËeme
qui `
a une suite (
a
n
) associe la suite (
a
n
+1
) ; et (
c
n
) est le codage de
â
a
2
Ď
+
1
4
[1] pour
la rotation dâangle
Ď/
(2
Ď
) sous la partition ([0
,
1
/
2[
,
[1
/
2
,
1[)
,
ou encore (
a
n
)
n
âĽ
3
est
le codage de
x
0
=
â
a
2
Ď
+
1
4
+
3
Ď
Ď
pour la rotation dâangle
Ď/
(2
Ď
) sous la partition
([0
,
1
/
2[
,
[1
/
2
,
1[)
.
De mËeme la suite (
b
n
)
n
âĽ
3
est le codage de
â
a
2
Ď
+
1
4
+
3
Ď
Ď
[1] pour la rotation
dâangle
Ď/
(2
Ď
) sous la partition (]0
,
1
/
2]
,
]1
/
2
,
1])
.
Si
p
est impair, alors
mĎ
â
a
=
Ď/
2 + (
p
â
1)
Ď.
Dans ce cas, nous avons
a
n
=
1
si
nĎ
2
Ď
â
a
2
Ď
+
1
4
[1]
â
]0
,
1
/
2],
0
sinon
et
b
n
=
1
si
nĎ
2
Ď
â
a
2
Ď
+
1
4
[1]
â
[0
,
1
/
2[,
0
sinon.
Dans le cas o`
u cos(
nĎ
â
a
)
6
= 0 pour tout
n
âĽ
3
,
les deux codages sont les mËemes
et coincident avec la suite (
a
n
)
n
âĽ
3
qui est d´efinie par :
a
n
=
n
Ď
Ď
â
a
Ď
â
1
2
mod 2
pour tout
n
âĽ
3
.
Remarque.
Les suites codages dâune rotation dâangle fixe sous la partition
([0
,
1
/
2[
,
[1
/
2
,
1[) ou bien (]0
,
1
/
2]
,
]1
/
2
,
1]) ont plusieurs propri´et´es (voir [18]), en
particulier quand lâangle de rotation est irrationnel ; ce qui est le cas ici.
6. Lâenveloppe convexe ferm´
ee de
E
.
´
Etant donn´e un ensemble
A
â
C
,
nous appelons
enveloppe convexe ferm´
ee
de
A
le plus petit convexe ferm´e contenant
A
; nous le notons par
O
(
A
)
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
219
Il y a deux fa¸cons de construire lâenveloppe convexe ferm´ee dâun ensemble. La
premi`ere est avec les barycentres, elle consiste `
a joindre deux points quelconques
de
A
par un segment.
Th´
eor`
eme
5.
Lâensemble
O
(
A
)
est la fermeture topologique de lâensemble
{
tx
+ (1
â
t
)
y
|
t
â
[0
,
1]
, x, y
â
A
}
.
La seconde m´ethode consiste `
a utiliser les droites dâappui des ´el´ements de la
fronti`ere de
A.
D´
efinition
5. Soient
A
et
B
deux parties de
C
et
D
une droite. On dit
que
D
s´
epare
(resp.
strictement
)
A
et
B
si
A
est dans lâun et
B
dans lâautre des
demi-espaces (resp. ouverts) d´etermin´es par la droite
D.
D´
efinition
6. Soit
A
une partie quelconque de
C
,
on appelle
droite dâappui
de
A
toute droite
D
contenant un point
x
â
A
et s´eparant
{
x
}
et
A
. Le point
x
est appel´e
point dâappui
.
Remarque.
Une droite dâappui nâexiste pas toujours en un point
x
â
A
et si
elle existe, elle peut ne pas Ëetre unique et avoir plus dâun point dâappui. Un point
dâappui appartient `
a Fr(
A
)
.
Th´
eor`
eme
6.
Lâensemble
O
(
A
)
est lâintersection des demi-espaces ferm´
es con-
tenant
A
et d´
etermin´
es par toutes les droites dâappui des ´
el´
ements de
A
.
