Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
16
(2004), 1–17
Nombres de Bell et somme de factorielles
par
Daniel BARSKY
et
B´
enali BENZAGHOU
R´
esum´
e.
Dj. Kurepa a conjectur´
e que pour tout nombre pre-
mier impair,
p
, la somme
P
p
−
1
n
=0
n
! n’est pas divisible par
p
. Cette
somme est reli´
ee aux nombres de Bell qui apparaissent en com-
binatoire ´
enum´
erative. Nous donnons une expression du
n
-i`
eme
nombre de Bell modulo
p
comme la trace de la puissance
n
-i`
eme
d’un ´
el´
ement fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degr´
e
p
du
corps premier `
a
p
´
el´
ements. Cette expression permet de d´
emontrer
la conjecture de Kurepa en la ramenant `
a un probl`
eme d’alg`
ebre
lin´
eaire.
Abstract.
Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime
number
p
, the sum
P
p
−
1
n
=0
n
! is not divisible by
p
. This sum is rela-
ted to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics.
We give a formula for the
n
-th Bell number modulo
p
as the trace
of the
n
-th power of a fixed element in the Artin-Schreier exten-
sion of degree
p
of the field with
p
elements. This formula allows us
to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra
problem.
1. Introduction.
Dj. Kurepa a conjectur´
e dans [7] que si
p
est un nombre premier impair,
la somme
κ
p
=
P
p
−
1
n
=0
n
! n’est pas divisible par
p
, par exemple
κ
2
= 2
, κ
3
≡
1
mod 3
, κ
5
≡
4
mod 5
,
κ
7
≡
6
mod 7
, . . . , κ
53
≡
13
mod 53
, . . .
A. Gertsch a remarqu´
e dans sa th`
ese, [4], que les nombres de Bell qui
apparaissent en combinatoire ´
enum´
erative sont li´
es aux
κ
p
(mod
p
). En
effet si l’on note
P
n
le n-i`
eme nombre de Bell alors par d´
efinition
P
n
=
n
X
k
=1
S
(
n, k
)
o`
u
S
(
n, k
) est le nombre de Stirling de deuxi`
eme esp`
ece, cf. [3]. Or
S
(
p
−
1
, k
)
≡
(
p
−
1
−
k
)!
mod
p
Z
,
1
≤
k
≤
p
−
1
Manuscrit re¸
cu le 2 avril 2002.
2
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
et donc
P
p
−
1
−
1
≡
κ
p
.
Nous utilisons cette remarque et les r´
esultats que nous avons sur les
nombres de Bell modulo
p
pour d´
emontrer cette conjecture.
1.1. Notations.
Le
n
-i`
eme nombre de Bell,
P
n
, compte le nombre de
partitions d’un ensemble `
a
n
-´
el´
ements en sous-ensembles non-vides. Leurs
premi`
eres valeurs sont :
P
0
= 1
, P
1
= 1
, P
2
= 2
, P
3
= 5
, P
4
= 15
, P
5
= 52
, . . . , P
15
= 1 382 958 545
Nous notons respectivement
N
=
{
1
,
2
, . . .
}
les entiers naturels,
Z
les entiers
relatifs,
Q
les nombres rationnels.
Soit
p
un nombre premier, que nous supposerons impair sauf indication
contraire. Nous notons
F
p
'
Z
/p
Z
le corps premier `
a
p
´
el´
ements,
F
p
une
clˆ
oture alg´
ebrique de
F
p
. Nous confondrons les ´
el´
ements de
F
p
avec leurs
ant´
ec´
edents dans
Z
par la surjection canonique de
Z
sur
F
p
.
1.2. R´
esultats.
Le r´
esultat principal est la preuve de la conjecture de
Kurepa au th´
eor`
eme 3. Nous montrons au th´
eor`
eme 1 que la fonction
g´
en´
eratrice des nombres de Bell,
F
(
x
) =
X
n
≥
0
P
n
x
n
, est congrue modulo
p
Z
[[
x
]] `
a (la s´
erie de Taylor en z´
ero de) la fraction rationnelle :
(1)
F
p
(
x
) =
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
1
−
x
p
−
1
−
x
p
.
Remarque.
Ce r´
esultat se g´
en´
eralise ais´
ement, on peut montrer que la
s´
erie g´
en´
eratrice des nombres de Bell est congrue modulo
p
h
Z
[[
x
]] `
a une
fraction rationnelle
F
p,h
(
x
). On en d´
eduit des congruences modulo
p
h
Z
pour les nombres de Bell en utilisant un peu d’analyse
p
-adique. Ce point
de vue est d´
evelopp´
e dans [2].
On pose
F
p
(
x
) =
X
n
≥
0
P
n,p
x
n
, on a donc
P
n,p
≡
P
n
(mod
p
Z
). La fraction
rationnelle
F
p
(
x
) poss`
ede un d´
eveloppement en s´
erie de Laurent `
a l’infini
not´
e
X
n
≥
0
−
P
−
n,p
x
n
. On constate que
P
−
1
,p
≡
p
−
1
X
n
=0
n
! (mod
p
Z
).
Soit
θ
−
1
une racine dans
F
p
du polynˆ
ome
x
p
+
x
p
−
1
−
1 et soit
F
p
=
F
p
[
θ
].
