Table des matières

Préface

vii

Auteurs et rédacteurs

xi

Leçon 1. Bernard Teissier. Volumes des corps convexes, géomé-

trie et algèbre

1

Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Le problème isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Didon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Bonnesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Généralisations : volumes mixtes et problèmes de comptage

7

Trois types de questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Théorème de Minkowski-Steiner . . . . . . . . . . . . . .

8

Inégalité isopérimétrique généralisée et formule de Pick

(dimension 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Les volumes mixtes en dimension

d

. Formules de Crofton

et de Cauchy. Inégalités de Alexandrov-Fenchel et théo-
rème d’Hadwiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Formules de Crofton et de Cauchy . . . . . . . . . . . . .

10

Inégalités entre les volumes mixtes . . . . . . . . . . . . .

15

Valuations et volumes mixtes . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Nombres de faces d’un polytope simplicial dans

R

d

. Équa-

tions de Dehn-Sommerville . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Le problème du comptage des points entiers en dimension

d

.

Polynôme d’Ehrhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Liens avec la géométrie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Théorèmes de Carathéodory et de Briançon-Skoda. . . .

25

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

ix

Auteurs et rédacteurs

Benoît Perthame (École Normale Supé-

rieure de Paris)

Quelques équations de transport appa-

raissant en biologie

Leçon donnée le jeudi 3 avril 2003
Rédigée par Éric Charpentier

Jeffrey Rauch (Université du Michigan)

À travers un prisme

Leçon donnée le jeudi 30 janvier 2003
Rédigée par Benjamin Teixier

Nicole El Karoui (École Polytechnique,

Palaiseau)

Gestion dynamique des risques dans les

marchés financiers

Leçon donnée le jeudi 13 mars 2003

Rédigée par François Dufour et Arnaud

Gloter

Marc Yor (Université Paris 6 et Académie

des Sciences)

Le mouvement brownien : une martingale

exceptionnelle et néanmoins générique

Leçon donnée le jeudi 4 mars 2004
Rédigée par Éric Charpentier

Wendelin Werner (Université Paris sud,

Orsay)

Lacets et invariance conforme

Leçon donnée le jeudi 3 novembre 2005
Rédigée par Jean-Francois Marckert

Xavier Viennot (LaBRI, Bordeaux)

Énumérons ! De la combinatoire énumé-
rative classique aux nouvelles combina-
toires : bijective, algébrique, expérimen-

tale, quantique et... magique !

Leçon donnée le jeudi 5 décembre 1996

Rédigée par Éric Charpentier et Meriem

Zemmari

Bernard Teissier (Institut de Mathéma-

tiques de Jussieu)

Volumes des corps convexes, géométrie et

algèbre

Leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999
Rédigée par Carine Reydy

Dominique Cerveau (Université de Rennes 1)

Champs d’hyperplans

Leçon donnée le jeudi 7 novembre 2002
Rédigée par Olivier Ripoll

Fabien Morel (Université LMU de Mu-

nich)

Groupes d’homotopie de sphères algébri-

ques et formes quadratiques

Leçon donnée le jeudi 9 novembre 2000
Rédigée par Bertrand Asseray

Pierre Berthelot (Université de Rennes 1)

Points rationnels des variétés algébriques

sur les corps finis : l’approche p-adique

Leçon donnée le jeudi 8 janvier 2004
Rédigée par Floric Tavares

Bruno Kahn (Université Paris 7)

Motifs

Leçon donnée le 6 novembre 2003
Rédigée par Rémy Eupherte

Laurent Lafforgue (IHÉS et Académie des

Sciences)

Formules de traces et programme de Lan-

glands

Leçon donnée le jeudi 2 octobre 2003
Rédigée par Francis Brown

xi

[page blanche]

Bernard Teissier

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

Résumé

Une

valuation

sur une classe

S

d

de sous-ensembles de l’espace

euclidien

R

d

, à valeurs dans un groupe abélien

Φ

, est une application

v

:

S

d

→

Φ

vérifiant

v

(

;

)

=

0 et, chaque fois que E

1

, E

2

, E

1

∩

E

2

et la réunion E

1

∪

E

2

sont dans

S

d

, l’égalité

v

(E

1

∪

E

2

)

=

v

(E

1

)

+

v

(E

2

)

−

v

(E

1

∩

E

2

).

La valuation la plus connue est probablement le volume

d

-dimension-

nel défini sur la classe des sous-ensembles mesurables bornés et pre-
nant ses valeurs dans

R

. Remarquons qu’elle est invariante par dépla-

cement, c’est-à-dire par isométrie affine. Un autre exemple est la ca-
ractéristique d’Euler-Poincaré, définie en particulier sur la classe des

polyconvexes

(réunions finies d’ensembles convexes compacts) et in-

variante par homéomorphisme. Le thème central de cet exposé est
l’étude des valuations à valeurs réelles ou entières et en particulier la
question de savoir dans quelle mesure elles ressemblent au volume
ou à la caractéristique d’Euler-Poincaré. Nous étudierons particulière-
ment des valuations qui en quelque sorte « interpolent » du volume à la
caractéristique d’Euler-Poincaré. Des résultats très récents jettent une
lumière nouvelle sur ce type de problème.

Le problème isopérimétrique

Didon

Ces leçons s’appellent « Leçons de Mathématiques d’Aujourd’hui »

mais je vais commencer par des mathématiques d’il y a bien long-

1

2

Bernard Teissier

temps. Je vais vous parler du problème isopérimétrique. La plus an-
cienne attestation historique (ou du moins mythologique) que l’on en
ait est l’histoire de la fondation de Carthage (

IX

e

siècle av. J.-C.) par la

princesse phénicienne Elissa, plus connue aujourd’hui sous son sur-
nom de

Didon

(« la vagabonde ») : ayant dû fuir sa ville de Tyr, Didon

trouva refuge avec sa suite sur les côtes d’Afrique du Nord. Elle acheta
au prince local le droit de rester sur une surface

que pourrait conte-

nir la peau d’un bœuf

. Mais Didon était une femme avisée : elle eut

l’idée de découper la peau de bœuf en très fines lanières qui, réunies
bout à bout, firent une longue bande, avec laquelle elle entoura la plus
vaste surface possible sur la plage ; et c’est là qu’elle fonda la ville de
Carthage. (Le prince, impressionné, voulut l’épouser, et ensuite l’his-
toire sort du champ de cet exposé.) La question se pose donc de savoir
quelle surface maximum on peut enfermer avec une lanière de lon-
gueur donnée dont les extrémités sont sur une droite, ici le rivage. Si la
reine Didon donna la bonne réponse, elle ne donna pas la démonstra-
tion, et c’est presque 3000 ans plus tard qu’on démontra qu’elle devait
tracer un demi-cercle (avec le diamètre sur le rivage). C’est un avatar
du

problème isopérimétrique

, qui est de déterminer les relations exis-

tant entre le volume d’un corps dans un espace métrique (par exemple
l’espace euclidien) de dimension

d

et le « volume » (mesuré en dimen-

sion

d

−

1) de son bord : surface et périmètre dans le plan, volume d’un

corps et surface de son bord dans l’espace, etc. Ce problème a joué
un rôle historique important par ses conséquences pratiques et aussi
parce que c’était un problème de calcul des variations bien avant que
celui-ci n’existe.

Dans Homère, on ne mesure pas la taille des villes par leur surface,

mais par leur périmètre : la ville de Troie « fait » 10200 pas. Si on achète
un terrain de tel périmètre, comment s’arranger pour avoir la super-
ficie maximum ? Bien que la solution (le cercle) ait probablement été
connue depuis le cinquième siècle avant Jésus-Christ (au moins sous
la forme qui dit que de tous les polygones à

n

côtés de périmètre donné

c’est le polygone régulier qui enferme la plus grande aire), Proclus (411-
485) mentionne des procès qui opposèrent, au premier siècle de notre
ère, les membres de communautés grecques, qui avaient décidé de par-
tager la terre équitablement en lopins de même périmètre et avaient eu
des surprises au moment de la récolte.