Pour la preuve, nous allons utiliser la proposition suivante (voir [4], p. 35).
Proposition
6.
Si
A
et
B
sont deux convexes de
C
avec
A
ferm´
e non vide
,
B
compact et
A
âŠ
B
=
â
,
alors il existe une droite les s´
eparant strictement.
P r e u v e (du th´eor`eme 6). Soit
X
(
A
) lâintersection des demi-espaces ferm´es
contenant
A
et d´etermin´es par toutes les droites dâappui des ´el´ements de
A
. Alors
X
(
A
) est un convexe ferm´e contenant
A
. Soit
z
â
X
(
A
)
â
O
(
A
). En vertu de la
proposition pr´ec´edente, il existe une droite
D
qui s´epare strictement
{
z
}
et
O
(
A
).
Cela implique lâexistence dâune droite dâappui
â
qui s´epare
z
et
A
strictement (
â
est parall`ele `a
D
). Dâo`
u une contradiction avec la d´efinition de
X
(
A
)
.
Construction de lâenveloppe convexe de
E
Proposition
7.
Lâensemble des points strictement extr´
emaux du fractal de
Rauzy est ´
egal `
a lâensemble de ses points dâappui.
P r e u v e. Soit
z
un point dâappui et
D
z
sa droite dâappui. Consid´erons (
â
) la
droite passant par lâorigine et perpendiculaire `
a
D
z
. Soit
a
â
[0
,
2
Ď
[ la direction
de (
â
). Alors
z
est un point strictement extr´emal pour la direction
a,
car sinon, il
existe
z
â˛
â E
, z
â˛
6
=
z
, tel que
z
â˛
appartient au demi-plan ferm´e d´etermin´e par
D
z
et
ne contenant pas 0, ce qui est absurde, car
D
z
s´epare
{
z
}
et
E
.
De mËeme si
z
est
un point strictement extr´emal pour une direction
a
, alors câest un point dâappui :
sa droite dâappui est la perpendiculaire `
a la droite de direction
a
.
220
A. Messaoudi
Remarque.
Comme les points strictement extr´emaux de
E
sont associ´es `a
des suites qui sont codages dâune rotation dâangle irrationnel, pour deux directions
diff´erentes, on ne peut pas obtenir le mËeme point strictement extr´emal. Il en r´esulte
que chaque point dâappui de
E
poss`ede une et une seule droite dâappui. Une droite
dâappui poss`ede au plus deux points dâappui.
Th´
eor`
eme
7.
La fronti`
ere de
O
(
E
)
admet un nombre d´
enombrable de cË
ot´
es.
Chaque cË
ot´
e a pour extr´
emit´
e les deux points strictment extr´
emaux pour la mË
eme
direction
a
=
mĎ
+ (1
/
2
â
p
)
Ď
o`
u
m
est un entier naturel sup´
erieur ou ´
egal `
a
3
et
p
un entier relatif.
7. Application au fractal du dragon.
Cette m´ethode peut Ëetre appliqu´ee
au fractal du dragon
D
1
=
{
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
| â
n
âĽ
1
, a
n
â {
0
,
1
}}
.
Posons
Ď
= arg
1
â
1 +
i
=
5
Ď
4
.
Comme ci-dessus,
x
=
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
est un point strictement extr´emal
pour la direction
a
â
[0
,
2
Ď
[ si et seulement si la suite (
a
n
)
n
âĽ
1
est d´efinie par
(
â
)
a
n
=



1
si cos(5
nĎ/
4
â
a
)
>
0,
0
si cos(5
nĎ/
4
â
a
)
<
0,
arbitraire si cos(5
nĎ/
4
â
a
) = 0.
Supposons que pour tout
n
âĽ
1, cos(5
nĎ/
4
â
a
)
6
= 0
.
Nous obtenons un unique
point strictement extr´emal pour la direction
a
, soit
â
X
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
o`
u
a
n
=
1
si
5
n
8
â
a
2
Ď
+
1
4
[1]
â
[0
,
1
/
2[,
0
sinon.
