Calculer en base 60 il y a 4000
ans en Mésopotamie
Christine Proust
Equipe REHSEIS
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Culture
MATH
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2350
Période d’Akkad
Premiers textes mathématiques
(calculs de surfaces)
2110
Période néo -sumérienne
(Ur III)
Tables numériques
(inverses)
2000
Période paléo -babylonienne
Développement des
mathématiques dans les écoles
de scribes
Dynasties d’Is in et de Larsa
1900
Dynastie de Babylone
…
Hammurabi (1792 -1750)
Samsu-Iluna (1749 -1712)
…
Samsu-ditana (1625 -1595)
Nippur :
Maison F (1800 -1721)
Fin des écoles (1739)
Fin des archives cunéiformes (1720)
1600
Période cassite
900
Période néo -babylonienne
Réapparition des textes
mathématiques
astronomie
300
Période séleucide
calcul numérique
astronomie
Ecoles de scribes
en Mésopotamie (vers -1800)
Tablettes scolaires
mathématiques
•Uruk
16
•Sippar
21
•Kish
65
•Ur
72
•Mari
116
•Nippur
998
Ziggurat
Quartier des scribes
(écoles)
Nippur
Collections de tablettes mathématiques exhumées
à Nippur par la Babylonian Expedition:
contenu
listes métrologiques
192
tables métrologiques
173
tables numériques
425
exercices et problèmes
38
incertain
50
Total
880
Métrologie normalisée
Longueurs
danna _ 30
_
U_ _ 60
_
ninda _ 12
_
ku_
3
_ 30
_
_u -si
10,5 km 360 m 6 m 50 cm 17 mm
Surfaces
GAN
2
_ 100
_
sar _ 60
_
gin
2
_ 180
_
_e
3600 m_
36 m_
0,6 m_ 33 cm_
Poids
gu
2
_ 60
_
ma -na _ 60
_
gin
2
_ 180
_
_e
30 kg 500 g 8 g 0,04 g
Capacités
gur _ 5
_
bariga _ 6
_
ban
2
_ 10
_
sila
3
_ 60
_
gin
2
300 l 60 l 10 l 1 l 17 ml
Les unités de mesure
Métrologie normalisée
• Plusieurs numérations différentes pour les
différentes unités.
• Une numération dominante, sexagésimale
additive: le « système S ».
Les nombres
_ar
2
-gal _ 6
_
_ar’u _ 10
_
_ar
2
_ 6
_
ge_’u _ 10
_
ge_
2
_ 6
_
u _ 10
_
a_
216 000
36000
3600
600
60
10
1
Listes métrologiques
Elles permettent l’apprentissage des systèmes métrologiques et des systèmes numériques.
fragment de liste métrologique
(longueurs)
Transcription
[…]
[4 1/2] danna
[5] danna
5 1/2 danna
6 danna
6 1/2 danna
7 danna
===========
Table métrologique de longueurs
Tables métrologique des longueurs (HS 41, Copie H. Hilprecht, 1906)
1
!
u-si
10
2
!
u-si
20
3
!
u-si
30
4
!
u-si
40
5
!
u-si
50
6
!
u-si
1
7
!
u-si
1.10
8
!
u-si
1.20
9
!
u-si
1.30
1/3 ku
!
3
1.40
"
ku
!
3
2.30
2/3 ku
!
3
3.20
5/6 ku
!
3
4.10
1 ku
!
3
5
1 1/3 ku
!
3
6.40
1
"
ku
!
3
7.30
1 2/3 ku
!
3
8.20
2 ku
!