La découverte de la notion d’aire est sans doute un moment ma-

jeur des mathématiques, et cette notion était peut-être considérée à

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

3

l’époque comme la pointe de l’abstraction. Le physicien Sokal, qui se
moque (voir [So1], [So2]) des littéraires qui invoquent des notions de
mathématiques et de physique sans les comprendre comme les pro-
fessionnels, a un devancier illustre en la personne de Platon ; celui-ci
parodie dans

La République

(voir [P], 587d) les émules de Pythagore

qui mettaient des nombres partout. Il donne une démonstration fan-
taisiste du fait que « la mesure de la grandeur (

=

l’aire) de l’image du

plaisir du tyran est un carré parfait »

(1)

; l’aire était peut-être pour Pla-

ton ce que la théorie quantique des champs est pour Sokal.

Je vais maintenant parler de quelque chose de très différent, en

apparence : supposez que vous ayez une boîte K en forme de polygone
convexe, à l’intérieur de laquelle se trouvent des insectes ou bien des
produits chimiques, qui vont s’éloigner de K dans l’environnement, à
partir de tout le contour de ce polygone, à vitesse constante (disons
à la vitesse 1, en choisissant bien les unités) perpendiculairement au
contour. Vous vous posez la question de savoir quelle est la mesure de
la surface contaminée à l’instant

t

, c’est-à-dire la surface obtenue en

prenant tous les points qui sont à une distance du polygone inférieure
à

t

: autrement dit, quelle est l’aire de l’ensemble K

+

t

B

des points

situés à une distance

É

t

de K ?

B

désigne la boule unité, c’est-à-dire ici

le disque unité, puisqu’on est dans le plan. C’est le moment de donner
quelques définitions :

Définition 1.

a

) Un ensemble E

⊂

R

d

est dit

convexe

si pour tous points

x

et

y

dans E, le segment [

x

,

y

] est inclus dans E.

b

) L’enveloppe convexe d’un sous-ensemble E

⊂

R

d

est l’intersec-

tion de tous les sous-ensembles convexes de

R

d

contenant E :

Conv(E)

=

\

C

convexe

C

⊇

E

C.

C’est donc le plus petit convexe contenant E.

Je m’intéresserai surtout à des sous-ensembles convexes compacts

d’intérieur non vide.

Définition 2.

Soient K

1

et K

2

deux sous-ensembles convexes de

R

d

; on

appelle

somme de Minkowski

de K

1

et K

2

et on note K

1

+

K

2

l’ensemble

K

1

+

K

2

=

{

x

1

+

x

2

|

x

1

∈

K

1

,

x

2

∈

K

2

}.

1

Traduction de l’auteur.

4

Bernard Teissier

C’est encore un ensemble convexe. Une translation sur K

1

ou sur

K

2

se traduit par une translation sur K

1

+

K

2

. Dans ce qui suit, on

considérera souvent K

1

, K

2

, K

1

+

K

2

, etc. « à translation près ».

On définit aussi l’homothétique de K de rapport

λ

∈

R

+

par

λ

K

=

{

λ

x

|

x

∈

K}. Une translation sur K se traduit par une translation sur

λ

K.

K

t

Revenons à K

+

t

B

et à son aire. Le dessin montre que si j’appelle S

l’aire de K et L son périmètre, l’ensemble étudié a, pour

t

Ê

0, une aire

égale à

aire(K

+

t

B

)

=

S

+

L

t

+

π

t

2

=

P

K

(

t

) ;

c’est un polynôme de degré 2 en

t

. Cette expression pour l’aire de

K

+

t

B

est en fait valable pour tout sous-ensemble convexe compact

du plan ; à chaque convexe compact K est donc associé un polynôme
de degré 2, P

K

(

t

)

=

S

+

L

t

+

π

t

2

. Le discriminant de ce polynôme est

L

2

−

4

π

S. L’

inégalité isopérimétrique

dans le plan est

L

2

−

4

π

S

Ê

0,

et manifeste une relation fondamentale entre le périmètre et l’aire.
Cette inégalité équivaut à dire que P

K

a des racines réelles. Comme P

K

est un polynôme à coefficients positifs, ses racines sont dans ce cas
négatives, et on doit avoir pour P

K

un graphe de ce type :

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

5

y

 = P

K

(

t

)

t

Le

problème isopérimétrique

dans le plan est de prouver que, pour

n’importe quelle courbe fermée simple assez modérément accidentée
pour avoir une longueur L finie (une courbe rectifiable ; en gros, non
fractale) et enfermant une aire S,

l’inégalité isopérimétrique est valide

,

et surtout que

l’égalité n’a lieu que si la courbe est un cercle

.

Notez que si la courbe est de longueur infinie, l’inégalité est vraie

mais sans intérêt. Notez aussi que l’enveloppe convexe d’un domaine
donné du plan enferme une surface plus grande avec un périmètre
inférieur. Il suffit donc pour résoudre le problème isopérimétrique
plan de considérer des domaines convexes. Ceci est radicalement faux
en dimension

>

2.

Bonnesen

En 1921, Bonnesen [Bo] a démontré l’inégalité

L

2

−

4

π

S

Ê

π

2

(R

−

r

)

2

où

r

est le rayon du plus grand cercle inscrit dans K, et R le rayon du

plus petit cercle circonscrit (contenant K). Cette inégalité est valable
pour n’importe quel compact

convexe

du plan.

6

Bernard Teissier

y

 = P

K

(-

t

)

t

r

R

Ce n’est que plus tard que l’on a démontré un résultat plus fort, à

savoir que que, pour tout compact convexe K du plan, d’aire S et de
périmètre L, le segment [

r

, R] est compris entre les racines de P

K

(

−

t

).

Cela signifie que

L

+

p

L

2

−

4

π

S

2

π

Ê

R

Ê

r

Ê

L

−

p

L

2

−

4

π

S

2

π

et donc

R

−

r

É

p

L

2

−

4

π

S

π

,

ce qui permet en effet de retrouver l’inégalité de Bonnesen :

(R

−

r

)

2

É

L

2

−

4

π

S

π

2

·

(1)

De l’inégalité de Bonnesen, on déduit d’une part que L

2

−

4

π

S

Ê

0,

et d’autre part que

L

2

−

4

π

S

=

0

⇒

R

=

r

⇔

K est un disque

⇒

L

2

−

4

π

S

=

0.

Dans le problème isopérimétrique, il est assez facile de prouver

l’inégalité L

2

−

4

π

S

Ê

0 ; ce qui est vraiment difficile, c’est de montrer

que l’égalité n’a lieu

que

si K est un disque, et c’est justement ce que

permet l’inégalité de Bonnesen.

Cela a été le problème dans toutes les tentatives de solution du pro-

blème isopérimétrique au cours des âges, au temps des Grecs, puis
après l’invention de l’analyse infinitésimale au

XVIII

e

siècle, le pro-

blème n’ayant été résolu complètement que vers 1895, par des mé-
thodes d’analyse bien différentes de la preuve de Bonnesen. Il a donc
fallu environ 2800 ans pour résoudre complètement le problème isopé-
rimétrique dans le plan !

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

7

Une partie des méthodes utilisées pour étudier le problème isopéri-

métrique dans le cas des corps convexes est due à Minkowski, qui était
motivé notamment par des problèmes arithmétiques liés au décompte
des points entiers (

=

à coordonnées entières) contenus dans certains

ensembles convexes de

R

d

; nous allons donc passer un peu en revue

ce qui peut se mesurer dans différents cas de figures (convexes).

Généralisations : volumes mixtes et problèmes de comptage

Trois types de questions

Il y a trois types particulièrement intéressants d’ensembles

convexes compacts dans

R

d

:

– les ensembles lisses ayant une frontière de classe C

∞

, ou du

moins C

2

;

– les polyèdres convexes, ou

polytopes

, qui sont l’enveloppe

convexe (voir la définition 1) d’un nombre fini de points ;

– les polytopes entiers, qui sont les polytopes dont les sommets

sont des points du réseau entier

Z

d

⊂

R

d

.