La suite (
a
n
)
n
âĽ
1
est donc p´eriodique de p´eriode 8. Câest le codage de
â
a
2
Ď
+
1
4
+
Ď
Ď
[1]
pour la rotation dâangle 5
/
8 pour la partition ([0
,
1
/
2[
,
[1
/
2
,
1[)
.
Quand
a
parcourt lâensemble [0
,
2
Ď
[
â{
5
nĎ/
4 + (1
/
2
â
p
)
Ď
|
p
â
Z
, n
â
N
â
}
,
lâensemble des suites (
a
n
)
n
âĽ
1
associ´ees aux points strictement extr´emaux parcourt
un ensemble fini `a 8 ´el´ements que lâon peut calculer explicitement.
Supposons maintenant que
a
= 5
mĎ/
4 + (1
/
2
â
p
)
Ď
o`
u
p
â
Z
et
m
â
N
â
,
câest-`a-dire
a
â {
0
, Ď/
4
, Ď/
2
,
3
Ď/
4
, Ď,
5
Ď/
4
,
3
Ď/
2
,
7
Ď/
4
}
.
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
221
Nous avons cos(5
mĎ/
4
â
a
) = 0
.
Or lâensemble
{
n
â
N
â
|
cos(5
nĎ/
4
â
a
) = 0
}
=
{
m
+ 4
k
|
k
â
Z
} âŠ
N
â
est infini. Nous avons donc un nombre infini de points
strictement extr´emaux pour la direction
a.
Soit
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
un point strictement extr´emal pour
a
. Pour tout
k
â
N
â
â {
m
}
, nous avons
a
k
+4
+
a
k
= 1
.
Par cons´equent, pour connaËÄątre la suite
(
a
n
)
n
âĽ
1
,
il suffit connaËÄątre ses quatre premiers termes.
Premier cas:
a
= 0
.
Dans ce cas,
m
= 2 et
p
= 3, dâo`
u pour tout
k
â
N
, a
2+4
k
est un ´el´ement arbitraire de
{
0
,
1
}
. Dâautre part, en utilisant la relation
(1)
a
n
= ([5
n/
4
â
a/Ď
â
1
/
2]) mod 2
si
n
6
=
m
+ 4
k
nous obtenons
a
1
= 0
, a
3
= 1 et
a
4
= 0
.
Il en r´esulte que les suites correspondant
aux points strictement extr´emaux pour la direction 0 sont de la forme (
a
n
)
n
âĽ
1
o`
u
a
1
=
a
4
=
a
7
= 0
, a
3
=
a
5
=
a
8
= 1 et
a
2+4
k
est arbitraire pour tout
k
â
N
,
et
a
n
+8
=
a
n
pour tout
n
6
= 2 + 4
k.
Nous notons une suite
a
1
a
2
. . .
de cette forme par (0
.
101
.
01) (le â.â d´esigne que
lâon a un ´el´ement arbitraire de
{
0
,
1
}
)
.
Deuxi`
eme cas:
a
=
Ď/
4
.
Dans ce cas
m
= 3 et
p
= 4, dâo`
u pour tout
k
â
N
,
a
3+4
k
est un ´el´ement arbitraire de
{
0
,
1
}
. En vertu de la relation (1), on trouve
a
1
= 0
, a
2
= 1 et
a
4
= 0. Donc les suites (
a
n
)
n
âĽ
1
sont de la forme (01
.
010
.
1).
Nous remarquons que
c
=
P
â
n
=1
a
n
(
â
1+
i
)
â
n
o`
u (
a
n
)
n
âĽ
1
est la suite p´eriodique
(01101001), est lâunique point strictement extr´emal `a la fois pour 0 et
Ď/
4
.
Troisi`
eme cas:
a
=
Ď/
2
.
Dans ce cas
m
= 4 et
p
= 5
,
dâo`
u
a
4
k
est arbitraire
pour tout
k
â
N
â
.
On trouve
a
1
= 0
, a
2
= 1 et
a
3
= 0. Par cons´equent, les suites
(
a
n
)
n
âĽ
1
sont de la forme (010
.
101
.
)
.