On montre au th´
eor`
eme 2 que, si
c
p
= 1 + 2
p
+
· · ·
+ (
p
−
1)
p
p
−
2
, on a pour
n
∈
Z
P
n,p
≡ −
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
−
1+
n
mod
p
Z
Ch. Radoux, [9], avait d´
ej`
a vu que l’extension d’Artin-Schreier
F
p
[
θ
] joue
un rˆ
ole important dans l’arithm´
etique des nombres de Bell.
Nombres de Bell et somme de factorielles
3
Nous en d´
eduisons en particulier que
P
−
1
,p
≡ −
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
−
2
,
donc
P
−
1
,p
≡
0
mod
p
Z
â‡â‡’
Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
−
2
= 0
.
On d´
ecompose
θ
−
c
p
sur la
F
p
-base normale de
F
p
, constitu´
ee par les
´
el´
ements
1
θ
+
i
(0
≤
i
≤
p
−
1). On pose
θ
−
c
p
=
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
+
i
, (
λ
i
∈
F
p
). On
montre au lemme 9 que les
λ
i
satisfont un syst`
eme de
p
´
equations lin´
eaires
que nous ne savons pas r´
esoudre explicitement en toute g´
en´
eralit´
e. Par
contre on montre que l’on a toujours
λ
1
= 0, (cf. relations (16)), et que
κ
p
= 0 ´
equivaut `
a
λ
p
−
1
= 0, (cf. lemme 10).
Pour montrer la conjecture de Kurepa nous raisonnons par l’absurde.
Nous montrons au th´
eor`
eme 3 que, pour
p
premier impair, l’hypoth`
ese
κ
p
≡
0 (mod
p
) implique que
λ
i
= 0 pour 0
≤
i
≤
p
−
1, autrement dit que
θ
−
c
p
= 0, ce qui est absurde car l’´
equation
x
p
−
x
−
1 n’a pas
x
= 0 comme
racine.
Nous remercions A. Robert pour avoir attir´
e notre attention sur ce
probl`
eme. Nous remercions A. Junod et S. Zerroukhat de nous avoir si-
gnal´
e des erreurs graves dans les versions ant´
erieures.
1.3. Rappels sur les nombres de Bell.
Nous rappelons tout d’abord
la d´
efinition des nombres de Bell. Pour toutes les questions de combinatoire
notre r´
ef´
erence est Comtet, cf. [3].
D´
efinition 1.
Le
n
-i`
eme nombre de Bell,
P
n
, est le nombre de partitions
d’un ensemble `
a
n
´
el´
ements en sous-ensembles non-vides.
Lemme 1.
Les nombres de Bell sont caract´
eris´
es par la relation de r´
ecur-
rence suivante :
P
0
= 1
et
P
n
+1
=
n
X
k
=0
n
k
P
k
si
n
≥
0
.
Leur fonction g´
en´
eratrice ordinaire est :
F
(
x
) =
X
n
≥
0
P
n
x
n
=
X
n
≥
0
x
n
(1
−
x
)
. . .
(1
−
nx
)
D´
emonstration :
Pour la d´
emonstration voir [3].
Les nombres de Bell ont de nombreuses autres caract´
erisations, cf. par
exemple [2].
4
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
2.
Nombres de Bell modulo
p
.
Nous notons
P
n,p
la r´
eduction modulo
p
Z
du
n
-i`
eme nombre de Bell que
nous confondrons avec l’image de
P
n
dans
F
p
.
Nous utiliserons dans toute la suite la d´
efinition classique suivante :
D´
efinition 2.
Soient
G
(
x
)
,
H
(
x
)
deux fractions rationnelles de
Q
(
x
)
, on
suppose que
G
(
x
)
et
H
(
x
)
sont d´
eveloppables formellement au voisinage de
z´
ero en s´
eries de Taylor `
a coefficients entiers relatifs :
G
(
x
) =
X
n
≥
0
g
n
x
n
∈
Z
[[
x
]]
,
H
(
x
) =
X
n
≥
0
h
n
x
n
∈
Z
[[
x
]]
.
On dira que
G
(
x
)
est congrue `
a
H
(
x
)
modulo
p
Z
[[
x
]]
si leurs s´
eries de
Taylor en z´
ero le sont, autrement dit :
G
(
x
)
≡
H
(
x
)
mod
p
Z
[[
x
]]
â‡â‡’
X
n
≥
0
g
n
x
n
≡
X
n
≥
0
h
n
x
n
mod
p
Z
[[
x
]]
.
Avec cette d´
efinition on a :
Th´
eor`
eme 1.
Soit
p
un nombre premier et soit
F
p
(
x
) =
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
1
−
x
p
−
1
−
x
p
alors la fonction g´
en´
eratrice des nombres de Bell est congrue modulo
p
Z
[[
x
]]
`
a
F
p
(
x
)
.
D´
emonstration :
La preuve est ´
el´
ementaire. On a :
X
n
≥
0
P
n
x
n
=
X
n
≥
0
x
n
(1
−
x
)
. . .
(1
−
nx
)
=
p
−
1
X
n
=0
X
j
≥
0
x
jp
+
n
(1
−
x
)
. . .
(1
−
(
jp
+
n
)
x
)
donc
X
n
≥
0
P
n
x
n
=
=
p
−
1
X
n
=0
X
j
≥
0
x
n
(1
−
(
jp
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
jp
+
n
)
x
)
·
x
jp
(1
−
x
)
. . .
(1
−
jpx
)
.
On remarque que
x
jp
(1
−
x
)
. . .
