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Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
III ESPERANCE MATHEMATIQUE
I.DĂ©finition et calcul de lâespĂ©rance mathĂ©matique dâune VA
·
La dĂ©finition la plus gĂ©nĂ©rale de lâespĂ©rance dâun VA
+
Âź
W
R
X
:
(
donc Ă valeurs
positives ou nulles
) est obtenue en introduisant une suite de partitions
n
P
de
+
R
:
[
,
[
[
,
[
...
[
,
[
[
,
0
[
2
2
1
2
2
1
1
„
Ă
Ă
Ă
Ă
=
-
+
n
n
n
x
x
x
x
x
x
R
oĂč
n
n
k
k
kn
x
2
,..,
1
,
0
,
2
=
=
et
„
=
+
1
k
x
LâespĂ©rance de
X
est alors définie comme la limite de la somme des valeurs
k
x
pondérées par
les probabilités des intervalles
[
,
[
1
+
k
k
x
x
auxquels ils appartiennent
[)
,
([
lim
)
(
1
2
0
n
i
i
n
i
X
n
i
n
x
x
P
x
X
E
n
+
=
„
Âź
Ă„
=
et on note
ĂČ
+
=
R
X
x
xdP
X
E
)
(
)
(
(Remarquer que
1
)
(
[)
,
([
,
1
2
0
=
Ă
=
"
+
+
=
Ă„
R
X
P
x
x
P
n
n
i
i
n
i
X
n
)
·
Pour une VA
R
X
Âź
W
:
pouvant prendre des valeurs négatives aussi bien que positives
on introduit la décomposition
-
+
-
=
-
-
=
X
X
X
X
X
)
0
,
max(
)
0
,
max(
et on définit
)
(
X
E
par
ĂČ
ĂČ
-
+
+
=
-
=
-
+
R
X
R
X
def
x
xdP
x
xdP
X
E
X
E
X
E
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
si
)
(
et
)
(
-
+
X
E
X
E
ne sont pas
simultanément infinis..
·
De cette définition on peut déduire, cas particulier par cas particulier des formules de
calcul
1
.
Si la fonction de répartition
X
F
présente des sauts (discontinuités) aux points
,
I
i
i
Ă
a
(
I
dĂ©nombrable) dâamplitude
I
i
q
X
P
F
F
i
i
i
X
i
X
Ă
=
=
=
-
+
,
)
(
)
(
)
(
a
a
a
et quâelle est dĂ©rivable
ailleurs au sens ordinaire avec des valeurs de dérivée non nulles on a :
{
}
dx
x
x
F
q
X
E
I
i
R
X
i
I
i
i
i
)
(
)
(
,
'
ĂČ
Ă„
Ă
-
Ă
+
=
a
a
(1)
(oĂč la somme continue se calcule Ă lâextĂ©rieur des points
i
a
de discontinuité)
Si la VA est de
loi discrĂšte
, on a
1
=
Ă„
Ă
I
i
i
q
et
{
}
I
i
R
x
x
F
i
X
Ă
-
Ă
"
=
,
0
)
(
'
a
si bien que
lâespĂ©rance devient :
)
(
)
(
i
I
i
i
i
I
i
i
X
P
q
X
E
a
a
a
=
=
=
Ă„
Ă„
Ă
Ă
(2)
Si la VA
X
admet une densité de probabilité
X
p
( cad si elle est de
loi continue
) on a
0
)
(
=
=
"
x
X
xP
(il nây a pas de saut dans
X
F
) et
X
X
p
x
F
=
)
(
'
. La somme discrĂšte dans (1)
devient alors nulle et lâespĂ©rance sâĂ©crit :
1
Il nâest pas nĂ©cessaire de connaĂźtre parfaitement la dĂ©finition gĂ©nĂ©rale de lâespĂ©rance donnĂ©e si dessus pour
appliquer ces formules et calculer des valeurs moyennes
2/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
dx
x
x
p
X
E
R
X
)
(
)
(
ĂČ
=
(3)
Vocabulaire et notation
: on dit couramment
valeur moyenne
pour espérance mathématique
et on note
)
(
X
E
m
def
X
=
.