3
10
Tables métrologiques
Longueurs
danna _ 30
_
U_ _ 60
_
ninda _ 12
_
ku_
3
_ 30
_
_u -si
30 1 1 5 10
Surfaces
GAN
2
_ 100
_
sar _ 60
_
gin
2
_ 180
_
_e
40 1 1 20
Poids
gu
2
_ 60
_
ma -na _ 60
_
gin
2
_ 180
_
_e
1 1 1 20
Capacités
gur _ 5
_
bariga _ 6
_
ban
2
_ 10
_
sila
3
_ 60
_
gin
2
5 1 10 1 1
Numération sexagésimale positionnelle
• Signes
• Unités
• Dizaines
• Nombres de 1 à 59: principe
additif, base 10
• Nombre supérieurs à 60: principe
positionnel, base 60
• « Virgule flottante »
2 x 30 = 1
9 x 20 = 3
= 2.15
Table de multiplication par 9
1
9
2
18
3
27
4
36
5
45
6
54
7
1.3
8
1.12
9
1.21
10 1.30
11 1.39
12 1.48
13 1.57
14 2.6
15 2.15
16 2.24
17 2.33
18 2.42
20-1 2.51
20 3
30 4.30
40 6
50 7.30
8.20 a-ra
2
1 8.20
Tablette scolaire de Nippur (HS 217a)
20x9 = 180 =
3x60
En base 60 :
3.0
Mais les scribes écrivent:
3
Problème du zéro
36001 = 10x60x60 + 1
En base 60, ce nombre s’écrit
10.0.1
Les babyloniens écrivent
Ou bien
Mais on peut confondre avec 10.1 (601) ou même avec 11!
D’où des risques d’erreurs.
Le scribe a trouvé ceci:
2.46.40
4.37.46.40
7.42.57.46.40
12.51.36.17.46.40
21.26.29.37.46.40
35.
44.9
.22.57.46.40
59.
33.35.38
.16.17.46.40
1.39.
15.59.23.47
.9.37.46.40
2.45.
26.38.59.38.36
.2.57.46.40
4.35.
44.24.59.24.20.4
.56.17.46.40
Le scribe aurait dû trouver cela:
2.46.40
4.37.46.40
7.42.57.46.40
12.51.36.17.46.40
21.26.
0
.29.37.46.40
35.43.20.49.22.57.46.40
59.32.14.42.18.16.17.46.40
1.39.13.44.30.30.27.9.37.46.40
2.45.22.54.10.50.45.16.2.57.46.40
4.35.38.10.18.4.35.26.44.56.17.46.40
Tablette provenant de Larsa (sud de la
Mésopotamie).
Liste des puissances de 1.40 (100 en
numération décimale): le nombre de chaque
ligne est celui de la ligne précédente multiplié
par 100.
Ligne 6, le scribe aurait dû signaler une place
vide. Il ne l’a pas fait, donc tous les résultats
suivants sont faux (chiffres faux en gras).
1.0.45
1.19. 0. 44. 26. 40
42. 53. 0. 59. 15 . 33. 20
Tablette d’époque séleucide (vers -300)
provenant de Babylone. British
Museum. Multiplication posée?
Tablette d’époque séleucide (vers -300)
provenant d’Uruk. Musée du Louvre.
Table d’inverses.
Table d’inverses néo-sumérienne
face, colonne I
face, colonne II
revers, colonne III
revers, colonne IV
[1 -da igi 2 gal
2
-bi] 30
[igi
3]
20
[igi
4]
15
[igi
5]
12
[igi
6]
10
[igi
7]
nu
[igi
8
7].30
[igi
9
6].40
[igi
10]
6
[igi
11]
nu
[igi
12]
5
[igi
13]
nu
[igi
14]
nu
[igi
15]
4
[igi]
16
3.45
igi
17
[nu]
igi
18
3.20
[igi
19
nu]
igi
20
3
igi
21
nu
igi
22
[nu]
[igi]
23
[nu]
[igi
24
2].30
igi
25
2.24
igi
26
nu
igi
27
2.13.20
igi
28
nu
igi
29
nu
igi
30
2
igi
31
nu
igi
32
1.52.30
igi
33
nu
igi
34
nu
igi
35
nu
igi
36
1.40
igi
37
nu
igi
38
nu
igi
39
nu
igi
40
1.30
igi
41
nu
igi
42
nu
igi
43
nu
igi
44
nu
igi
45
1.20
igi
46
nu
igi
47
nu
igi
48
1.15
igi
49
nu
igi
50
1.12
[igi
51]
nu
[igi
52]
nu
[igi
53]
nu
igi
54
1.6.40
igi
55
nu
igi
56
nu
igi
57
nu
igi
58
nu
igi
59
nu
[igi
1]
1
[igi
1.4
56.15]
[igi
1.12]
50
[igi
1.15
4]8
[igi
1.20]
45
[igi
1.21
44.2] 6.40
[igi
1.30]
40
[igi
1.36
3 ]7.30
[igi
1.40]
36
Table d’inverses
paléo-babylonienne
1-da 2/3-bi
40-am
3
!