Nous allons nous poser des questions propres à chacune de ces catégo-
ries :

1) pour les convexes lisses, on s’interrogera sur le volume (la me-

sure (

d

−

1)-dimensionnelle) du bord, et sa courbure ;

2) pour les polyèdres convexes, on entre dans la théorie des com-

plexes cellulaires ou simpliciaux, et le but va être de compter
les faces de toutes dimensions et plus précisément de décrire la
combinatoire des faces (compter les faces de chaque dimension,
savoir quelles faces sont dans le bord d’une autre), ce que l’on
appelle le

type combinatoire

du polytope ;

3) pour les polytopes entiers, on va compter le nombre de points

entiers qu’ils contiennent.

Dans tous les cas, on dispose d’opérations sur les convexes étudiés :
l’addition de Minkowski, l’homothétie (de rapport entier pour les poly-
topes entiers), la projection orthogonale sur un sous-espace, la section
par un sous-espace affine, et l’on espère aussi comprendre le compor-
tement de ce que l’on mesure lorsqu’on effectue ces opérations.

Je vais essayer de parler un peu de ces trois questions. Examinons

d’abord ce qui se passe en dimension 2.

8

Bernard Teissier

Théorème de Minkowski-Steiner

Ce que nous avons vu pour l’aire de K

+

t

B

en dimension 2 est un

cas particulier du théorème suivant :

Théorème 1

(Minkowski-Steiner)

.

Soient

K

1

et

K

2

deux sous-ensembles

convexes compacts de

R

d

; alors pour

λ

1

Ê

0

et

λ

2

Ê

0

,

vol(

λ

1

K

1

+

λ

2

K

2

)

est un polynôme homogène de degré d en

λ

1

,

λ

2

. On l’écrit :

vol(

λ

1

K

1

+

λ

2

K

2

)

=

d

X

i

=

0

Ã

d

i

!

vol(K

[

i

]

1

, K

[

d

−

i

]

2

)

λ

i

1

λ

d

−

i

2

.

Les coefficients

vol(K

[

i

]

1

, K

[

d

−

i

]

2

)

sont appelés volumes mixtes de Min-

kowski. Les exposants entre crochets indiquent le degré d’homogénéité.
On a :

vol(K

[

d

]

1

, K

[0]
2

)

=

vol(K

1

), vol(K

[0]
1

, K

[

d

]

2

)

=

vol(K

2

),

vol((

µ

1

K

1

)

[

i

]

, (

µ

2

K

2

)

[

d

−

i

]

)

=

µ

i

1

µ

d

−

i

2

vol(K

[

i

]

1

, K

[

d

−

i

]

2

).

En fait, ce résultat s’étend à

r

sous-ensembles convexes compacts

K

1

, . . . , K

r

quelconques de

R

d

; pour

λ

1

, . . . ,

λ

r

tous

Ê

0, on a pour

vol(

P

r
i

=

1

λ

i

K

i

) une expression polynomiale en les

λ

i

que l’on peut

écrire :

vol

³

r

X

i

=

1

λ

i

K

i

´

=

X

α

∈

N

r

,

|

α

|=

d

d

!

α

!

vol(K

[

α

1

]

1

, . . . , K

[

α

r

]

r

)

λ

α

1

1

. . .

λ

α

r

r

,

où

α

!

=

α

1

! . . .

α

r

! et

|

α

| =

α

1

+ · · · +

α

r

. Cela définit les volumes mixtes

vol(K

[

α

1

]

1

, . . . , K

[

α

r

]

r

), dont on peut montrer qu’ils sont

Ê

0.

Remarquons l’égalité (exercice de calcul différentiel)

d

×

vol(K

[

d

−

1]

,

B

[1]

)

=

lim

λ

→

0

vol(K

+

λ

B

)

−

vol(K)

λ

=

vol(

∂

K),

qui signifie que le quotient par

d

du volume (

d

−

1)-dimensionel du

bord d’un convexe est le premier volume mixte avec la boule unité
après le volume lui-même.

Inégalité isopérimétrique généralisée et formule de Pick (dimen-
sion 2)

Dans le cas particulier où K

⊂

R

2

, on a vol(

∂

K)

=

L (le périmètre) et

on retrouve

vol(K

+

λ

B

)

=

vol(K)

+

L

λ

+

πλ

2

.

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

9

K

λ

Toujours en dimension 2, au lieu de prendre un convexe et la boule

unité, on peut prendre deux convexes compacts quelconques :

vol(

λ

1

K

1

+

λ

2

K

2

)

=

v

0

λ

2
1

+

2

v

1

λ

1

λ

2

+

v

2

λ

2
2

où

v

0

=

vol(K

1

) et

v

2

=

vol(K

2

). Il reste vrai que

v

2

1

−

v

0

v

2

Ê

0 et que si

r

=

sup{

t

|

t

K

2

⊆

K

1

à translation près}

et

R

=

inf{

t

|

t

K

2

⊇

K

1

à translation près},

alors

r

Ê

v

1

−

q

v

2

1

−

v

0

v

2

v

2

et R

É

v

1

+

q

v

2

1

−

v

0

v

2

v

2

,

d’où

1

4

(R

−

r

)

2

v

2

2

É

v

2

1

−

v

0

v

2

.

Donc les phénomènes que nous avions observés pour un convexe K et
la boule

B

restent vrais pour deux convexes compacts quelconques du

plan (voir [Fl] et [Te1]).

Comptage

Regardons maintenant le deuxième problème évoqué tout à

l’heure : en dimension 2, compter les faces pour un polygone convexe
est vite fait. Soient

f

0

le nombre de sommets et

f

1

le nombre d’arêtes.

(

f

0

,

f

1

) correspond à un nombre de sommets et d’arêtes d’un polygone

convexe si et seulement si

f

1

−

f

0

=

0.

En revanche, compter le nombre de points entiers, même en di-

mension 2, est un problème beaucoup moins évident.

Notons tout de suite que

l’application qui à un convexe de

R

d

associe le nombre de points du réseau entier

Z

d

qu’il contient est une

10

Bernard Teissier

valuation à valeurs entières, invariante par les translations par des
éléments du réseau.

Nous verrons plus bas des résultats valables lorsque le convexe est

un polytope à sommets entiers.

Voici le résultat principal en dimension

(2)

2 :

Théorème 2.

(Formule de Pick [Pic], 1899)

Soit

P

un polygone plan

convexe à sommets entiers. Alors

#(P

∩

Z

2

)

=

S(P)

+

1

2

#(

∂

P

∩

Z

2

)

+

1

où

S(P)

est l’aire de

P

et

∂

P

sa frontière.

Cette formule se généralise à peu près à n’importe quel polygone

à sommets entiers (pas nécessairement convexe). Dès la dimension 3,
le décompte des points entiers dans les polytopes entiers devient bien
plus subtil ; nous en parlerons plus bas.

Retenons que lorsque

d

=

2, les trois types de questions que nous

avons évoquées ont des réponses précises, connues depuis une cen-
taine d’années.

Les volumes mixtes en dimension

d

. Formules de Crofton

et de Cauchy. Inégalités de Alexandrov-Fenchel et théorème

d’Hadwiger

Formules de Crofton et de Cauchy

Je reviens au problème 1, mais désormais en dimension supé-

rieure :

d

Ê

2. Il va toujours s’agir de comprendre la nature de ces

volumes mixtes. Mon but, dans cet exposé, est de vous montrer, avec
un certain nombre de digressions, des faits que je trouve jolis concer-
nant la géométrie des convexes, mais qui se généralisent le plus sou-
vent à une classe beaucoup plus vaste que celle des convexes. Mon pre-
mier exemple est dû essentiellement à Crofton ([Cro], 1868). Pour com-
prendre le rôle du périmètre en dimension 2, on va le considérer d’une
manière différente. Introduisons la grassmanienne affine Graff(

d

,

k

),

qui est l’ensemble des sous-espaces affines de dimension

k

de

R

d

. Cet

2

On trouvera une preuve très courte de la formule de Pick dans [Fun], utilisant la

caractéristique d’Euler-Poincaré, et une preuve très amusante dans [DiRo], utilisant la

formule des résidus et la fonction

℘

de Weierstrass. (N.d.R.)

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

11

ensemble est muni d’une structure de variété différentielle, dont voici
une description.