(1
−
jpx
)
≡
x
p
(1
−
x
)
. . .
(1
−
px
)
j
mod
p
Z
[[
x
]]
Nombres de Bell et somme de factorielles
5
et que
x
n
(1
−
(
jp
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
jp
+
n
)
x
)
≡
x
n
(1
−
x
)
. . .
(1
−
nx
)
mod
p
Z
[[
x
]]
.
De l`
a il vient imm´
ediatement :
X
n
≥
0
P
n,p
x
n
≡
≡
p
−
1
X
n
=0
x
n
(1
−
x
)
. . .
(1
−
nx
)
X
j
≥
0
x
p
(1
−
x
)
. . .
(1
−
px
)
j
mod
p
Z
[[
x
]]
,
et en sommant la s´
erie g´
eom´
etrique en
j
, il vient finalement :
X
n
≥
0
P
n,p
x
n
≡
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
(1
−
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
−
x
p
mod
p
Z
[[
x
]]
o`
u par convention dans la somme
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
le terme correspondant `
a
n
=
p
−
1 vaut
x
p
−
1
, (on applique la convention
classique : un produit vide vaut 1).
Corollaire 1.
La (s´
erie de Taylor en z´
ero) de la fraction rationnelle
F
p
(
x
)
est congrue modulo
p
Z
[[
x
]]
`
a
(2)
F
p
(
x
)
≡
P
p
−
2
n
=0
P
n,p
x
n
+ (
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
)
x
p
−
1
1
−
x
p
−
1
−
x
p
mod
p
Z
[[
x
]]
D´
emonstration :
On a montr´
e au th´
eor`
eme 1 que
X
n
≥
0
P
n,p
x
n
≡
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
1
−
x
p
−
1
−
x
p
mod
p
Z
[[
x
]]
multiplions les deux membres par 1
−
x
p
−
1
−
x
p
et identifions, il vient :
p
−
2
X
n
=0
P
n,p
x
n
+ (
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
)
x
p
−
1
≡
≡
p
−
1
X
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
mod
p
Z
[[
x
]]
.
On en d´
eduit imm´
ediatement que
F
p
(
x
)
≡
P
p
−
2
n
=0
P
n,p
x
n
+ (
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
)
x
p
−
1
1
−
x
p
−
1
−
x
p
mod
p
Z
[[
x
]]
Nous allons ´
etudier les z´
eros dans
F
p
du d´
enominateur
D
p
(
x
) de la frac-
tion rationnelle
F
p
(
x
).
6
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
Lemme 2.
Soit
D
p
(
x
) = 1
−
x
p
−
1
−
x
p
. Notons
θ
−
1
i
,
1
≤
i
≤
p
, les racines
de
D
p
(
x
)
dans
F
p
, elles v´
erifient
–
θ
p
i
=
θ
i
+ 1
.
–
θ
i
6
=
θ
j
dans
F
p
si
i
6
=
j
.
–
F
p
=
F
p
(
θ
i
)
est une extension d’Artin-Schreier de degr´
e
p
de
F
p
,
dont le groupe de Galois
Gal(
F
p
/
F
p
)
, isomorphe `
a
(
Z
/p
Z
,
+)
, a pour
g´
en´
erateur le Frobenius
σ
p
:
x
7−→
x
p
.
D´
emonstration :
Le polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1 =
x
p
D
p,
1
x
−
1
est `
a racines
simples car
d
dx
D
p,
1
(
x
) = (
px
+ (
p
−
1)
x
)
x
p
−
2
. Il est irr´
eductible sur
F
p
, cf.
[8]. On a
θ
p
i
−
θ
i
−
1 = 0. On v´
erifie que, dans
F
p
, si
θ
est une racine de
x
p
−
x
−
1, alors
θ
+ 1 aussi car :
(
θ
+ 1)
p
−
(
θ
+ 1)
−
1 = (
θ
p
+ 1)
−
(
θ
+ 1) + 1 =
θ
p
−
θ
−
1 = 0
donc dans
F
p
les racines de
D
p,
1
sont
1
θ
,
1
θ
+ 1
,...,
1
θ
+ (
p
−
1)
.
Le polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1 est de type Artin-Schreier et on sait que ces
polynˆ
omes engendrent des extensions s´
eparables de
F
p
, dont le groupe de
Galois Gal(
F
p
/
F
p
), isomorphe `
a (
Z
/p
Z
,
+), est engendr´
e par le Frobenius
σ
p
:
x
7→
x
p
, cf. [8].
Nous allons donner une expression des nombres de Bell modulo
p
au th´
eo-
r`
eme 1 comme la trace de certaines puissances de
θ
. Pour les propri´
et´
es des
corps finis notre r´
ef´
erence est [8].
Dans le lemme suivant nous donnons quelques propri´
et´
es ´
el´
ementaires
des racines
θ
du polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1 dans
F
p
.
Lemme 3.
Soit
θ
une racine du polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1
dans
F
p
. Les autres
racines dans
F
p
de ce polynˆ
ome sont
θ
+
i
pour
1
≤
i
≤
p
−
1
. On a :
Tr
F
p
/
F
p
(
θ
i
) = 0
pour
0
≤
i
≤
p
−
2
,
−
Tr
F
p
/
F
p
(
θ
−
1
) = Tr
F
p
/
F
p
(
θ
p
−
1
) = 1
.