u-ri-a-bi
30-am
3
igi-2 gal
2
-bi
30-am
3
_____________________
igi-3-gal
2
-bi
20
igi-4-gal
2
-bi
15
igi-5-gal
2
-bi
12
igi-6-gal
2
-bi
10
igi-8-gal
2
-bi
7.30
igi-9-gal
2
-bi
6.40
igi-10-gal
2
-bi
6
igi-12-gal
2
-bi
5
igi-15-gal
2
-bi
4
igi-16-gal
2
-bi
3.45
igi-18-gal
2
-bi
3.20
igi-20-gal
2
-bi
3
igi-24-gal
2
-bi
2.30
igi-25-gal
2
-bi
2.24
igi-27-gal
2
-bi
2.13.20
igi-30-gal
2
-bi
2
igi-32-gal
2
-bi
1.52.30
igi-36-gal
2
-bi
1.40
igi-40-gal
2
-bi
1.30
igi-45-gal
2
-bi
1.20
igi-48-gal
2
-bi
1.15
igi-50-gal
2
-bi
1.12
igi-54-gal
2
-bi
1.6.40
igi-1-gal
2
-bi
1
igi-1.4-gal
2
-bi
56.15
igi-1.21-gal
2
-bi
44.26.40
!
u-ri-a = la moitié
igi-
n
-gal
2
= inverse de
n
-bi
=
possessif
La multiplication
7
35
7
35
57
30
25
Calcul de surface (1)
CBS 11318
(copie Neugebauer, O. & Sachs, 1984)
5
!
5
!
25
1 ku_
3
le côté (du carré)
----------------------------
Quelle est sa surface ?
----------------------------
Sa surface est
1/3 gin
2
15 _e
=================
CBS 11318
Côté:
1 ku
!
3
Conversion:
1 ku
!
3
!
5
Multiplication:
5
#
5 = 25
Conversion :
20
!
1/3 gin
2
5
!
15
!
e Donc
25
!
1/3 gin
2
15
!
e
Table métrologique des longueurs
…
1/3 ku
!
3
1.40
"
ku
!
3
2.30
2/3 ku
!
3
3.20
5/6 ku
!
3
4.10
1 ku
!
3
5
1 1/3 ku
!
3
6.40
1
"
ku
!
3
7.30
1 2/3 ku
!
3
8.20
2 ku
!
3
10
…
Table métrologique des surfaces
…
14
!
e
4.40
15
!
e
5
16
!
e
5.20
17
!
e
5.40
…
igi-6-gal2 gin2
10
igi-4-gal2 gin2
15
1/3 gin2
20
"
gin2
30
…
Calcul de surface (2)
2.10
2.10
4.26
!
.40
1/3 ku_
3
3 _u-si son côté
---------------------
sa surface combien ?
---------------------
sa surface 13 _e
igi-4
!
gal
2
_e
==============
Ni 18, Istanbul
Conversion des longueurs
1/3 ku
!
!
1.40
3
!
u-si
!
30
------------------------------
1/3 ku
!
3
!
u-si
!
2.10
Multiplication
2.10
"
2.10 = 4.26
!
.40
Conversion en surface
4.20
!
13
!
e
6.40
!
1/4
!
!
e
------------------------------
4.26.40
!
13
!
e 1/4
!