Interprétation
: si on réalise
n
fois la mĂȘme expĂ©rience alĂ©atoire pour obtenir
n
réalisations
n
i
x
X
i
i
..,
1
,
)
(
=
=
w
et que lâon considĂšre la moyenne arithmĂ©tique de ces rĂ©sultats,
Ă„
n
i
x
n
1
1
,
cette derniĂšre pour
n
trĂšs grand tendra vers une limite Ă©gale Ă
)
(
X
E
(on le montre
thĂ©oriquement sous certaines hypothĂšses et on peut le âconstaterâ expĂ©rimentalement).
II.EspĂ©rance dâune VA fonction dâautres VA(formule de transfert)
Soit une VA
Y
définie à partir de
N
VA
N
X
X
,..,
1
et dâune fonction
R
R
f
N
Âź
:
:
)
,..,
(
1
N
X
X
f
Y
=
). La formule de transfert permet de calculer
)
(
Y
E
sans
exhiber préalablement sa loi
Y
P
. Elle sâĂ©crit dans son expression la plus gĂ©nĂ©rale
)
,..,
(
)
,..,
(
)
(
1
,..
1
1
N
X
X
N
R
x
x
dP
x
x
f
Y
E
N
N
ĂČ
=
. Les formules de calcul Ă a utiliser en pratique
dépendent de la nature de la loi conjointe des
i
X
.
·
Si la loi conjointe
N
X
X
P
,..
1
admet une densité
N
X
X
p
,..
1
(loi de type continu) alors on aura :
N
N
X
X
N
R
dx
dx
x
x
p
x
x
f
Y
E
N
N
..
)
,..,
(
)
,..,
(
)
(
1
1
,..
1
1
ĂČ
=
·
Si la loi conjointe est discrÚte, cad si il existe un ensemble dénombrable de points de
N
R
I
i
x
x
i
N
i
i
Ă
=
),
,..,
(
1
a
tel que
i
i
N
N
i
q
x
X
x
X
P
i
=
=
=
"
)
,..,
(
:
1
1
avec
1
=
Ă„
Ă
I
i
i
q
alors
)
(
Y
E
se
calcule par :
)
(
)
,..,
(
)
(
1
i
I
i
i
i
N
i
I
i
i
f
q
x
x
f
q
Y
E
a
Ă„
Ă„
Ă
Ă
=
=
·
Le cas plus gĂ©nĂ©ral dâune loi qui nâest ni de type continu ni de type discret nâest simple Ă
Ă©crire que pour
1
=
N
auquel cas on a :
{
}
dx
x
f
x
F
q
f
Y
E
I
i
R
X
i
I
i
i
i
)
(
)
(
)
(
)
(
,
'
ĂČ
Ă„
Ă
-
Ă
+
=
a
a
(avec les mĂȘmes notations que pour (1))
Pour
1
>
N
des termes complémentaires du type intégrale curviligne ou intégrale de
surface peuvent intervenir (on ne donne pas ici de formule générale correspondante).
III.Propriétés
de lâespĂ©rance mathĂ©matique utiles dans les calculs courants (autres que la
formule de transfert).
·
Positivité
: si
1
)
0
(
=
Âł
X
P
alors
0
)
(
Âł
X
E
·
EspĂ©rance dâune constante K
: si
cte
K
K
X
P
=
=
=
,
1
)
(
alors
K
X
E
=
)
(
·
Linéarité
: si, pour
N
VA
N
X
X
,..,
1
,
k
N
k
X
Y
Ă„
=
1
l
alors
)
(
)
(
1
k
N
k
X
E
Y
E
Ă„
=
l
3/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
·
Indépendance et factorisation
: soient
N
VA
N
X
X
,..,
1
indépendantes
dans lâensemble et
soient
N
VA
)
(
),..,
(
1
1
1
N
N
N
X
f
Y
X
f
Y
=
=
construites Ă partir de
N
fonctions
N
k
R
R
f
k
,..,
1
,
:
=
Âź
. LâespĂ©rance de la VA
Ă
=
=
N
k
k
Y
Y
1
est alors
Ă
=
=
N
k
k
Y
E
Y
E
1
)
(
)
(
š
Remarque
: les
N
VA
N
X
X
,..,
1
Ă©tant
indépendantes, les
N
VA
)
(
),..,
(
1
1
1
1
N
N
N
X
f
Y
X
f
Y
=
=
le sont aussi.