Posons :
t
p
=
p
p
−
1
p
−
1
= 1 +
p
+
· · ·
+
p
p
−
1
,
c
p
=
p
p
−
t
p
p
−
1
= 1 + 2
p
+
· · ·
+ (
p
−
1)
p
p
−
2
,
Notons encore,
σ
p
:
x
7−→
x
p
, le Frobenius absolu de
F
p
. Avec ces notations
on a dans
F
p
:
θ
p
s
=
σ
s
p
(
θ
) =
θ
+
s,
θ
t
p
= 1
(3)
nθ
c
p
p
−
1
=
θ
(4)
σ
s
p
θ
c
p
=
θ
c
p
·
θ
(
θ
+ 1)
. . .
(
θ
+
s
−
1)
.
(5)
Nombres de Bell et somme de factorielles
7
D´
emonstration :
On a vu que le polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1 engendre une ex-
tension d’Artin-Schreier,
F
p
=
F
p
[
θ
] de
F
p
. Un g´
en´
erateur de Gal(
F
p
/
F
p
)
est le Frobenius absolu,
σ
p
, qui `
a
a
∈
F
p
associe
σ
p
(
a
) =
a
p
. On a bien
´
evidemment dans
F
p
:
σ
i
p
(
θ
) =
θ
p
i
=
θ
+
i
pour
i
∈
Z
,
et
(
θ
+
i
)
p
−
(
θ
+
i
)
−
1 = 0
Tr
F
p
/
F
p
(1) = Tr
F
p
/
F
p
(
θ
) =
. . .
= Tr
F
p
/
F
p
(
θ
p
−
2
) = 0
Tr
F
p
/
F
p
(
θ
p
−
1
) = Tr
F
p
/
F
p
1
θ
+ 1
−
1
= Tr
F
p
/
F
p
1
θ
et il est ´
evident que
T r
F
p
/
F
p
1
θ
=
−
1 car le polynˆ
ome r´
eciproque de
x
p
−
x
−
1 est
x
p
+
x
p
−
1
−
1.
La norme de
θ
sur
F
p
est par d´
efinition :
N
F
p
/
F
p
(
θ
) =
θ
1+
p
+
···
+
p
p
−
1
=
θ
t
p
cette norme vaut 1 car le polynˆ
ome minimal de
θ
est
x
p
−
x
−
1. Donc
l’application
N
−→
F
p
n
7−→
θ
n
est p´
eriodique de p´
eriode divisant
t
p
, par cons´
equent
θ
c
p
p
−
1
=
θ
p
p
−
t
p
=
θ
.
Un calcul ´
el´
ementaire montre que
c
p
=
p
p
−
t
p
p
−
1
= 1+2
p
+
· · ·
+(
p
−
1)
p
p
−
2
∈
N
.
Consid´
erons l’´
el´
ement
θ
c
p
de
F
p
, alors :
σ
p
θ
c
p
=
θ
pc
p
=
θ
p
·
pp
−
tp
p
−
1
=
θ
c
p
+
p
p
−
t
p
=
θ
c
p
×
θ
p
p
=
θ
c
p
×
θ .
On montre alors facilement par r´
ecurrence que :
σ
s
p
θ
c
p
=
θ
c
p
×
θ
(
θ
+ 1)
. . .
(
θ
+
s
−
1)
.
Remarque.
La relation
θ
c
p
p
−
1
=
θ
montre que
θ
c
p
est une racine (
p
−
1)-
i`
eme de
θ
dans
F
p
, les racines (
p
−
1)-i`
emes de
θ
sont exactement les
nθ
c
p
pour 1
≤
n
≤
p
−
1.
Lemme 4.
Soit
θ
une racine dans
F
p
du polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1
et soit
F
p
(
x
) =
X
θ
p
=
θ
+1
µ
θ
1
−
θx
la d´
ecomposition de
F
p
(
x
)
en ´
el´
ements simples dans
F
p
(
x
)
. On a :
(6)
µ
θ
=
−
θ
−
c
p
−
1
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
=
=
−
(
P
0
,p
·
θ
p
−
1
+
. . .
+
P
1
,p
·
θ
+ (
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
))
.
8
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
D´
emonstration :
On a dans
F
p
:
µ
θ
=
P
p
−
1
n
=0
θ
−
n
(1
−
(
n
+ 1)
θ
−
1
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
θ
−
1
)
−
θ
1
−
p
.
Donc :
µ
θ
=
−
p
−
1
X
n
=0
(
θ
−
(
n
+ 1))
. . .
(
θ
−
(
p
−
1)) =
−
p
−
1
X
n
=0
(
θ
+ 1)
. . .
(
θ
+
n
)
avec la convention que pour
n
= 0 le terme correspondant dans la derni`
ere
somme vaut 1.
D’apr`
es la relation (5) on a
µ
θ
=
−
θ
−
c
p
−
1
θ
c
p
1 +
θ
+
θ
(
θ
+ 1) +
· · ·
+
θ
(
θ
+ 1)
. . .
(
θ
+
p
−
2)
=
−
θ
−
c
p
−
1
p
−
1
X
i
=0
σ
i
p
θ
c
p
=
−
θ
−
c
p
−
1
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
.
On a aussi d’apr`
es le corollaire 1 :
µ
θ
=
−
P
0
,p
·
θ
p
−
1
+
P
1
,p
·
θ
p
−
2
+
· · ·
+
P
p
−
2
,p
·
θ
+ (
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
)
.
D´
efinition 3.