!
e
calcul correct :
2.10
"
2.10 = 4.41.40
4.41.40
!
14
!
e 1/12
!
e
Table métrologique des longueurs
1
!
u-si
10
2
!
u-si
20
3
!
u-si
30
4
!
u-si
40
…
9
!
u-si
1.30
1/3 ku
!
3
1.40
"
ku
!
3
2.30
…
Table métrologique des surfaces
1/3
!
e
6.40
1
!
e
20
2
!
e
40
3
!
e
1
…
10
!
e
3.20
11
!
e
3.40
12
!
e
4
13
!
e
4.20
…
Calcul d’aire
Table de conversion de
mesures de surface
Table de conversion de
mesures de longueur
Table de multiplication
2.10
2.10
4.26
!
.40
1/3 ku_
3
3 _u-si son côté
---------------------
sa surface combien ?
---------------------
sa surface 13 _e
igi-4
!
gal
2
_e
==============
Inversion par factorisation: CBS 1215
Tablette de Nippur, Musée de Philadelphie. Copie: E. Robson, 2000,
'Mathematical cuneiform tablets in Philadelphia. Part 1 : problems and calculations.'
SCIAMVS
1, p. 11-48
.
VAT 6505, #7
1.
2.13.20 son inverse combien ?
2.
Toi, dans ta procédure :
3.
l’inverse de 3.20 ouvre, 18 tu vois
4.
18 et 2.10 multiplie, 39 tu vois
5.
1 ajoute, 40 tu vois
6.
l’inverse de 40 ouvre, 1.30 tu vois
7.
1.30 et 18 multiplie,
8.
27 tu vois. 27 est son inverse.
9.
Telle est la procédure.
Nombre à inverser :
2
1
3
20
Décomposition en somme :
2
10
3
20
inverse : 18
2.13.20 est divisé par 3.20, c’est -à -dire
multipli é par son inverse 18.
Chacun des termes est multiplié par 18.
2
10
3
20
_18
_18 (implicite)
Positionn ement (relatif) de 39 et 1 :
+
39
1
Donc 2.13.20 = 40 _ 3.20.
40
inverse : 1.30
inv. ( 2.13.20 ) = 1.30 _ 18
Produit des inverses : 27
Inversion de 2.13.20
CBS 1215 #7
commentaire
2.1
3.20
18
40
1.30
27
2.1
3.20
est divisible par
3.20
; l’inverse de 3.20 est 18
2.1
3.20
÷
3.20
= 2.13.20
!
18 = 40
l’inverse de 40 est 1.30
2.13.20 = 40
!
3.20
inverse (2.13.20)
= inverse (40)
!
inverse (3.20)
= 1.30
!
18
= 27
Inversion de 5.3.24.26.40
CBS 1215 #20
Commentaire
5.3.24.2
6.40
[9]
45.30.
40
1.30
1.8.
16
3.45
4.
16
3.45
16
3.45
14.3.45
5[2.44].3.45
1.19.6.5.37.30
11.51.54.50.37.
30
2
23.43.49.41.
15
4
1.34.55.18.
45*
16
25.18.
45
*
16
6.45
1.20
9
6.[40]
8.53.20
2.22.13. 20
37.55.33.20
2.31.42.13.20
5.3.24.26.40
5.3.24.2
6.40
est divisible par
6.40
; l’inverse de 6.40 est 9
5.3.24.2
6.40
÷
6.40
= 5.3.24.26.40
!
9 = 45.30.40
45.30.
40
est divisible par
40 ;
l’inverse de 40 est 1.30
45.30.
40 ÷ 40
= 45.30.40
_
1.30 = 1.8.16
1.8.
16
est divisible par 16 ; l’inverse de 16 est 3.45
1.8.
16 ÷ 16
= 1.8.16 _ 3.45 = 4.16
4.
16
divisible par 16 ; l’inverse de 16 est 3.45
4.
16 ÷ 16
= 4.16 _ 3.45 = 16
L’inverse de 16 est 3.45
5.3.24.2
6.40
=
6.40
!