Un espace affine A

k

de dimension

k

peut se repérer de la façon sui-

vante : on se donne un espace vectoriel V

k

parallèle à A

k

(passant par

l’origine) et un point de l’orthogonal de V

k

. Ceci détermine complète-

ment un espace affine. La grassmanienne affine Graff(

d

,

k

) est donc

un fibré en espaces vectoriels de dimension (

d

−

k

) sur la grassma-

nienne Grass(

d

,

k

) des sous-espaces vectoriels de dimension

k

, qui est

une variété. Observons que le groupe des déplacements de

R

d

agit sur

Graff(

d

,

k

) en déplaçant les sous-espaces affines de dimension

k

. On a

alors le théorème suivant :

Théorème 3.

Il existe sur

Graff(

d

,

k

)

une mesure invariante par le

groupe des déplacements ; elle est unique à un facteur constant près.

On va maintenant se poser le problème de comprendre cette me-

sure. Son existence signifie que si je me donne dans le plan un pa-
quet de droites affines, suffisamment régulier pour former un sous-
ensemble mesurable, alors je peux lui attribuer une mesure, et que si je
fais bouger ce paquet par un déplacement, la mesure ne changera pas.
Soit maintenant L un segment de

R

2

de longueur

l

. On définit :

W(L)

=

{A

1

⊂

Graff(2, 1)

|

A

1

∩

L

6= ;

}.

C’est l’ensemble des droites affines qui rencontrent L. Soit Z(L) la
mesure de W(L). (Pour être tout à fait correct, il faudrait montrer que
cet ensemble est mesurable : c’est très facile puisque dans chaque carte
de Graff(2, 1) il est défini par des inégalités linéaires ; je l’admettrai
ici). L’invariance de la mesure implique que je peux déplacer L sans
changer Z(L), donc Z(L) est en fait une fonction qui ne dépend que
de la longueur

l

de L ; notons cette fonction

f

(

l

). Remarquons que si

nous notons N(L ;

`

) le nombre des points d’intersection d’une droite

`

du plan avec le segment L (c’est une fonction de

`

∈

Graff(2, 1) qui

vaut 0 ou 1 en dehors du sous-ensemble de Graff(2, 1) réduit au point
correspondant à la droite

`

contenant L), on a

Z(L)

=

Z

Graff(2,1)

N(L ;

`

)

d

`

,

où

d

`

dénote provisoirement la mesure invariante sur Graff(2, 1) que

nous considérons. Si maintenant je fabrique une ligne brisée en conca-
ténant des segments : L

1

∪

L

2

∪ · · · ∪

L

p

, alors avec l’extension évidente

12

Bernard Teissier

de la signification de N(L ;

`

), je peux intégrer

Z

Graff(2,1)

N(L

1

∪

L

2

∪ · · · ∪

L

p

;

`

)

d

`

=

f

(

l

1

+ · · · +

l

p

)

=

f

(

l

1

)

+ · · · +

f

(

l

p

) :

il y a additivité. Je n’ai utilisé que le fait que j’ai une mesure invariante
pour m’assurer que le résultat ne dépend que de la longueur des seg-
ments et pas de leur position, et le fait que, hors d’un ensemble de me-
sure nulle, le nombre des points d’intersection de

`

avec une réunion

de segments est la somme des nombres de points d’intersection avec
chacun d’eux. Cela démontre que

f

(

r l

)

=

r f

(

l

),

∀

r

∈

Q

+

.

Par ailleurs, cette fonction

f

est évidemment croissante. La fonction

f

(

l

) est

linéaire sur les rationnels

et

croissante

donc, grâce par exemple

à la notion de coupure de Dedekind, on voit qu’elle est linéaire partout,
i.e.

f

(

l

)

=

α

l

pour un certain

α

∈

R

∗

+

.

Donc je connais à une constante multiplicative près la moyenne des
nombres d’intersection des droites affines avec une ligne brisée, et
cette moyenne ne dépend que de la longueur. Je peux maintenant
approximer une courbe rectifiable quelconque par des lignes brisées.
Par un passage à la limite parfaitement standard

Z

Graff(2,1)

N(C ;

`

)

d

`

=

α

l

(C)

où C est une courbe rectifiable,

α

une constante,

l

(C) la longueur de C

et N(C ;

`

)

=

#(C

∩

`

). C’est la

formule de Crofton

: le nombre moyen

des points d’intersection de droites avec une courbe donnée est, à
une constante multiplicative près, la longueur de cette courbe. Comme
nous le verrons plus bas, cette formule est valable en toute dimension

d

: le nombre moyen d’intersections d’une droite avec le bord

∂

K d’un

compact convexe K donné de

R

d

est proportionnel au volume (

d

−

1)-

dimensionnel de

∂

K. Des techniques peu éloignées de la formule de

Crofton permettent par exemple d’estimer la mesure de la surface des
poumons d’un être humain : à partir de coupes aléatoires numéri-
sées du poumon, on demande à l’ordinateur de jeter dans le plan des
droites aléatoires et de compter le nombre des points d’intersection.
Des méthodes analogues permettent de mesurer la taille moyenne des

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

13

pores des roches des gisements pétroliers, qui est un facteur important
pour l’extraction.

Le type de raisonnement par lequel on vient d’établir la formule

de Crofton est analogue à celui par lequel Barbier [Ba], en 1860, avait
redémontré la formule de l’aiguille de Buffon : on se donne dans le plan
un réseau de droites parallèles équidistantes, de pas

δ

, on lance une

aiguille de longueur

l

et on se demande quelle est la probabilité pour

que l’aiguille touche une des droites. Pour n’importe quelle courbe
rectifiable C, si on note

p

n

la probabilité que C rencontre

n

droites

du réseau,

l’espérance mathématique du nombre de droites intersectées

,

c’est-à-dire E(C)

=

P

np

n

,

est proportionnelle à la longueur de

C. Pour

le montrer, on commence avec une aiguille (un segment), puis on fait
exactement le même raisonnement que précédemment : on montre
que c’est additif et par passage à la limite, on montre qu’on peut
considérer n’importe quelle courbe. On a donc

E(C)

=

α

l

(C).

Si C est un cercle de diamètre

δ

, il est facile de voir que E(C)

=

2. On a

donc 2

=

απδ

, d’où

α

=

2

πδ

. Par conséquent, E(aiguille)

=

2

l

πδ

.

Revenons à présent à l’interprétation du volume mixte, qui va four-

nir une généralisation de la formule de Crofton. Fixons une notation
pour le volume de la boule unité de l’espace euclidien de dimension

d

:

vol(

B

d

)

=

χ

d

=

π

d

/2

Γ

(1

+

d

/2)

·

On définit le

j

-ième volume mixte intrinsèque V

j

(K) du convexe K

⊂

R

d

par

χ

j

V

j

(K)

=

Ã

d

j

!

vol(K

[

j

]

,

B

[

d

−

j

]

).

L’avantage est que ce volume ne dépend pas du plongement de notre
espace affine. Je vais maintenant donner la généralisation de la for-
mule de Crofton pour les convexes :

Z

Graff(

d

,

k

)

V

j

(K

∩

E)

d

µ

k

(E)

=

α

d

,

j

,

k

V

d

+

j

−

k

(K)

où

d

µ

k

est « la » mesure invariante sur Graff(

d

,

k

), unique à une

14

Bernard Teissier

constante multiplicative près (les constantes

α

d

,

j

,

k

dépendent évidem-

ment de la normalisation choisie) et

α

d

,

j

,

k

=

¡

k

j

¢

χ

k

χ

n

+

j

−

k

¡

d

k

−

j

¢

χ

j

χ

d

=

Γ

¡

k

+

1

2

¢

Γ

¡

d

+

j

−

k

+

1

2

¢

Γ

¡

j

+

1

2

¢

Γ

¡

d

+

1

2

¢

·

Pour

j

=

k

−

1, on a

Z

Graff(

d

,

k

)

V

k

−

1

(K

∩

E)

d

µ

k

(E)

=

C(

d

,

k

)V

d

−

1

(K),

et on retrouve (pour

k

=

1) la formule de Crofton. Ici et plus bas C(

d

,

k

)

désigne la constante appropriée, combinaison de coefficients bino-
miaux et de

χ

j

, ne dépendant que de la dimension et du ou des in-

dices apparaissant dans la formule. Cette formule de Crofton généra-
lisée permet de faire des récurrences sur la dimension. Il faut retenir
de ce qui précède que les volumes mixtes se calculent en prenant des
moyennes de volumes sur les

sections

(point de vue de Crofton). De

même, je vais vous montrer que les volumes mixtes se calculent en
prenant des moyennes de volumes sur les

projections

(point de vue de

Cauchy) : je prends des directions L

∈

Grass(

d

,

d

−

i

) et je projette

R

d

sur

R

i

parallèlement à la direction L :

R

d

←

-

K

π

L

↓

↓

R

i

←

- π

L

(K)

Alors

V

i

(K)

=

C(

d

,

i

)

Z

Grass(

d

,

d

−

i

)

vol

i

(

π

L

(K))

d

µ

(L).