La fraction rationnelle
F
p
(
x
)
∈
F
p
(
x
)
poss`
ede un d´
eveloppe-
ment de Laurent au voisinage de l’infini que l’on note :
(7)
F
p
(
x
) =
−
X
n
≥
1
P
−
n,p
x
n
.
En effet on a
F
p
(
x
) =
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
x
(
n
+ 1))
. . .
(1
−
x
(
p
−
1))
1
−
x
p
−
1
−
x
p
=
1
x
P
p
−
1
n
=0
(
x
−
1
−
x
(
n
+ 1))
. . .
(
x
−
1
−
(
p
−
1))
x
−
p
−
x
−
1
−
1
il est clair que l’on peut d´
evelopper cette derni`
ere expression en s´
erie de
Laurent.
Th´
eor`
eme 2.
On a dans
F
p
, pour
n
∈
Z
(8)
P
n,p
=
−
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
·
Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
−
1+
n
.
D´
emonstration :
On tire du lemme 4 que dans
F
p
on a pour
n
∈
Z
:
P
n,p
=
X
θ
p
=
θ
+1
µ
θ
θ
n
.
Le lemme 4 permet d’´
ecrire l’expression pr´
ec´
edente sous la forme
P
n,p
=
−
X
θ
p
=
θ
+1
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
·
θ
−
c
p
−
1+
n
.
Nombres de Bell et somme de factorielles
9
Or les racines du polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1 dans
F
p
se d´
eduisent de l’une d’entre
elle par l’action des puissances successives du Frobenius. On en d´
eduit que
dans
F
p
on a :
P
n,p
=
−
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
−
1+
n
,
d’o`
u la formule (8).
3.
Preuve de la conjecture de Kurepa.
Posons pour tout nombre premier
κ
p
=
P
p
−
1
n
=0
n
!. Nous sommes mainte-
nant en mesure de d´
emontrer la conjecture de Dj. Kurepa, cf. [7] :
κ
p
n’est pas divisible par
p
si
p >
2.
Lemme 5.
Avec les notations pr´
ec´
edentes on a dans
F
p
:
P
−
1
,p
=
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
,
et
P
−
1
,p
=
p
−
1
X
n
=0
n
! =
κ
p
D´
emonstration :
On a vu au corollaire 1 que dans
F
p
,
F
p
(
x
) =
P
0
,p
+
P
1
,p
x
+
· · ·
+
P
p
−
2
,p
x
p
−
2
+ (
P
p
−
1
,p
−
P
0
,p
)
x
p
−
1
1
−
x
p
−
1
−
x
p
d’o`
u la premi`
ere expression de
P
−
1
,p
(comparer avec l’introduction).
Pour la deuxi`
eme expression, soit
F
p
(
x
) =
P
p
−
1
n
=0
x
n
(1
−
(
n
+ 1)
x
)
. . .
(1
−
(
p
−
1)
x
)
1
−
x
p
−
1
−
x
p
,
d’apr`
es la d´
efinition 3 cette fraction rationnelle poss`
ede un d´
eveloppement
en s´
erie de Laurent not´
e :
F
(
x
) =
−
X
n
≥
1
P
−
n,p
x
n
. On a donc par identification :
(9)
P
−
1
,p
=
p
−
1
X
n
=0
(
−
1)
p
−
n
−
1
(
n
+ 1)(
n
+ 2)
. . .
(
p
−
1)
En rempla¸
cant
n
par
p
−
(
p
−
n
) dans l’expression pr´
ec´
edente il vient
P
−
1
,p
=
p
−
1
X
n
=0
(
−
1)
p
−
(
n
+1)
(
p
−
(
p
−
(
n
+ 1))(
p
−
(
p
−
(
n
+ 2))
. . .
2
·
1
et en r´
eduisant modulo
p
il vient
P
−
1
,p
≡
p
−
1
X
n
=0
n
!
(mod
p
)
d’o`
u le r´
esultat.
10
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
Lemme 6.
Les ´
el´
ements de
F
p
,
1
θ
+
i
(
0
≤
i
≤
p
−
1
), forment une
F
p
-base
normale de
F
p
. Si
Z
∈
F
p
et si
Z
=
p
−
1
X
i
=0
α
i
θ
+
i
, (
α
i
∈
F
p
), alors
α
i
= Tr
F
p
/
F
p
Z
θ
+
i
et
Tr
F
p
/
F
p
(
Z
) =
−
p
−
1
X
i
=0
α
i
D´
emonstration :
On remarque tout d’abord que par d´
efinition les
1
θ
+
i
,
0
≤
i
≤
p
−
1, sont les racines dans
F
p
du polynˆ
ome
−
D
p
(
x
) =
x
p
+
x
p
−
1
−
1
et donc
(10)
Tr
F
p
/
F
p
1
θ
+
i
=
−
1
Par ailleurs on a
Tr
F
p
/
F
p
1
(
θ
+
i
)
2
= Tr
F
p
/
F
p
1
(
θ
+
i
)
2
−
2
X
0
≤
i<j
≤
p
−
1
1
(
θ
+
i
)(
θ
+
j
)
= 1
Si
p
≥
3 le coefficient de
x
p
−
2
dans
D
p
(
x
) est nul donc :
X
0
≤
i<j
≤
p
−
1
1
(
θ
+
i
)(
θ
+
j
)
= 0
ce qui entraˆıne
Tr
F
p
/
F
p
1
(
θ
+
i
)
2
= 1
.
