Théorie moderne

Le développement d'une théorie moderne du calcul des probabilités est dû à l'introduction d'une théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Emile Borel (1871-1956) a introduit en 1894 la notion d'ensemble de mesure nulle et en 1897 la théorie des ensembles mesurables. On peut définir sur une classe des ensembles ouverts une mesure $\mu$ avec des propriétés de $\sigma$-additivité et de différence. Et en 1901 Henry Lebesgue (1875-1941) a présenté à partir du concept de la mesure une théorie de l'intégration qui est plus générale que celle de Bernhard Riemann (1826-1866). Avec cette définition de l'intégrale on peut définir tous les cas d'espérance mathématique E(X) d'une variable aléatoire X. Daté de 1913 on trouve la théorie de la mesure abstraite définie sur un ensemble $\Omega$ quelconque muni d'une tribu. Borel a publié en 1909 un mémoire sur les probabilités dénombrables. On y trouve la notion de probabilité avec la propriété d'une mesure et la règle d'addition finie devient une règle d'addition dénombrable. A partir de ce travail Lomnicki et Hugo Steinhaus (1887-1972) ont publié en 1923 respectivement ``Nouveaux fondements du calcul des probabilités'' et ``Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mesure''. Aussi dans les années 20 de notre siècle Paul Lévy (1886-1971) et Alexandre Khintchine (1894-1959) ont fondé la théorie moderne des variables aléatoires.
Enfin en 1933 Kolmogorov a publié sa monographie ``Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung'' dans laquelle il a présenté l'axiomatique moderne du calcul des probabilités. On voit aussi apparaître dans la théorie nouvelle des chaînes de Markov d'après Andrei Markov (1856-1922), la théorie des tests fondée par Karl Pearson (1857-1936), Sir Ronald Fisher (1890-1962) et William Gosset (1876-1937) connu sous le nom de Student et la statistique des processus fondée par George Yule (1871-1951).