Le

i

-ième volume mixte est la moyenne des volumes

i

-dimensionnels

de projections sur les espaces de dimension

i

. Cette formule généralise

une

formule de Cauchy

(pour

i

=

d

−

1) ([Cau], 1832, publiée en 1850),

qui est souvent associée à la formule de Crofton, à laquelle elle est
d’ailleurs antérieure. Les deux formules sont reliées par le fait que
pour

i

=

d

−

1 le volume de la projection de K sur l’hyperplan

π

L

(

R

d

)

est proportionnel au volume de l’ensemble des droites parallèles à la
direction de projection L qui rencontrent K. Il suffit ensuite d’intégrer
sur l’espace des directions de projection.

Il y a une troisième interprétation, qui est l’une des plus intéres-

santes : si on suppose que

∂

K est de classe C

∞

, la géométrie rieman-

nienne permet de définir

d

−

1 fonctions C

∞

à valeurs réelles sur

∂

K,

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

15

les

courbures principales

:

κ

1

, . . . ,

κ

d

−

1

, avec

κ

j

=

1

ρ

j

où

ρ

j

est un rayon

de courbure principal. Pour

d

=

3 les deux rayons de courbure princi-

paux en un point

x

∈

∂

K sont les extrema des rayons de courbure en

x

des courbes planes

∂

K

∩

H lorsque H parcourt les 2-plans passant par

x

et contenant le vecteur normal à

∂

K en

x

. Alors pour 0

É

i

É

d

−

1 on a

V

i

(K)

=

Z

∂

K

N

d

−

1

−

i

(

x

)

d

S

où N

d

−

1

−

i

(

x

) est la fonction symétrique élémentaire normalisée de

degré

d

−

1

−

i

des courbures principales en

x

et

d

S désigne la mesure

(

d

−

1)-dimensionnelle sur le bord.

En dimension 3, le théorème de Minkowski-Steiner dit donc que

vol(K

+

t

B

)

=

vol(K)

+

vol(

∂

K)

t

+

M

t

2

+

vol(

B

)

t

3

où vol(

∂

K)

=

R

∂

K

d

S, correspondant à la fonction symétrique de cour-

bure de degré 0 qui est constante égale à 1, et où

M

=

C(3, 1)

Z

∂

K

1

2

µ

1

ρ

1

(

x

)

+

1

ρ

2

(

x

)

¶

d

S

est l’intégrale de la

courbure moyenne

,

ρ

1

(

x

) et

ρ

2

(

x

) étant les rayons de

courbure principaux en un point

x

du bord

∂

K, et où

vol(

B

)

=

C(3, 0)

Z

∂

K

1

ρ

1

(

x

)

ρ

2

(

x

)

d

S

est l’intégrale de la

courbure de Gauss

. D’après la formule de Gauss-

Bonnet le second membre est, à la constante multiplicative de norma-
lisation près, la caractéristique d’Euler-Poincaré de

∂

K (qui est bien

indépendante du convexe K

⊂

R

d

puisque

∂

K est homéomorphe à la

sphère

S

d

−

1

).

Inégalités entre les volumes mixtes

Jusqu’à présent, nous avons essayé de comprendre la nature des

coefficients du polynôme vol(K

+

t

B

) ou vol(K

1

+

t

K

2

). Maintenant, je

vais en venir aux propriétés qui lient ces coefficients entre eux. Par
exemple, nous avons vu qu’en dimension 2 les racines de ce polynôme
sont réelles. Peut-on l’espérer en dimension 3 ?

Revenons donc aux volumes mixtes : soient K

1

et K

2

deux convexes

compacts de

R

d

et

w

i

=

vol(K

[

i

]

1

, K

[

d

−

i

]

2

). Le principal résultat compa-

rant les

w

i

, dont nous avons vu qu’ils sont tous

Ê

0, est le suivant :

16

Bernard Teissier

Théorème 4

(Inégalités de Alexandrov-Fenchel, [Al1], [Fen])

.

a

)

On a

pour

1

É

i

É

d

−

1

les inégalités

w

2

i

Ê

w

i

+

1

w

i

−

1

,

autrement dit :

w

d

w

d

−

1

É

w

d

−

1

w

d

−

2

É · · · É

w

1

w

0

·

b

)

Si tous les quotients précédents sont égaux, disons à

λ

, alors

K

1

=

λ

K

2

à translation près et réciproquement. En particulier

K

1

=

K

2

à

translation près si et seulement si w

0

=

w

1

· · · =

w

d

.

On fait la remarque suivante :

µ

w

d

w

d

−

1

¶

d

−

1

É

w

d

−

1

w

d

−

2

× · · · ×

w

1

w

0

=

w

d

−

1

w

0

donc

w

d

d

−

1

Ê

w

d

−

1

d

w

0

.

Prenons le cas particulier où K

2

=

B

. Nous avons vu que

w

d

−

1

=

vol(

∂

K)

d

·

Cela donne

vol(

∂

K)

d

Ê

d

d

vol(K)

d

−

1

vol(

B

).

C’est

l’inégalité isopérimétrique

en dimension

d

. Pour

d

=

2, on re-

trouve L

2

−

4

π

S

Ê

0.

Nous avons déjà vu que la partie difficile est de prouver qu’on ne

peut avoir égalité que si le convexe est une boule. Ici aussi, la démons-
tration de la partie

b

) de l’énoncé est délicate. Mais une fois ce résultat

obtenu, on peut utiliser le fait que notre inégalité isopérimétrique a
été obtenue en télescopant les inégalités entre les quotients

w

j

w

j

−

1

: il

en résulte que pour un convexe,

il ne peut y avoir égalité dans l’inéga-

lité isopérimétrique que si tous les quotients sont égaux

. Comme nous

l’avons vu, cela implique que K est un homothétique de la boule unité
à translation près, donc est une boule.

Considérons l’ensemble

K

d

de tous les convexes compacts de

R

d

.

On peut munir

K

d

d’une métrique (dite

de Hausdorff

) qui est définie

de la façon suivante : pour K

1

et K

2

dans

K

d

, on pose

δ

(K

1

, K

2

)

=

min{

ε

|

K

1

⊂

K

2

+

ε

B

et K

2

⊂

K

1

+

ε

B

}.

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

17

Cette métrique définit une topologie pour laquelle tous les objets que
j’ai définis sont continus. En particulier, l’application

(K

1

, K

2

)

7→

vol(K

[

i

]

1

, K

[

d

−

i

]

2

)

=

w

i

est continue. Un des ingrédients de la démonstration consiste à mon-
trer que n’importe quel convexe compact peut être approximé par des
polyèdres pour cette topologie.

La collection des volumes mixtes définit une application

Φ

:

K

d

×

K

d

−→

R

d

+

1

(K

1

, K

2

)

7→

(

w

0

, . . . ,

w

d

)

qui est continue pour la topologie de Hausdorff.

Si l’on s’intéresse aux compacts à translation près, cela signifie

que l’on considère l’ensemble

K

d

=

K

d

/

≡

quotient de

K

d

par la

relation d’équivalence «

≡

» correspondant à l’égalité à translation près.

La topologie de Hausdorff induit sur

K

d

une topologie quotient et

l’application

Φ

passe au quotient, définissant une application

Φ

.

L’espace

K

d

est de dimension infinie. Si l’on cherche des équa-

tions pour la diagonale de

K

d

×

K

d

, qui est de codimension infinie,

on s’aperçoit qu’elle est égale à

Φ

−

1

(

∆

), où

∆

:

w

0

= · · · =

w

d

est la mul-

tidiagonale de

R

d

+

1

. Autrement dit, on a réussi à définir un espace de

codimension

infinie

par un nombre

fini

d’égalités.