Si
p
= 2 on a
1
θ
2
=
1
θ
+ 1
et donc Tr
F
p
/
F
p
1
(
θ
+
i
)
2
= 1 dans
F
2
.
Par ailleurs on a
Tr
F
p
/
F
p
1
θ
+
i
·
1
θ
+
j
=
=







1
i
−
j
Tr
F
p
/
F
p
1
θ
+
j
−
Tr
F
p
/
F
p
1
θ
+
i
,
si 0
≤
i < j
≤
p
−
1
Tr
F
p
/
F
p
1
(
θ
+
i
)
2
,
si 0
≤
i
=
j
≤
p
−
1
.
Finalement on a montr´
e que :
(11)
Tr
F
p
/
F
p
1
θ
+
i
·
1
θ
+
j
=
(
0
si
0
≤
i < j
≤
p
−
1
1
si
0
≤
i
=
j
≤
p
−
1
.
Nombres de Bell et somme de factorielles
11
Autrement dit les
1
θ
+
i
, 0
≤
i
≤
p
−
1, forment une base auto-duale
pour la forme bilin´
eaire non d´
eg´
en´
er´
ee sur
F
p
,
h
x, y
i
= Tr
F
p
/
F
p
(
xy
) cf. [8].
On tire imm´
ediatement de la relation (11)
α
i
= Tr
F
p
/
F
p
Z
θ
+
i
On peut remarquer de mani`
ere alternative que dans
F
p
:
1
θ
+
i
= (
θ
+
i
)
p
−
1
−
1 = (
θ
+
i
+ 1)(
θ
+
i
+ 2)
. . .
(
θ
+
i
+
p
−
1)
.
Autrement dit les
1
θ
+
i
, 0
≤
i
≤
p
−
1, sont au coefficient
−
1 pr`
es les
valeurs en
θ
des polynˆ
omes d’interpolation de Lagrange sur les points 0,
1,...
p
−
1, ce qui suffit `
a montrer qu’ils forment une
F
p
-base de
F
p
.
On tire imm´
ediatement de la relation (10) que si
Z
∈
F
p
avec
Z
=
p
−
1
X
i
=0
α
i
θ
+
i
, (
α
i
∈
F
p
) alors Tr
F
p
/
F
p
(
Z
) =
−
p
−
1
X
i
=0
α
i
.
Remarque.
Tous les calculs qui suivent sont faits dans
F
p
.
Lemme 7.
On a l’´
equivalence i)
â‡â‡’
ii)
i):
la constante de Kurepa,
κ
p
= 0! + 1! +
· · ·
+ (
p
−
1)!
, est premi`
ere `
a
p
ii):
Tr
F
p
/
F
p
1
θ
c
p
(
θ
−
1)
6
= 0
D´
emonstration :
On a vu au lemme 5 que
κ
p
≡
0
mod
p
â‡â‡’
P
−
1
,p
≡
0
mod
p
et au th´
eor`
eme 2 que
P
−
1
,p
=
−
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
·
Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
−
2
.
Or
−
Tr
F
p
/
F
p
θ
c
p
6
= 0 dans
F
p
, par exemple parce que
P
0
,p
= 1, (on
peut en fait calculer sa valeur en fonction de
p
). On a donc n´
ecessairement
κ
p
= 0
â‡â‡’
Tr
F
p
/
F
p
(
θ
−
c
p
−
2
) = 0
.
Or d’apr`
es le lemme 3 on a
θ
−
c
p
−
2
=
θ
−
pc
p
θ
−
1
=
σ
p
θ
−
c
p
(
θ
−
1)
−
1
, et il
est ´
evident que
Tr
F
p
/
F
p
(
θ
−
c
p
−
2
) = Tr
F
p
/
F
p
σ
p
θ
−
c
p
(
θ
−
1)
−
1
= Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
(
θ
−
1)
−
1
.
Nous allons calculer les composantes
λ
i
, 0
≤
i
≤
p
−
1, de
θ
−
c
p
sur la
F
p
-base de
F
p
,
1
θ
+
i
, 0
≤
i
≤
p
−
1 sous l’hypoth`
ese
κ
p
= 0. Nous allons
montrer que sous cette hypoth`
ese les coefficients
λ
i
sont tous nuls ce qui
12
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
contredit ´
evidemment
θ
−
c
p
−
2
6
= 0, puisque
θ
6
= 0 en tant que racine du
polynˆ
ome
x
p
−
x
−
1.
Lemme 8.
On pose
θ
−
c
p
=
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
+
i
o`
u
λ
i
∈
F
p
. On a
(12)
λ
i
= Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
(
θ
+
i
)
−
1
.
D´
emonstration :
D’apr`
es le lemme 6,
λ
i
= Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
θ
+
i
.
Lemme 9.
Si
p >
2
, les composantes
λ
i
de
θ
−
c
p
sur la
F
p
-base
(
θ
+
i
)
−
1
v´
erifient les relations
p
−
1
X
i
=1
λ
i
i
−
λ
0
=
λ
p
−
1
(13)



























λ
0
−
λ
1
=
λ
0
λ
0
2
−
λ
2
2
=
λ
1
..
.
,
λ
0
i
−
λ
i
i
=
λ
i
−
1
..
.