Soit
d
=
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
o`
u (
a
n
)
n
âĽ
1
est la suite p´eriodique (01001011).
Alors
d
est lâunique point strictement extr´emal `
a la fois pour
Ď/
4 et
Ď/
2
.
Quatri`
eme cas:
a
= 3
Ď/
4
.
Dans ce cas nous avons
m
= 1 et
p
= 1
,
dâo`
u
pour tout
k
â
N
, a
1+4
k
est un ´el´ement arbitraire de
{
0
,
1
}
et pour tout
n
6
= 1 + 4
k
,
a
n
= ([5
n/
4
â
5
/
4]) mod 2
.
Dâo`
u
a
2
= 1
, a
3
= 0 et
a
4
= 1
.
Il en r´esulte que les
suites (
a
n
)
n
âĽ
1
sont de la forme (
.
101
.
010)
.
La point
e
=
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
o`
u (
a
n
)
n
âĽ
1
est la suite p´eriodique (01011010)
est lâunique point strictement extr´emal `
a la fois pour
Ď/
2 et 3
Ď/
4
.
Dâautre part, en vertu de (
â
), un point
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
est strictement
extr´emal pour la direction
a
si et seulement si
P
â
n
=1
(1
â
a
n
)(
â
1 +
i
)
â
n
est stricte-
ment extr´emal pour la direction
Ď
â
a
. Il en d´ecoule que les points strictement
extr´emaux respectivement pour les directions
Ď,
5
Ď/
4
,
3
Ď/
2
,
7
Ď/
4 se d´eduisent de
222
A. Messaoudi
ceux associ´es respectivement aux directions 0
, Ď/
4
, Ď/
2
,
3
Ď/
4
.
Les points
c
â˛
=
P
â
n
=1
a
n
(
â
1 +
i
)
â
n
,
d
â˛
=
P
â
n
=1
b
n
(
â
1 +
i
)
â
n
et
P
â
n
=1
c
n
(
â
1 +
i
)
â
n
o`
u
(
a
n
) = (10010110)
,
(
b
n
) = (10110100)
,
(
c
n
) = (10100101)
sont respectivement les seuls points strictement extr´emaux associ´es respectivement
`a la fois `a
Ď
et 5
Ď/
4, 5
Ď/
4 et 3
Ď/
2, 3
Ď/
2 et 7
Ď/
4
.
De mËeme, nous montrons que
g
=
P
â
n
=1
d
n
(
â
1+
i
)
â
n
o`
u (
d
n
)
n
âĽ
1
= (11010010)
et
g
â˛
=
P
â
n
=1
(1
â
d
n
)(
â
1 +
i
)
â
n
sont respectivement les seuls points strictement
extr´emaux `
a la fois pour 3
Ď/
4 et
Ď
, 7
Ď/
4 et 0
.
Par cons´equent, nous avons la proposition suivante.
Proposition
8.
Lâenveloppe convexe ferm´
ee du fractal du dragon est un poly-
gone convexe
;
câest exactement lâoctogone dont les
8
cË
ot´
es ont pour extr´
emit´
es les
points
c, d, e, g, c
â˛
, d
â˛
, e
â˛
, g
â˛
.
Nous pouvons facilement calculer les nombres complexes
c, d, e, g, c
â˛
, d
â˛
,
e
â˛
, g
â˛
,
car ils ont chacun un d´eveloppement p´eriodique en base
â
1 +
i.
Posons
â
1 +
i
=
Îł
; alors
c
=
Îł
2
+
Îł
3
+
Îł
5
+
Îł
8
1
â
Îł
8
=
7 + 6
i
15
,
d
=
Îł
2
+
Îł
5
+
Îł
7
+
Îł
8
1
â
Îł
8
=
2 + 11
i
15
,
e
=
Îł
2
+
Îł
4
+
Îł
5
+
Îł
7
1
â
Îł
8
=
â
3 + 11
i
15
,
g
=
Îł
+
Îł
2
+
Îł
4
+
Îł
7
1
â
Îł
8
=
13 +
i
15
,
c
â˛
=
â
13
â
9
i
15
,
d
â˛
=
â
8
â
14
i
15
,
e
â˛
=
â
13
â
14
i
15
et
d
â˛
=
7
â
14
i
15
.