La démonstration du cas d’égalité dans le théorème de Alexandrov-

Fenchel est essentiellement due à Alexandrov, en 1937, par des mé-
thodes analytiques très jolies, dont la vraie nature est explicitée dans
[Gr].

Mentionnons pour terminer que l’image de l’application

K

d

×

K

d

→

R

d

+

1

déterminée par (K

1

, K

2

)

7→

(

w

i

(K

1

, K

2

))

0

É

i

É

d

est ef-

fectivement décrite par les inégalités

w

i

Ê

0,

w

2

i

Ê

w

i

+

1

w

i

−

1

. Cela ne si-

gnifie pas que l’on sache caractériser par des équations l’image de l’ap-
plication

K

d

→

R

d

+

1

déterminée par les volumes mixtes d’un convexe

avec la boule unité.

Si les polynômes vol(K

1

+

t

K

2

) avaient toujours toutes leurs racines

réelles, cela impliquerait les inégalités d’Alexandrov-Fenchel selon un
exercice classique, mais il n’en est rien, et les contre-exemples existent
dès la dimension 3. Il n’est même pas vrai que les parties réelles des
racines soient négatives en général (voir [Te1]).

18

Bernard Teissier

Valuations et volumes mixtes

Je voudrais maintenant vous donner une autre propriété de ces

volumes mixtes. Une question très naturelle consiste à se demander
si l’on peut caractériser toutes les applications

v

:

K

d

→

R

ayant les

propriétés suivantes :

1)

v

est additive au sens suivant : si K

1

∪

K

2

est convexe, on a

v

(K

1

∪

K

2

)

=

v

(K

1

)

+

v

(K

2

)

−

v

(K

1

∩

K

2

)

2)

v

est invariante par déplacements.

3)

v

est continue pour la topologie de Hausdorff.

Une telle application est ce qu’on appelle une

valuation

continue

et invariante par déplacements sur l’ensemble des convexes.

La question est : peut-on caractériser le volume par les propriétés

1, 2 et 3 ? La réponse est non car, par exemple, le volume du bord, ou
n’importe quel volume mixte

w

i

avec la boule :

w

i

:

K

d

→

R

;

K

7→

vol(K

[

i

]

,

B

[

d

−

i

]

)

a les mêmes propriétés. Mais on a le théorème fondamental suivant :

Théorème 5

(Hadwiger, 1948)

.

Si v vérifie les conditions 1), 2) et 3),

alors il existe des constantes c

0

, . . . ,

c

d

telles que

v

(K)

=

d

X

i

=

0

c

i

w

i

(K)

où w

i

(K)

=

vol(K

[

i

]

,

B

[

d

−

i

]

)

.

Autrement dit, l’espace de ces fonctionnelles est un espace vecto-

riel de dimension finie, engendré par les volumes mixtes avec la boule
unité.

On peut étendre la définition des volumes mixtes à une classe de

sous-ensembles bien plus grande que celle des convexes compacts :
celle des

polyconvexes

, c’est-à-dire des sous-ensembles de

R

d

qui sont

des réunions finies de sous-ensembles convexes compacts.

En effet, toute valuation définie sur une classe

C

de sous-ensem-

bles de

R

d

qui est stable par intersection, comme celle des convexes

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

19

compacts, s’étend en une valuation de la classe Poly

C

des réunions

finies d’éléments de

C

au moyen de la

formule d’inclusion-exclusion

:

v

(K

1

∪ · · · ∪

K

n

)

=

X

i

v

(K

i

)

−

X

i

<

j

v

(K

i

∩

K

j

)

+

X

i

<

j

<

k

v

(K

i

∩

K

j

∩

K

k

)

− · · ·

dont l’égalité de définition des valuations donne le cas

n

=

2.

La valuation constante égale à 1 sur les convexes, dont l’intérêt

semble au premier abord limité, s’étend sur les polyconvexes en la ca-
ractéristique d’Euler-Poincaré, ce qui donne de cette dernière une dé-
finition sans triangulation dans ce cadre. Le volume s’étend bien sûr
en volume, et les volumes mixtes donnent sur les polyconvexes de
nouvelles valuations qui sont intermédiaires entre la caractéristique
d’Euler-Poincaré, purement topologique, et le volume. Le théorème
d’Hadwiger s’étend immédiatement aux valuations sur les polycon-
vexes.

Une propriété fondamentale des volumes mixtes d’un corps

convexe avec la boule unité est qu’ils sont invariants par déplacement,
et en particulier par rotation, ce qui résulte bien sûr du fait que la boule
possède cette invariance. Si l’on s’intéresse seulement à l’invariance
par translation, on voit tout de suite que la situation devient bien plus
compliquée : il n’y a plus de convexe privilégié comme la boule et on
peut construire beaucoup de fonctionnelles invariantes par translation
et continues sur l’espace des corps convexes.

Ainsi, soit

A

=

(A

1

, . . . , A

d

) une famille de

d

corps convexes de

R

d

.

On peut lui associer les fonctionnelles suivantes (volumes mixtes, voir
le théorème 1) sur

K

d

: pour 0

É

i

É

d

, on définit

w

A

i

(K)

=

vol(K, K, . . . , K, A

i

+

1

, . . . , A

d

),

où K apparaît

i

fois. Remarquons que ces fonctionnelles sont des valua-

tions sur

K

d

qui sont continues et invariantes par translation. Cette

famille de valuations contient tous les volumes mixtes avec la boule
unité.

On peut mettre sur l’espace des valuations à valeurs réelles ou com-

plexes qui sont continues et invariantes par translation une structure
d’espace vectoriel topologique de Fréchet, au moyen de la collection
suivante de semi-normes : pour chaque entier N, définissons la semi-
norme

k

v

k

N

=

sup

K

⊂

N

B

d

|

v

(K)

|

.

20

Bernard Teissier

Le supremum existe parce que les sous-ensembles convexes compacts
d’une boule forment un ensemble compact de

K

d

pour la topologie

de Hausdorff, et parce que la valuation

v

est supposée continue.

McMullen avait fait la conjecture suivante :

Conjecture de McMullen-Théorème d’Alesker.

L’espace vectoriel en-

gendré par les fonctionnelles w

A

i

(K)

est dense dans l’espace vectoriel

topologique des valuations continues et invariantes par translation
de

K

d

.

La récente démonstration d’Alesker (voir [A1]) fait intervenir de

nouvelles techniques, dont voici une idée.

Tout d’abord il faut rappeler un théorème de McMullen.
Disons qu’une valuation est

homogène de degré i

si pour tout K

∈

K

d

et tout réel

λ

Ê

0 on a

v

(

λ

K)

=

λ

i

v

(K).

Théorème 6

(McMullen)

.

Toute valuation de

K

d

continue et inva-

riante par translation peut s’écrire de manière unique comme somme
de valuations homogènes :

v

=

d

X

i

=

0

v

i

,

où v

i

est homogène de degré i .

Remarquons que si

v

est en fait invariante par déplacement, cela

résulte aussitôt du théorème d’Hadwiger.

On sait grâce à Hadwiger ([Had]) que l’espace des valuations conti-

nues invariantes par translation et de degré 0 est de dimension 1 et en-
gendré par la caractéristique d’Euler-Poincaré et que l’espace de celles
de degré

d

est de dimension 1 et engendré par la mesure de Lebesgue

(le volume). De plus toute valuation continue et invariante par transla-

tion de

K

d

peut s’écrire comme somme d’une valuation paire vérifiant

v

(

−

K)

=

v

(K) et d’une valuation impaire, vérifiant

v

(

−

K)

= −

v

(K).

Il existe une représentation naturelle du groupe GL(

d

,

R

) des au-

tomorphismes linéaires de

R

d

dans l’espace vectoriel Val

trans

(

K

d

)

des valuations continues et invariantes par translation : c’est l’homo-
morphisme (continu) qui à

g

∈

GL(

d

,

R

) fait correspondre l’automor-

phisme

v

7→

π

(

g

).

v

de Val

trans

(

K

d

), où (

π

(

g

).

v

)(K)

=

v

(

g

−

1

(K)). Il est

clair que cette représentation respecte le degré d’homogénéité et la pa-
rité.