λ
0
p
−
1
−
λ
p
−
1
p
−
1
=
λ
p
−
2
(14)
en particulier si
p >
2
on a toujours
λ
1
= 0
(Si
p
= 2
on a
c
2
= 1
et donc
θ
−
c
2
=
θ
−
1
).
D´
emonstration :
On a en effet, d’apr`
es le lemme 3, la relation
θ
−
c
p
−
1
=
θ
−
pc
p
que l’on va exprimer dans la
F
p
-base de
F
p
, (
θ
+
i
)
−
1
(0
≤
i
≤
p
−
1).
On a d’une part d’apr`
es le lemme 3
(15)
θ
−
pc
p
=
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
+
i
+ 1
.
On a d’autre part
θ
−
c
p
−
1
=
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
(
θ
+
i
)
=
λ
0
θ
2
+
p
−
1
X
i
=1
λ
i
θ
(
θ
+
i
)
.
Or on a vu au lemme 3 que Tr
F
p
/
F
p
1
θ
=
−
1, et donc :
−
1 =
p
−
1
X
i
=0
1
θ
+
i
=
⇒ −
1
θ
=
p
−
1
X
i
=0
1
θ
(
θ
+
i
)
Nombres de Bell et somme de factorielles
13
par cons´
equent
−
1
θ
=
1
θ
2
+
p
−
1
X
i
=1
1
θ
(
θ
+
i
)
=
1
θ
2
+
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
θ
−
i
−
1
θ
+
i
autrement dit
1
θ
2
=
1
θ
−
1
−
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
+
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
θ
+
i
.
Or si
p >
2 on a
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
= 0 dans
F
p
et si
p
= 2 on a
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
= 1, donc
finalement
1
θ
2
=









−
1
θ
+
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
θ
+
i
si
p >
2
1
θ
+ 1
si
p
= 2
.
De cette relation on tire imm´
ediatement que si
p >
2
(16)
θ
−
c
p
−
1
=
1
θ
p
−
1
X
i
=1
λ
i
i
−
λ
0
+
p
−
1
X
i
=1
λ
0
i
−
λ
i
i
1
θ
+
i
.
La rapprochement des relations (15) et (16) donne si
p >
2
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
+
i
+ 1
=
1
θ
p
−
1
X
i
=1
λ
i
i
−
λ
0
+
p
−
1
X
i
=1
λ
0
i
−
λ
i
i
1
θ
+
i
.
et en identifiant les coefficients de (
θ
+
i
)
−
1
dans les deux membres on
obtient les relations annonc´
ees.
La relation
λ
0
−
λ
1
=
λ
0
implique
λ
1
= 0. Le cas
p
= 2 se traite directe-
ment.
Lemme 10.
Avec les notations du lemme 8 on a
κ
p
= 0
â‡â‡’
λ
p
−
1
= 0
D´
emonstration :
Par d´
efinition on a
θ
−
c
p
=
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
+
i
. D’apr`
es le lemme 8
on a
λ
i
= Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
(
θ
+
i
)
−
1
, en particulier
λ
p
−
1
= Tr
F
p
/
F
p
θ
−
c
p
(
θ
−
1)
−
1
et donc
λ
p
−
1
=
κ
p
d’apr`
es le lemme 7.
Th´
eor`
eme 3.
Pour
p
premier impair la constante de Kurepa,
κ
p
= 0! +
1! +
· · ·
+ (
p
−
1)!
, est premi`
ere `
a
p
(pour
p
= 2
κ
2
= 2
).
14
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
D´
emonstration :
On v´
erifie directement que
κ
2
= 0!+1! = 2. On supposera
donc dans toute la suite de la d´
emonstration que
p >
2.
On garde les notations du lemme 9. On pose donc
θ
−
c
p
=
p
−
1
X
i
=0
λ
i
θ
+
i
,
λ
i
∈
F
p
.
On raisonne par l’absurde en supposant que pour
p >
2 on a
κ
p
≡
0
(mod
p
). D’apr`
es le lemme 10 on a alors
λ
p
−
1
= 0. En tenant compte de la
relation
λ
p
−
1
= 0, le lemme 9 donne alors la relation
(17)
p
−
1
X
i
=1
λ
i
i
−
λ
0
= 0
.
Posons
X
0
=
λ
0
,
et
X
i
=
λ
0
−
λ
i
i
,
pour 1
≤
i
≤
p
−
1
.
Avec ces nouvelles inconnues le syst`
eme (13) et (14) devient sous les hy-
poth`
eses
p >
2 et
κ
p
= 0, (
⇔
λ
p
−
1
= 0) :
p
−
1
X
i
=1
X
i
=
X
0
(18)





















X
1
=
X
0
X
2
=
−
X
1
+
X
0
X
3
=
−
2
X
2
+
X
0
..
.
X
i
=
−
(
i
−
1)
X
i
−
1
+
X
0
..
.
X
p
−
1
=
−
(
p
−
2)
X
p
−
2
+
X
0
.
(19)
– La relation (18) provient de la relation (17) et de la remarque suivante :
si
p >
2 alors
p
−
1
X
i
=1
1
i
= 0 et donc
p
−
1
X
i
=1
λ
i
i
−
λ
0
=
p
−
1
X
i
=1
λ
i
−
λ
0
i
−
λ
0
.
– Les relations (19) proviennent des relations (14) par un simple chan-
gement de variable.
Remarque.