40
_
16
_
16
_
16
inv.(5.3.24.2
6.40)
= inv.(
6.40)
!
inv.(
40
)_ inv.(
16
)_ inv.(
16)
_inv.(
16 )
inv.(5.3.24.2
6.40)
= 9 _ 1.30 _ 3.45 _ 3.45 _ 3.45
3.45 _ 3.45 = 14.3.45
14.3.45 _ 3.45 = 52.44.3.45
52.44.3.45 _ 1.30 = 1.19.6.5.37.30
1.19.6.5.37.30 _9 = 11.51.54.50.37. 30
etc. (même algorithme pour l’inv erse)
Tablette scolaire d’Ur: racine carrée
Racine carrée par factorisation
UET 6/2 222 [ Friberg 2000, p. 108]
commentaire
1.3.45
1.3.45
15
1.7.44.
3.45
16
15
18.
3.45
16
17
4.49
3.45
1.3.45
1.3.45
!
1.3.45 = 1.7.44.3.45
Racine carrée de 1.7.44.3.45
:
1.7.44.
3.45
est divisible par
3.45
; l’inverse de 3.45 est 16 ; la raci ne
carrée de 3.45 est 15.
1.7.44.
3.45
÷
3.45
= 1.7.44.
3.45
_ 16 = 18.3.45
18.
3.45
est divisible par
3.45
; l’inverse de 3.45 est 16 ; la racine carrée
de 3.45 est 15.
18
.3.45
÷
3.45
= 18.3.45 _ 16 = 4.49
la racine carrée de 4.49 est 17
1.7.44. 3.45
=
15_ _ 15_ _ 17_
rac. carrée (1.7.44. 3.45) = 15 _ 15 _ 17
les racines des facteurs (placés à gauche) sont multipliées de proche en
proche :
15
!
15 = 3.45
3.45
!
17 = 1.3.45
La racine carrée de 1.7.44.3.45 est 1.3.45.
Plimpton 322
(Larsa, époque paléo-babylonienne)
AO 6456 (Uruk, Musée du Louvre)
Grande table d’inverses d’époque séleucide
1
1.0.16.53.53.20
1.0.40.53.20
1.0.45
1.1.2.6.33.45
1.1.26.24
1.1.30.33.45.
1.1.43.42.13.20
*1.2.8.16.12.48
1.2.12.28.48
1.2.30
*1.2.59.8.9.36
1.3.12.35.33.20
1.3.16.52.30
1.4
*1.4.43.36.53.20
1.4.48
1.5.6.15
1.5.32.9.36
1.5.36.36
1.5.55.4.41.15
*1.6.21.18.43.12
1.6.25.48.27
1.6.40
1.7.30
*1.7.49.0.37.30
1.8.16
1.8.20.37.30
1.9.7.12
1.9.26.40
*1.9.54.18.14.24
*1.9.59.2.24
1.10.18.45
*1.10.51.31.40.48
1.11.6.40
1.11.11.29.3.45
1.12
*1.12.20.16.40
1.12.49.4
1.12.54
1.13.14.31.52.30
1.13.43.40.48
1.13.48.40.30
1.14.4.26.40
*1.14.38.58.33.36
1.15
*1.15.21.7.21.40
1.15.51.6.40
1.15.56.15
1.16.48
1.16.53.12.11.15
1.17.9.37.46.40
1.17.40.20.16
*1.17.45.36
1.18.7.30
*1.18.38.35.31.12
1.18.43.55.12
1.19.0.44.26.40
*1.19.6.5.37.30
*1.19.42.58.8.24
1.20
1.20.54.31.6.40
1.21
1.21.22.48.45
1.21.55.12
1.22.0.45
*1.22.51.1.37.4
1.22.56.38.24
*1.23.2.15.33.45
1.23.20
1.23.58.50.52.48
1.24.22.30
1.25.20
1.25.25.46.52.30
1.26.24
1.26.48.20