š
Corollaire
:
N
X
X
,..,
1
indépendantes
Ă
Ă
Ă
=
=
=
N
k
k
N
k
k
X
E
X
E
1
1
)
(
)
)
(
Cette propriété reste vraie si
N
X
X
,..,
1
sont
N
VA Ă valeurs respectivement dans
N
d
d
R
R
,..,
1
et les
k
f
de la forme
'
k
k
d
d
R
R
Âź
IV.Moments dâune VA, variance dâune VA
1.DĂ©finition
: on appelle moment dâordre
N
dâune VA
X
lâespĂ©rance
)
(
N
X
E
(si elle existe) .
2.DĂ©finition
: A une VA
X
de valeur moyenne
X
m
on associe la VA notée
c
X
, appelĂ©e â
X
centrĂ©eâ que lâon dĂ©finit par
.
X
c
m
X
X
-
=
On dira Ă©galement quâune VA X est centrĂ©e si sa
valeur moyenne est nulle, auquel cas
c
X
X
=
.
On a toujours
0
)
(
)
(
)
(
=
-
=
-
=
-
=
X
X
X
X
c
m
m
m
X
E
m
X
E
X
E
3.DĂ©finition
:
on appelle moment
centré
dâordre
N
dâune VA
X
la quantité
)
(
N
c
X
E
(si elle
existe) .
4.Propriété
(inégalité de Markov) :
n
n
X
E
X
P
n
e
e
e
)
(
)
(
:
0
0
ÂŁ
Âł
Âł
"
>
"
5.DĂ©finition
: la variance dâune VA
X
est son moment centrĂ© dâordre 2,
)
(
)
(
2
c
X
E
X
VAR
=
6.Propriétés de la variance
:
·
2
2
)
(
)
(
X
m
X
VAR
X
E
+
=
·
réels
,
)
(
)
(
2
b
a
a
b
a
"
=
+
X
VAR
X
VAR
·
Si
N
X
X
,..,
1
indépendantes et
=
Y
N
X
X
+
+
..
1
alors )
(
..
)
(
)
(
1
N
X
VAR
X
VAR
Y
VAR
+
+
=
·
De maniÚre plus générale
)
(
)
(
,
1
1
jc
ic
j
i
N
j
i
i
N
i
X
X
E
X
VAR
l
l
l
Ă„Ă„
Ă„
ÂŁ
ÂŁ
=
qui devient
)
(
)
(
2
2
1
1
ic
i
N
i
i
N
i
X
E
X
VAR
l
l
Ă„
Ă„
=
=
si
0
)
(
=
Ă
Âč
jc
ic
X
X
E
j
i
(condition qui sera
réalisée en particulier si les
N
VA sont indépendantes 2 à 2).
·
Inégalité de Bienaymé Tchebychef (faire
c
X
par
X
remplacer
,
1
=
n
dans Markov) :
2
)
(
)
(
:
0
e
e
e
X
VAR
X
P
ÂŁ
Âł
>
"
4/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
V.Fonction caractéristique et calculs de moments
V.1.Variables aléatoires à valeurs complexes
1.DĂ©finition :
une VA sur
)
,
,
(
P
t
W
Ă valeur dans C (corps des complexes) est une application
)
(
)
(
)
(
:
w
w
w
w
iV
U
X
X
+
=
Âź
W
Ă
oĂč
)
,
(
V
U
est une paire de VA sur
)
,
,
(
P
t
W
, chacune Ă
valeurs dans R
.