L’hypoth`
ese
κ
p
= 0 n’est pas utilis´
ee pour les relations (19)
par contre elle l’est pour la relation (18)
Nombres de Bell et somme de factorielles
15
On tire facilement par r´
ecurrence des relations (19) que pour
p >
2 :
(20)



































X
1
=
X
0
X
2
=
X
0
(1
−
1)
X
3
=
X
0
(1
−
2 + 2
·
1)
X
4
=
X
0
(1
−
3 + 3
·
2
−
3
·
2
·
1)
..
.
X
i
−
1
=
X
0
n
1
−
P
i
−
3
k
=0
(
−
1)
k
(
i
−
2)(
i
−
3)
. . .
(
i
−
2
−
k
)
o
X
i
=
X
0
n
1
−
P
i
−
2
k
=0
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
1
−
k
)
o
..
.
X
p
−
1
=
X
0
n
1
−
P
p
−
3
k
=0
(
−
1)
k
(
p
−
2)
. . .
(
p
−
2
−
k
)
o
.
En effet faisons l’hypoth`
ese de r´
ecurrence :
– Pour 2
≤
i
≤
p
−
1 on a
X
i
=
X
0
n
1
−
i
−
2
X
k
=0
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
1
−
k
)
o
.
On v´
erifie directement que pour
i
= 2 on a bien
X
2
=
X
0
(1
−
1) = 0. Les
relations (19) donnent en tenant compte de l’hypoth`
ese de r´
ecurrence :
X
i
+1
=
−
i
·
X
0
n
1
−
i
−
2
X
k
=0
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
1
−
k
)
o
+
X
0
=
X
0
n
1
−
i
+
i
−
2
X
k
=0
(
−
1)
k
i
·
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
1
−
k
)
o
=
X
0
n
1
−
i
−
1
X
k
=0
(
−
1)
k
i
·
(
i
−
1)
. . .
(
i
−
k
)
o
.
Les relations (20) sont d´
emontr´
ees.
Avec la convention habituelle qu’un produit vide vaut 1, il vient si
d
≥
i
−
2 :
1
−
i
−
2
X
k
=0
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
k
) =
−
i
−
2
X
k
=
−
1
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
k
) =
=
−
d
X
k
=
−
1
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
k
) =
−
+
∞
X
k
=
−
1
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
k
)
.
16
Daniel
Barsky
, B´
enali
Benzaghou
Ajoutons membre `
a membre les relations (20) il vient :
p
−
1
X
i
=1
X
i
=
−
X
0
n
p
−
1
X
i
=1
p
−
2
X
k
=
−
1
(
−
1)
k
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
1
−
k
)
o
=
−
X
0
n
p
−
2
X
k
=
−
1
(
−
1)
k
p
−
1
X
i
=1
(
i
−
1)(
i
−
2)
. . .
(
i
−
k
)
o
.
Or, toujours avec la convention qu’un produit vide vaut 1, on a :











p
−
1
X
i
=1
(
i
−
1)
. . .
(
i
−
k
) =
−
1 = 0!
p
−
1
1
,
si
k
= 0
k
!
p
−
1
X
i
=1
i
−
1
k
=
k
!
p
−
2
X
i
=0
i
k
=
k
!
p
−
1
k
+ 1
,
si 1
≤
k
≤
p
−
2
.
Comme
p
−
1
k
+ 1
= (
−
1)
k
+1
dans
F
p
, on a :
p
−
1
X
i
=1
X
i
=
−
X
0
p
−
2
X
k
=
−
1
(
−
1)
k
k
!
p
−
1
k
+ 1
=
X
0
p
−
1
X
k
=0
k
!
=
X
0
·
κ
p
.
On vient donc de montrer que :
(21)
(
p >
2 et
κ
p
= 0) =
⇒
p
−
1
X
i
=1
X
i
= 0
et donc en comparant la relation (21) avec la relation (18) il vient :
(22)
(
p >
2 et
κ
p
= 0) =
⇒
X
0
= 0
.
Or
X
0
=
λ
0
, reportons la valeur
λ
0
= 0 dans les relations (14) il vient
imm´
ediatemment en utilisant la relation
λ
1
= 0 donn´
ee au lemme 9 :
(23)
(
p >
2 et
κ
p
= 0) =
⇒
0 =
λ
0
=
λ
1
=
λ
2
=
· · ·
=
λ
p
−
2
=
λ
p
−
1
.
On a donc montr´
e que :
(24)
(
p >
2 et
κ
p
= 0) =
⇒
θ
−
c
p
= 0
ce qui est absurde car
θ
6
= 0 puisqu’il est racine de
x
p
−
x
−
1 = 0. La
d´
emonstration de la conjecture de Kurepa est compl`
ete.
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. C. R. Acad Sc. Paris s´
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Y. Amice
,
Ph. Robba
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ann´
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e n
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Daniel
Barsky
Universit´
e Paris 13
Institut Galil´
ee
LAGA, URA CNRS n
â—¦
742
Av J.-B. Cl´
ement
F-93430 VILLETANEUSE, France
E-mail
:
barsky@math.univ-paris13.fr
B´
enali
Benzaghou
USTHB
Facult´
e de Math´
ematiques
El Alia BP 32
Bab Ezzouar
1611 ALGER, Alg´
erie
E-mail
:
benrect@wissal.dz