Remarque.
Nous retrouvons dâune autre fa¸con un r´esultat de Benedek et
Panzone (voir [3]). Ce qui est nouveau avec notre m´ethode est quâelle permet de
trouver tous les points strictement extr´emaux du fractal du dragon.
8. G´
en´
eralisation aux
k
-fractals du dragon.
Les
k
-
fractals du dragon
(
k
âĽ
1) sont les ensembles
D
k
=
{
P
â
n
=1
a
n
/
(
â
k
+
i
)
n
|
a
n
â {
0
,
1
, . . . , k
2
}}
.
Ce sont des compacts de
C
`
a fronti`ere fractale (voir [6], [7], [12], [13]).
De la mËeme mani`ere que le fractal de Rauzy, nous pouvons d´eterminer les points
strictement extr´emaux de
D
k
,
k >
1. Il suffit de coder par
a
n
=



k
2
si cos(
nθ
â
a
)
>
0,
0
si cos(
nθ
â
a
)
<
0,
arbitraire si cos(
nθ
â
a
) = 0,
o`
u
θ
= arg(1
/
(
â
k
+
i
))
.
Le th´eor`eme (classique) qui va suivre montre que nous
sommes dans la mËeme situation que celle du fractal de Rauzy.
Th´
eor`
eme
8.
Pour tout
k >
1, arg(1
/
(
â
k
+
i
))
/Ď
â
R
â
Q
.
P r e u v e. Supposons que
θ/
(2
Ď
) est rationnel. Il est clair que cos(
θ
) est un
nombre alg´ebrique de degr´e au plus deux. Comme [
Q
(cos(
θ
)) :
Q
] =
Ď
(
n
)
/
2 o`
u
Fronti`
ere du fractal de Rauzy
223
n
est le d´enominateur de cos(
θ
) et
Ď
est la fonction dâEuler, nous d´eduisons que
Ď
(
n
)
â¤
4, ou encore
n
peut prendre seulement les valeurs 1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
8
,
10
,
12
.
Une simple v´erification montre que ce nâest pas le cas.
Remarque.
Notre m´ethode de la construction de lâenveloppe convexe se
g´en´eralise aux ensembles de la forme
{
P
â
i
=0
a
i
Îł
i
|
(
a
i
)
â
A
N
}
o`
u
A
est un en-
semble fini de r´eels positifs contenant 0, et
Îł
un nombre complexe de module
<
1
.
Remerciement.
Lâauteur remercie le rapporteur pour ses remarques int´eress-
antes et de lui avoir indiqu´e une d´emonstration assez simple du th´eor`eme 8.
R´
ef´
erences
[1]
P. A r n o u x,
Un exemple de semi-conjugaison entre un ´
echange dâintervalles et une
rotation sur le tore
, Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 489â500.
[2]
M. B a r n s l e y,
Fractals Everywhere
, Academic Press, 1988.
[3]
A. B e n e d e k and R. P a n z o n e,
The set of Gaussian fractions
, in: Proc. Second
Conf. Math. âDr. Antonio A. R. Monteiroâ (Bahia Blanca, 1993), 11â40.
[4]
M. B e r g e r,
G´
eom´
etrie 2
, Cedic/Nathan, 1977.
[5]
F. M. D e k k i n g,
Recurrent sets
, Adv. Math. 44 (1982), 78â104.
[6]
W. J. G i l b e r t,
Complex numbers with three radix expansions
, Canad. J. Math. 34
(1982), 1335â1348.
[7]
â,
Fractal geometry derived from complex bases
, Math. Intelligencer 4 (1982), 78â
86.
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CNRS-UPR 9016
163, avenue de Luminy Case 930
13288 Marseille Cedex 9, France
E-mail: messaoud@iml.univ-mrs.fr
Re¸
cu le 27.10.1997
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e le 1.2.2000
(3287)