Remarque
: la définition se généralise sans problÚme au cas de VA
N
dimensionnelles Ă
valeur dans
N
C
.
2.Loi de probabilité
.
La loi de
Z
correspond Ă la loi conjointe du couple
)
,
(
V
U
. En notant
iv
u
z
+
=
on Ă©criera :
2
,
)
,
(
),
,
(
)
(
R
v
u
v
u
F
z
F
V
U
Z
Ă
=
2
,
)
,
(
),
,
(
)
(
R
v
u
v
u
p
z
p
V
U
Z
Ă
=
si
)
,
(
V
U
est de loi conjointe continue
Ceci se généralise pour une VA à valeurs dans
N
C
par
N
N
N
N
N
V
V
U
U
N
Z
Z
R
v
v
u
u
v
v
u
u
F
z
z
F
N
N
n
2
1
1
1
1
,..,
,
,..,
1
,..,
)
,..,
,
,..
(
),
,..,
,
,..
(
)
,..,
(
1
1
1
Ă
=
N
N
N
N
N
V
V
U
U
N
Z
Z
R
v
v
u
u
v
v
u
u
p
z
z
p
N
N
n
2
1
1
1
1
,..,
,
,..,
1
,..,
)
,..,
,
,..
(
),
,..,
,
,..
(
)
,..,
(
1
1
1
Ă
=
3.DĂ©finitions
de la moyenne et de la variance
:
C
V
iE
U
E
X
E
def
Ă
+
=
))
(
)
(
(
)
(
, â
X
centrĂ©eâ :
c
c
c
iV
U
X
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
c
c
c
def
V
E
U
E
X
E
X
VAR
+
=
=
)
(
)
(
V
VAR
U
VAR
+
=
V.2.Fonction caractéristique et moments
1.DĂ©finition
:
·
La fonction caractĂ©ristique dâune VA
X
Ă valeurs dans
R
est
lâapplication )
(
)
(
:
iuX
X
X
e
E
u
R
u
=
Âź
Ă
j
j
C
uX
iE
uX
E
Ă
+
=
)
(sin
)
(cos
·
La fonction caractĂ©ristique dâune VA
N
-dimensionnelle )
,..,
(
1
N
X
X
Ă valeurs dans
N
R
est
lâapplication
C
X
iu
E
u
u
R
u
u
N
k
k
k
N
X
X
N
N
X
X
N
N
Ă
=
Âź
Ă
Ă„
=
)
(exp(
)
,..,
(
)
,..,
(
:
..,
1
1
,..,
1
,..,
1
1
j
j
2.Propriété
(relations avec les moments)
Pour X VA Ă valeurs dans R
:
·
Si le moment
)
(
n
X
E
est défini alors on a
)
0
(
1
)
(
X
n
n
n
n
u
i
X
E
j
¶
¶
=
et la fonction
caractĂ©ristique admet le dĂ©veloppement de Taylor Ă lâordre
n
autour de lâorigine :
1
1
..
0
)
(
)
(
)
(
+
+
=
+
=
Ă„
n
n
n
n
n
n
k
X
u
u
u
i
X
E
u
e
j
·
Si le moment
)
(
n
X
E
existe pour tout
n
on a le développement infini
n
n
n
k
X
u
i
X
E
u
)
(
)
(
..
0
Ă„
„
=
=
j
On retiendra que :
les moments dâune VA peuvent donc ĂȘtre calculĂ©s en dĂ©rivant la fonction caractĂ©ristique oĂč
en la dĂ©veloppant en sĂ©rie de Taylor autour de lâorigine.