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

21

De plus, comme les éléments de GL(

d

,

R

) agissent sur les volumes

mixtes par multiplication par une puissance du déterminant et chan-
gement de la famille

A

en

g

−

1

(

A

), cette représentation laisse globale-

ment stable le sous-espace vectoriel de Val

trans

(

K

d

) engendré par les

volumes mixtes.

Théorème 7

(Alesker)

.

Pour chaque entier i tel que

0

É

i

É

d , la repré-

sentation naturelle de

GL(

d

,

R

)

sur l’espace vectoriel

Val

i

,even

trans

(

K

d

) (

resp.

Val

i

,odd

trans

(

K

d

))

des valuations de

Val

trans

(

K

d

)

qui sont homogènes de de-

gré i et paires

(

resp. impaires

)

est irréductible.

Le fait que la représentation soit irréductible implique que tout

sous-espace fermé de Val

i

,

∗

trans

(

K

d

) qui est invariant est soit 0 soit

Val

i

,

∗

trans

(

K

d

) tout entier. Il en résulte aussitôt que l’adhérence de l’es-

pace vectoriel engendré par les combinaisons linéaires de volumes
mixtes de degré

i

qui sont paires (resp. impaires) est tout l’espace des

valuations homogènes de degré

i

qui sont paires (resp. impaires). En ef-

fet des combinaisons linéaires du type vol(K

[

i

]

,

B

[

d

−

i

]

)

±

vol(

±

K

[

i

]

,

B

[

d

−

i

]

)

donnent des combinaisons paires et impaires de volumes mixtes de
tous les degrés d’homogénéité et les espaces invariants ne sont donc
pas nuls. Au vu du théorème 6 cela prouve la conjecture de McMullen.

Une originalité de la preuve d’Alesker est d’introduire dans le sujet

des méthodes raffinées de théorie des représentations des groupes
algébriques ; il a obtenu par cette approche bien d’autres résultats (voir
[A2]) qui sortent du cadre de cet exposé.

Nombres de faces d’un polytope simplicial dans

R

d

.

Équations de Dehn-Sommerville

Je vais maintenant parler un instant des deux autres problèmes que

j’avais évoqués, à savoir : compter le nombre de faces, et compter les
points entiers ; ce sont des domaines qui ont aussi beaucoup progressé
ces vingt dernières années.

Un

simplexe

de dimension

i

est l’enveloppe convexe de

i

+

1 points

dans

R

d

non situés dans un hyperplan affine. Chacune de ses faces de

dimension

i

−

1 est aussi un simplexe et a exactement

i

sommets.

Je m’intéresse donc maintenant aux polyèdres convexes simpli-

ciaux, c’est-à-dire que je ne regarde que ceux dont les faces sont des

22

Bernard Teissier

simplexes. En dimension 3, ce sont des objets dont les faces sont des
triangles.

Il existe une notion duale : un polytope de

R

d

est

simple

si chaque

sommet est contenu dans exactement

d

faces de dimension

d

−

1.

On appelle

f

i

le nombre de faces de dimension

i

(

i

=

0, . . . ,

d

). On

connaît la relation suivante :

f

0

−

f

1

+ · · · +

(

−

1)

d

−

1

=

1

+

(

−

1)

d

−

1

(caractéristique d’Euler-Poincaré). On introduit pour 0

É

i

É

d

les

fonctions auxiliaires

h

i

=

i

X

j

=

0

Ã

d

−

j

d

−

i

!

(

−

1)

i

−

j

f

j

.

(2)

La donnée des

h

i

permet de retrouver les

f

i

, et réciproquement.

On a le résultat suivant, qui date des années 1930 (voir [Gru]) :

Théorème 8

(Équations de Dehn-Sommerville)

.

Pour un polytope sim-

plicial, on a h

i

=

h

d

−

i

.

Ces relations engendrent toutes les relations linéaires entre les

f

i

.

Mais il existe aussi des relations non linéaires ; pour les décrire, on uti-
lise la construction suivante, qui trouve son origine dans la caractéri-
sation par Macaulay des fonctions de Hilbert des algèbres graduées de
dimension finie engendrées par leurs éléments de degré un.

Soient

g

et

i

deux entiers positifs ; il existe des entiers

n

i

>

n

i

−

1

>

· · · >

n

j

Ê

j

Ê

1 uniquement déterminés par la condition qu’en outre

on puisse écrire

g

=

µ

n

i

i

¶

+

µ

n

i

−

1

i

−

1

¶

+ · · · +

µ

n

j

j

¶

.

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

23

On pose alors

g

<

i

>

=

µ

n

i

+

1

i

+

1

¶

+

µ

n

i

−

1

+

1

i

¶

+ · · · +

µ

n

j

+

1

j

+

1

¶

.

On dit qu’une suite d’entiers g

0

, . . . ,

g

s

est une M-suite si g

0

=

1

et si elle

satisfait pour tout i tel que

0

É

i

É

s

−

1

, l’inégalité

0

É

g

i

+

1

É

g

<

i

>

i

.

Le nom de M-suite (M comme Macaulay) vient du fait que Macau-

lay a démontré le théorème suivant :

Théorème 9

(Macaulay, voir [B-H], Chap. 4.)

.

Une suite

(

g

0

,

g

1

,

g

2

. . .)

d’entiers positifs ou nuls est une

M

-suite si et seulement si il existe une

algèbre commutative graduée

R

=

R

0

⊕

R

1

⊕

R

2

⊕ · · ·

sur un corps k telle que

R

0

=

k, que la k-algèbre

R

soit engendrée par des

éléments de degré

1

et que pour tout i

Ê

0

on ait

g

i

=

dim

k

R

i

.

J’espère que vous trouverez surprenant le théorème suivant :

Théorème 10.

f

=

(

f

j

)

0

É

j

É

d

est la suite des nombres des faces de chaque

dimension d’un polytope simplicial si et seulement si la suite

(

h

j

)

0

É

j

É

d

qui lui est associée par les équations

(2)

satisfait les équations de Dehn-

Sommerville et si de plus la suite

(

h

0

,

h

1

−

h

0

, . . . ,

h

[

d

2

]

−

h

[

d

2

]

−

1

)

est une

M

-suite.

Ce théorème avait été conjecturé par McMullen [Mc1] en 1971 ;

Stanley [Sta] a prouvé la nécessité en 1980, Billera et Lee ([Bi-L1],
[Bi-L2]) ont prouvé la suffisance en 1980-1981.

Le problème du comptage des points entiers en

dimension

d

. Polynôme d’Ehrhart

Je vais maintenant dire un mot du décompte des points. On avait la

formule de Pick en dimension 2, en a-t-on une en dimension

d

? Nous

allons voir que oui. On considère un polytope entier P. Ehrhart, un ma-
thématicien enseignant dans le secondaire, a démontré le théorème
suivant :

24

Bernard Teissier

Théorème 11

(E. Ehrhart [Ehr], 1967)

.

Soit

P

un polytope entier. Pour n

entier

>

0

, on a :

#(

n

P

∩

Z

d

)

=

E

p

(

n

)

où

E

p

(

n

)

est un polynôme de degré d à coefficients rationnels et

E

p

(

−

n

)

=

(

−

1)

dim P

#(

n

◦

P

∩

Z

d

)

où

◦

P

est l’intérieur de

P

.

Il est facile de voir que le terme dominant de E

p

(

n

) est vol(P)

n

d

.

Posons E

p

(

n

)

=

a

d

n

d

+· · ·+

a

0

, où les

a

i

dépendent de P. En 1997, Brion

et Vergne [Bri-V] ont montré comment calculer les

a

i

à partir de P. On

obtient notamment

a

d

−

1

=

1

2

vol

d

−

1

(

∂

P),

(3)

où vol

d

−

1

est le

volume normalisé

, défini de la façon suivante : le bord

du polytope P est constitué de faces, qui sont dans des plans ration-
nels, lesquels rencontrent le réseau entier selon des sous-réseaux ; je
normalise le volume dans le plan de façon à ce que le volume de la
maille du sous-réseau soit 1. En dimension 2, (3) redonne la formule
de Pick. Donc on a en partie généralisé cette dernière.