*1.27.22.52.48
1.27.28.48
1.27.53.26.15
1.28.28.24.57.36
*1.28.34.24.36
1.28.53.20
1.29.40.50.24.27
1.30
*1.30.25.20.50
*1.31.1.20
1.31.7.30
1.32.9.36
1.32.15.50.37.30
1.32.35.33.20
*1.33.12.24.19.12
1.33.18.43.12
1.33.45
*1.34.11.24.12.5
*1.34.28.42.14.24
1.34.48.53.20
1.34.55.18.45
1.36
1.36.27.2.13.20
*1.37.5.25.20
1.37.12
1.37.39.22.30
1.38.18.14.24
*1.38.24.54
1.38.45.55.33.20
*1.39.31.58.4.48
*1.39.38.42.40.30
1.40
1.41.8.8.53.20
1.41.15
*1.41.43.30.56.15
1.42.24
*1.42.30.56.15
*1.43.33.47.1.20
1.43.40.48
1.44.10
*1.44.51.27.21.36
*1.44.58.33.36
1.45.28.7.30
*1.46.17.17.31.12
1.46.40
1.48
1.48.30.25
1.49.13.36
1.49.21
*1.49.51.47.48.45
1.50.35.31.12
1.50.43.0.45
1.51.6.40
*1.51.58.27.50.24
1.52.30
*1.53.1.41.2.30
1.53.46.40
1.53.54.22.30
1.55.12
1.55.44.26.40
*1.56.30.30.24
1.56.38.24
1.57.11.15
1.57.57.53.16.48
*1.58.5.52.48
1.58.31.6.40
1.58.39.8.26.15
*1.59.34.27.12.36
2
*2.0.33.47.46.40
*2.1.21.46.40
2.1.30
*2.2.4.13.7.30
*2.2.52.48
2.3.1.7.30
2.3.27.24.26.40
*2.4.16.32.25.36
2.4.24.57.36
2.5
*2.5.58.16.19.12
*2.6.25.11.6.40
2.6.33.45
2.8
*2.8.8.40.18.45
*2.9.27.13.46.40
2.9.36
2.10.12.30
*2.11.4.19.12
*2.11.13.12
*2.11.50.9.22.30
*2.12.42.37.26.24
*2.12.51.36.54
2.13.20
2.15
*2.15.38.1.15
2.16.32
2.16.41.15
*2.18.14.24
*2.18.23.45.56.15
2.18.53.20
*2.19.48.36.28.48
*2.19.58.4.48
2.20.37.30
*2.21.43.3.21.36
*2.22.13.20
2.22.22.58.7.30
2.24
*2.24.40.33.20
2.25.38.8
*2.25.48
*2.26.29.3.45
*2.27.27.21.36
2.27.37.21
2.28.53.20
*2.29.17.57.7.12
*2.29.28.4.0.45
*2.30
*2.30.42.14.43.20
2.31.42.13.20
*2.31.52.30
2.33.36
*2.33.46.24.22.30
2.34.19.15.33.20
2.35.20.40.32
*2.35.31.12
2.36.15
*2.37.17.11.2.24
*2.37.27.50.24
*2.38.1.28.53.20
2.38.12.11.15
*2.39.25.56.16.48
*2.40
*2.41.49.2.13.20
*2.42
*2.42.45.37.30
*2.43.50.24
*2.44.1.30
*2.45.42 3.14.8
2.15.53.16.48
*2.46.4.31.7.30
2.46.40
*2.47.57.41.45.36
2.48.45
*2.49.32.31.33.45
*2.50.40
*2.50.51.33.45
*2.52.48
*2.53.36.40
*2.54.45.45.36
*2.54.57.36
2.55.46.52.30
*2.56.56.49.55.12
*2.57.8.49.12
2.57.46.41
*2.59.21.40.48.54
(3)
Les nombres sexagésimaux réguliers en base 60, commençant par 1 ou 2, à moins de 7 positions.
Les items manquants dans AO6456 portent un astérisque.