3.Fonction caractéristique et transformée de Fourier (TF)
Si la VA
X
est de loi continue on a
5/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
dx
x
p
e
e
E
u
R
u
X
iux
R
iuX
X
X
)
(
)
(
)
(
:
ĂČ
=
=
Âź
Ă
j
j
ce qui montre, en notant
X
p
Ë la TF de
X
p
, que
R
u
u
p
u
X
X
Ă
-
=
),
2
(
Ë
)
(
p
j
et donc, quâau changement de variable prĂšs, la fonction caractĂ©ristique est la transformĂ©e de
Fourier de la densité de probabilité. La transformée de Fourier étant une bijection ( la
transformation de Fourier inverse permet de retrouver la fonction dâorigine
2
) ceci montre quâil
est possible de retrouver la densitĂ© de probabilitĂ© Ă partir de la fonction caractĂ©ristique et quâil
y a donc correspondance biunivoque entre une loi de probabilité continue et la fonction
caractéristique . On montre que ceci reste vrai pour des lois quelconques, la fonction
caractĂ©ristique sâavĂ©rant ainsi ĂȘtre toujours une spĂ©cification exacte de la loi de probabilitĂ©
correspondante.
VI.Coefficient de corrélation entre 2 VA réelles
1.Meilleure approximation affine dâune VA Ă partir dâune autre VA
.
Soit 2 variables alĂ©atoires X et Y . Supposons que lâon observe
x
X
=
)
(
w
. Peut on alors
calculer une approximation de la réalisation
y
Y
=
)
(
w
au moyen dâune fonction
)
(
x
f
y
=
.
Plus précisément existe-il une fonction
R
R
f
Âź
:
telle que, pour toute autre fonction
R
R
g
Âź
:
on ait
)
))
(
((
)
))
(
((
2
2
X
g
Y
E
X
f
Y
E
-
ÂŁ
-
, ce qui revient Ă rechercher :
)
))
(
((
min
arg
2
X
g
Y
E
f
f
-
=
LâespĂ©rance )
))
(
((
2
X
g
Y
E
-
est appelée
erreur quadratique moyenne
(
EQM
) entre la variable
âcibleâ et son approximation
)
(
X
g
. Elle ne peut ĂȘtre que positive ou nulle. Pour ĂȘtre nulle il y
a nécessité que
1
))
(
(
=
=
X
g
Y
P
(on peut le montrer en utilisant lâinĂ©galitĂ© de B.T.). Cette
erreur permet dâĂ©valuer lâerreur dâapproximation sur lâensemble des cas rencontrĂ©s
))
(
),
(
(
w
w
Y
X
en tenant compte de leurs frĂ©quences relatives dâapparition.
On peut contraindre le problĂšme en imposant Ă
f
dâappartenir Ă une certaine classe
Y
de
fonctions :
)
))
(
((
min
arg
2
X
g
Y
E
f
f
-
=
Y
Ă
Cherchons la solution du problĂšme dans le cas
Y
oĂč est la classe des fonctions affines. Il faut
alors trouver 2 constantes réelles a et b telles que
)
))
((
min
arg
)
,
(
2
)
,
(
2
B
AX
Y
E
b
a
R
B
A
-
-
=
Ă
. On a :
)
)
((
)
)
((
2
2
B
Am
AX
m
Y
E
B
AX
Y
E
X
C
Y
C
-
-
-
+
=
-
-
=
=
-
-
-
-
-
-
+
-
)
)(
(
2
)
(
)
)
((
2
2
B
Am
m
AX
Y
E
B
Am
m
AX
Y
E
X
Y
C
C
X
Y
C
C
2
2
)
(
)
)
((
B
Am
m
AX
Y
E
X
Y
C
C
-
-
+
-
Cette derniÚre quantité est minimale pour
X
Y
Am
m
B
-
=
et pour
A
qui minimise
2
En toute rigueur Ă quelques dĂ©tails ânĂ©gligeablesâ prĂšs (notion mathĂ©matique de fonction presque partout
Ă©gales)
6/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
C
C
C
C
X
E
A
Y
X
AE
Y
E
+
-
qui est un trinÎme du second degré en
A.