Liens avec la géométrie algébrique

Au cours des 20 dernières années on a découvert que la théorie des

polytopes entiers avait des liens très étroits avec la géométrie des va-
riétés algébriques. En fait on peut associer à chaque collection finie
de polytopes entiers de

R

d

une variété algébrique (disons complexe)

de dimension

d

d’un type très particulier (variété torique) munie d’au-

tant de plongements dans des espaces projectifs qu’il y a de polytopes.
Si l’on regarde un seul polytope, il existe une telle variété algébrique

« minimale », qui est en général singulière mais n’a que des singula-

rités sans conséquences graves sur la cohomologie dans le cas où le
polytope est simple. Inversement cette donnée détermine entièrement
les polytopes. Cela établit un dictionnaire dans lequel les nombres de
faces des polytopes simples ou simpliciaux correspondent à des di-
mensions de groupes de cohomologie et les volumes à des degrés de
variétés projectives. Une bonne référence pour tout cela est [E].

En fait cela permet de plonger, pour certains problèmes, la théorie

des polytopes dans le monde plus vaste de la géométrie des variétés

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

25

projectives. Dans ce monde des variétés algébriques projectives, on
peut faire des opérations qui n’ont pas de correspondant direct pour
les polytopes, par exemple intersecter avec un hyperplan générique,
ce qui permet, outre des récurrences sur la dimension, de définir des
opérations sur l’algèbre de cohomologie.

La première démonstration de la conjecture de McMullen sur les

faces des polytopes simpliciaux passait par la géométrie algébrique

(voir [Sta]). Par exemple les équations de Dehn-Sommerville pro-
viennent de la

dualité de Poincaré

et la propriété de M-suite du

théo-

rème de Lefschetz difficile

sur la cohomologie d’une variété torique as-

sociée au polytope. Au même moment, on avait pu montrer que les in-
égalités de Alexandrov-Fenchel correspondaient aussi à des inégalités
de géométrie algébrique que l’on peut déduire du

théorème de l’index

de Hodge

(voir [Te1] et [Gr]).

McMullen (voir [Mc2]) a construit un élargissement combinatoire

du monde des polytopes, qui est assez vaste pour contenir l’analogue
de la section hyperplane générique et s’en est servi pour généraliser
simultanément les résultats sur les nombres de faces des polytopes
simpliciaux et ceux sur les volumes mixtes.

Je vais pour conclure montrer un type de résultat qui relève de la

même approche et est plus facile à énoncer. Il s’agit d’une générali-
sation en algèbre commutative d’une conséquence d’un célèbre théo-
rème de Carathéodory sur les enveloppes convexes.

Théorèmes de Carathéodory et de Briançon-Skoda.

L’idée de base de la correspondance entre la géométrie des corps

convexes et la géométrie algébrique remonte à Newton et consiste à
dire qu’un monôme en

d

variables

x

m

1

1

· · ·

x

m

d

d

correspond à un point à

coordonnées entières (

m

1

,

· · ·

,

m

d

)

∈

Z

d

. Par exemple, dans un anneau

de séries convergentes

C

{

x

1

, . . . ,

x

d

}, je me donne un certain nombre

de monômes M

1

, . . . , M

k

que je peux représenter par leurs exposants.

Dans le cas qui m’intéresse, tous les points obtenus sont dans le pre-
mier cadran car je ne prends que des exposants positifs. On regarde
l’idéal I

=

(M

1

, . . . , M

k

)

⊂

C

{

x

1

, . . . ,

x

d

}, que je représente de la façon sui-

vante :

26

Bernard Teissier

M

i

M

j

Une série qui est dans l’idéal I est une série dont tous les monômes

sont « au-dessus de l’escalier ».

Je considère maintenant un idéal I quelconque dans un anneau

commutatif A quelconque. J’ai alors la notion suivante de dépendance
intégrale.

Un élément

h

∈

A est

entier

sur I s’il satisfait à une relation de

dépendance intégrale

h

k

+

a

1

h

k

−

1

+ · · · +

a

k

=

0 avec

a

i

∈

I

i

.

Si I

=

(

x

n

,

y

n

)

C

{

x

,

y

}, alors tous les monômes

x

i

y

n

−

i

pour 1

É

i

É

n

−

1

sont entiers sur I mais ne sont pas dans I. On peut voir qu’au voisinage
de l’origine,

|

x

i

y

n

−

i

| É

C sup(

|

x

|

n

,

|

y

|

n

).

L’ensemble des éléments de A entiers sur I est un idéal de A noté I. On a
I

⊆

I

⊆

p

I. Si A est un anneau de polynômes

C

[

x

1

, . . .

x

d

] ou un anneau

de séries convergentes

C

{

x

1

, . . .

x

d

} et si l’idéal I est engendré par des

monômes, alors I est l’idéal engendré par tous les monômes qui sont
dans l’enveloppe convexe de l’ensemble des points situés au-dessus de
l’escalier.

Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre

27

M

i

M

j

Or on a le théorème suivant :

Théorème 12.

a

) (Carathéodory).

Soient

E

⊂

R

d

et x

∈

Conv(E)

. Alors x est dans l’enve-

loppe convexe d’au plus d

+

1

points de

E

:

∀

x

∈

Conv(E),

∃

e

1

∈

E, . . . ,

∃

e

d

+

1

∈

E,

x

∈

Conv(

e

1

, . . . ,

e

d

+

1

).

b

) (Fenchel 1929, Hanner et Rådström 1951).

Si

E

a au plus d compo-

santes connexes, on peut remplacer d

+

1

par d dans le a).

Dans notre cas, cela signifie que si je prends un point dans l’en-

veloppe convexe de l’ensemble des points au-dessus de l’escalier, qui
est connexe, il est dans l’enveloppe convexe de

d

points qui sont au-

dessus de l’escalier :

x

=

P

λ

i

m

i

où

P

λ

i

=

1 et les

m

i

sont dans l’en-

semble des points au-dessus de l’escalier. Il y a au moins un des

λ

i

qui est plus grand que 1/

d

, donc

d x

est dans l’ensemble des points au-

dessus de l’escalier. En terme d’idéaux, cela signifie que si

x

m

1

1

· · ·

x

m

d

d

∈

I, alors (

x

m

1

1

· · ·

x

m

d

d

)

d

∈

I. C’est un cas particulier du théorème suivant :

Théorème 13

(Briançon-Skoda, 1974)

.

Si

I

est un idéal de

C

{

x

1

, . . . ,

x

d

}

,

alors

(I)

d

⊆

I

.

En travaillant un tout petit peu plus, on peut prouver comme ci-

dessus à l’aide du b) du théorème 12 l’inclusion I

d

⊂

I pour les idéaux

engendrés par des monômes.

Quelles sont les motivations d’un tel théorème ? Soit

f

une série

de

d

variables complexes, convergente et nulle à l’origine ; alors il

28

Bernard Teissier

n’est pas trop difficile de montrer que l’on a toujours dans

C

{

x

1

, . . . ,

x

d

}

l’inclusion

f

∈

µ

∂

f

∂

x

1

, . . . ,

∂

f

∂

x

d

¶

,

où le terme de droite désigne la fermeture intégrale de l’idéal de

C

{

x

1

, . . . ,

x

d

} engendré par les dérivées partielles. D’après le théorème,

f

d

∈

µ

∂

f

∂

x

1

, . . . ,

∂

f

∂

x

d

¶

.

Cette inclusion joue un rôle assez important dans l’étude des singula-
rités de la fonction

f

(voir [Sc] et [W]).

Voyons sur un exemple :

f

(

x

,

y

)

=

(

y

2

−

x

3

)

2

−

x

5

y

. On sait donc que

f

2

∈

µ

∂

f

∂

x

,

∂

f

∂

y

¶

C

{

x

,

y

}.

Pourtant, écrire la relation d’appartenance est loin d’être évident !

Le point important est que le plus petit entier

n

tel que

f

n

∈

I si

f

∈

I

ne dépend pas de l’idéal I mais seulement de la dimension. Pour plus
d’information on peut consulter les articles de Hochster, Lazarsfeld et
l’auteur dans [TCA].

Bibliographie

Les références

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