Ce trinĂŽme admet
un seul minimum (en supposant
0
)
(
2
Âč
C
X
E
) en
)
(
)
(
2
C
C
C
X
E
Y
X
E
A
=
. On a donc :
)
))
((
min
arg
)
)
(
)
(
,
)
(
)
(
(
2
)
,
(
2
2
2
B
AX
Y
E
m
X
E
Y
X
E
m
X
E
Y
X
E
R
B
A
X
C
C
C
Y
C
C
C
-
-
=
-
Ă
et si on développe les calculs, pour ces valeurs optimales des coefficients A et B on trouve
que la valeur minimale de
)
)
((
2
B
AX
Y
E
-
-
est Ă©gale Ă :
)
1
)(
(
)
)
((
min
2
,
2
2
,
Y
X
c
B
A
Y
E
B
AX
Y
E
r
-
=
-
-
oĂč
Y
X
c
c
c
c
def
Y
X
Y
X
E
Y
VAR
X
VAR
Y
X
E
s
s
r
)
(
)
(
)
(
)
(
,
=
=
Exercice
: vérifier la premiÚre égalité ci-dessus
2.Définition du coefficient de corrélation entre 2 VA
On appelle coefficient de corrélation
Y
X
,
r
entre les VA
X
et
Y
la quantité
Y
X
c
c
Y
X
E
s
s
)
(
( rappelons que
Y
X
c
c
m
m
Y
X
E
Y
X
E
-
=
)
(
)
(
)
Calcul de
Y
X
,
r
:
Il suffit de calculer
Y
X
Y
X
m
m
s
s
,
,
,
et
)
(
XY
E
Ă partir dâune densitĂ© conjointe
Y
X
p
,
on calculera :
ĂČĂČ
=
2
)
,
(
)
(
,
R
Y
X
xydxdy
y
x
p
XY
E
dans le cas dâune loi discrĂšte Ă 2 dimensions on calculera:
)
,
(
)
(
,
j
i
j
y
x
i
y
Y
x
X
P
y
x
XY
E
j
i
=
=
=
Ă„
3.Propriétés
du coefficient de corrélation
·
Si
X
et
Y
sont indépendantes alors
0
,
=
Y
X
r
(
attention : réciproque fausse
)
·
1
,
ÂŁ
Y
X
r
·
c
c
Y
X
Y
X
l
r
=
Ă
+
=
1
,
pour un certain
0
>
l
·
c
c
Y
X
Y
X
l
r
=
Ă
-
=
1
,
pour un certain
0
<
l
4.Approche par le produit scalaire entre VA
Introduisons lâensemble de toutes les VA dâordre 2 (correspondant Ă une mĂȘme expĂ©rience
aléatoire (
P
,
,
t
W
), cad celui de toutes les VA
Z
telles que
)
(
2
Z
E
est bien définie (certaines
lois de probabilitĂ© nâadmettent pas de moment dâordre 2 comme la loi de Cauchy par exemple
qui nâen admet aucun). Pour 2VA quelconques
2
1
,
Z
Z
de cet ensemble on montre quâil est
toujours possible de calculer lâespĂ©rance du produit
2
1
Z
Z
. Du fait des propriétés de
lâespĂ©rance mathĂ©matique cette opĂ©ration a toutes les propriĂ©tĂ©s dâun produit scalaire :
·
symétrie
:
)
(
)
(
1
2
2
1
Z
Z
E
Z
Z
E
=
·
linéarité
:
)
(
)
(
)
)
((
3
2
3
1
3
2
1
Z
Z
bE
Z
Z
aE
Z
bZ
aZ
E
+
=
+
·
positivité
:
1
)
0
(
)
0
)
(
(
:
,
0
)
(
2
2
=
=
Ă
=
Âł
Z
P
Z
E
défini
caractĂšre
Z
E
A ce produit scalaire peut ĂȘtre associĂ© une norme :
1
2
=
V
7/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
Une propriété de tout produit scalaire
)
,
(
2
1
V
V
est lâinĂ©galitĂ© de Schwartz :
2
1
2
1
)
,
(
V
V
V
V
ÂŁ
(avec égalité ssi
2
1
:
0
réel
V
V
l
l
=
Âč
$
)
Avec
2
1
2
2
1
1
,
X
c
X
c
Z
V
Z
V
s
s
=
=
,
1
2
1
=
=
V
V
et en appliquant lâinĂ©galitĂ© on arrive Ă :
)
]
([
)
]
([
)
(
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
X
c
X
c
X
c
X
c
Z
E
Z
E
Z
Z
E
s
s
s
s
ÂŁ
1
=
ce qui correspond Ă
1
,
ÂŁ
Y
X
r
en tenant compte des définitions de la variance et du coefficient
de corrélation .
4.Retour sur le problĂšme dâapproximation
Lâerreur dâapproximation dans le problĂšme introduit plus haut valait
=
2
e
)
1
)(
(
)
)
((
min
2
,
2
2
,
Y
X
c
B
A
Y
E
B
AX
Y
E
r
-
=
-
-
On voit donc que cette erreur est comprise entre une valeur minimale nulle quand le
coefficient de corrélation atteint une valeur maximale en valeur absolue égale à 1 (et on sait
alors que cela correspond Ă lâexistence dâune relation linĂ©aire exacte entre les variables
centrĂ©es, du moins avec probabilitĂ© 1) et une valeur maximale Ă©gale Ă
VAR(Y)
lorsque le
coefficient est nul. Dans ce dernier cas la valeur optimale de
A
est nulle et on peut dire que si
les variables sont décorrélées (cad
0
,
=
Y
X
r
) alors la meilleure approximation affine de
Y
se
ramĂšne Ă la valeur constante
)
(
Y
E
m
Y
=
: il ne sert Ă rien dâutiliser
)
(
w
X
pour Ă©valuer
)
(
w
Y
.
Conclusion :Il y a une correspondance entre la valeur plus ou moins élevée de
Y
X
,
r
et la possibilité de prédire linéairement
c
Y
Ă partir de
c
X
.
8/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
VII Espérances conditionnelles.
1.DĂ©finition
de lâespĂ©rance conditionnelle.
Soit un couple
)
,
(
Y
X
de VA, chacune Ă valeurs dans
R
. La définition la plus directe de
lâespĂ©rance de
Y
si
x
X
=
est :
dy
y
ydP
x
X
Y
E
R
y
x
X
Y
)
(
)
/
(
/
ĂČ
Ă
=
=
=
Autrement dit
)
/
(
x
X
Y
E
=
est la moyenne pour la loi conditionnelle
x
X
Y
P
=
/
. En toute rigueur
cette loi nâest dĂ©finie que
X
P
presque sûrement (cad pour un ensemble de valeurs de
x
contenant un borélien
A
tel que
1
)
(
=
Ă
A
X
P
). Pour chacune de ces valeurs de
x
la loi
conditionnelle
x
X
Y
P
=
/
peut ĂȘtre discrĂšte, continue ou mixte. La variable alĂ©atoire
conditionnante
X
peut ĂȘtre Ă valeurs dans
R
oĂč dans
N
R
.
2.Formules pratiques de calcul.
Le calcul de lâespĂ©rance conditionnelle sâeffectue suivant les mĂȘmes mĂ©thodes que pour une
espérance ordinaire (non conditionnelle). Les formules qui suivent permettent de calculer
lâespĂ©rance conditionnelle de
)
(
Y
f
conditionnellement Ă
x
X
=
. Elles correspondent Ă la
formule de transfert dans le cas conditionnel. Pour obtenir lâespĂ©rance conditionnelle de
Y
conditionnellement Ă
x
X
=
il suffit dây remplacer
(.)
f
par lâapplication identitĂ©. Les V.A.
Y
et
X
peuvent ĂȘtre Ă valeurs respectivement dans
M
R
et
N
R
,
1
Âł
M
et
1
Âł
N
. On considĂšre ici
f
de la forme
R
R
f
N
Âź
:
. Si
(.)
f
est lâapplication identitĂ© on considĂšre
1
=
M
.
·
Si
x
X
Y
P
=
/
admet une densité
x
X
Y
p
=
/
(loi de type continu) alors :
dy
y
p
y
f
x
X
Y
f
E
x
X
Y
R
M
)
(
)
(
)
/
)
(
(
/
=
ĂČ
=
=
·
Si la loi conditionnelle est discrÚte, cad si il existe un ensemble dénombrable de points de
M
R
,
I
j
y
j
Ă
,
tel que
{ }
1
)
/
(
)
(
/
=
=
=
=
Ă„
Ă„
Ă
Ă
=
J
j
j
J
j
j
x
X
Y
x
X
y
Y
P
y
P
alors
)
/
)
(
(
x
X
Y
f
E
=
se calcule par :
{ }
Ă„
Ă„
Ă
Ă
=
=
=
=
J
j
j
j
J
j
j
x
X
Y
j
x
X
y
Y
P
y
f
y
P
y
f
)
/
(
)
(
)
(
)
(
/
·
Si
Y
est Ă valeurs dans
R
et que
la loi conditionnelle est mixte avec une fonction de
répartition conditionnelle
x
X
Y
F
=
/
:
{
}
dy
x
F
y
f
F
F
f
x
X
Y
f
E
I
i
R
x
X
Y
i
x
X
Y
i
x
X
Y
I
i
i
i
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
/
)
(
(
,
'
/
'
/
'
/
ĂČ
Ă„
Ă
-
=
=
+
=
Ă
+
-
=
=
a
a
a
a
oĂč les
i
a
sont les points de discontinuité de
x
X
Y
F
=
/
.
3.PropriĂ©tĂ©s de lâespĂ©rance conditionnelle.
·
Positivité :
0
)
/
(
1
)
0
(
Âł
=
Ă
=
Âł
x
X
Y
E
Y
P
et ceci
X
P ps
(cad presque sûrement dans la loi
X
P
)
·
Linéarité :
)
/
(
)
/
(
)
/
(
2
1
1
2
1
x
X
bY
E
x
X
aY
E
x
X
bY
aY
E
=
+
=
=
=
+
,
a
et
b
ctes (
X
P ps
)
9/9
Résumé de cours en calcul des probabilités (JJ bellanger)
·
Formule de déconditionnement .
Cette formule est fondamentale dans les applications. Elle utilise le fait que lâapplication
)
/
(
)
(
x
X
Y
E
x
h
x
=
=
Âź
est mesurable (on le montre) et que
)
(
X
h
X
h
=
o
correspond donc Ă
une variable alĂ©atoire dont on peut chercher Ă calculer lâespĂ©rance. Elle sâĂ©crit :
)
(
)
/
(
)
(
)
(
))
(
(
)
(
x
dP
x
X
Y
E
x
dP
X
h
X
h
E
Y
E
X
R
x
X
R
x
N
N
=
=
=
=
ĂČ
ĂČ
Ă
Ă
oĂč
)
(
(.)
x
dP
X
R
x
N
ĂČ
Ă
se calcule en utilisant les formules appropriées suivant que la loi de
X
est
absolument continue, discrĂšte ou encore mixte.
Remarque
: lâutilisation de la variable alĂ©atoire auxiliaire
X
et la chaĂźne de calculs
conditionnement + déconditionnement pour calculer
E(Y)
sont recommandés lorsque le
calcul de
)
/
(
x
X
Y
E
=
sâavĂšre facile et ânaturelâ, voire Ă©vident, dans le contexte de lâĂ©tude
(gĂ©nĂ©ralement parce que la loi conditionnelle est elle mĂȘme Ă©vidente) . Le passage par ces
deux Ă©tapes de calcul peut sâavĂ©rer alors Ă©conomique par rapport Ă un calcul plus direct de
E(Y)
dans la loi
Y
P
si cette derniĂšre nâest pas connue a priori et quâelle est difficile Ă calculer.
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