Qu'est-ce qu'un mathématicien ?

Notice

Date de diffusion

18-12-1966

Titre Collection

Un certain regard

Résumé

André Lichnerowicz, professeur au Collège de France, explique ce que signifie être mathématicien et faire de la recherche en mathématique. Il expose l'intérêt des recherches en algèbre pour l'ensemble des disciplines scientifiques.

Société de programme

ORTF, 1ère chaîne

Themes

• Sciences et techniques > Mathématiques

Personnalités

Bourbaki, Nicolas / Lichnerowicz, André / Schaeffer, Pierre / Janot, Raymond / Tréguer, Michel / Kahane, Roger

Lieux

• Europe > France > Ile-de-France > Paris

Contexte Historique

Les mathématiques françaises, au moment où s'exprime André Lichnerowicz, au milieu des années 1960, connaissent une très grande renommée, caractérisée par l'audience de leurs publications. Depuis 1945, plusieurs mathématiciens ont été consacrés par la médaille Fields, équivalent du prix Nobel de mathématiques.

Pour introduire au travail d'un mathématicien, André Lichnerowicz choisit de présenter une branche des mathématiques : l'algèbre. Encore aujourd'hui, l'algèbre au sens courant et dans l'enseignement primaire et secondaire désigne le calcul et la résolution d'équations. Or, depuis le milieu du XIXe siècle, l'algèbre est l'étude des ensembles. A partir de lois de composition simples, elle détermine des structures algébriques dont elle étudie les propriétés. Parmi ces structures algébriques, on trouve les groupes, ensembles d'éléments disposant des mêmes propriétés. De même, l'algèbre permet de dégager les ensembles plus complexes, disposant de propriétés plus élaborées, que sont les espaces vectoriels : leur étude relève d'une partie de l'algèbre dite " linéaire ".

L'intérêt de l'algèbre est qu'elle a permis de généraliser les raisonnements à l'ensemble des structures algébriques de même nature, sans plus se soucier de la nature des éléments qui composent les ensembles. C'est pourquoi elle joue un rôle essentiel dans presque tous les domaines des mathématiques, en physique et en mécanique quantique et constitue un des fondements des mathématiques actuelles. André Lichnerowicz insiste beaucoup sur l'unité de " la " mathématique moderne. L'idée que les mathématiques sont une matière unifiée vient de Nicolas Bourbaki, qui forge ce terme de " mathématique " au singulier. Sous le pseudonyme de Bourbaki, se cache un "mathématicien collectif" fondé en 1935 par un groupe d'élèves de l'Ecole Normale Supérieure, insatisfaits de l'enseignement des mathématiques de leur temps. En effet, la saignée faite par la Première Guerre Mondiale dans les rangs des mathématiciens avait causé un décalage entre l'avancée de la recherche en mathématique et la forme d'exposition des cours à l'Université, à leurs yeux très peu satisfaisante.

Ce groupe de mathématiciens choisit de reformuler toute la mathématique de leur temps en un ouvrage clair, qui devrait être accessible à un lecteur n'ayant aucune connaissance mathématique particulière. En référence à l'ouvrage du philosophe grec, Euclide, qui avait longtemps constitué le manuel de géométrie, leurs Eléments de mathématique distingue ainsi toutes les "structures" mathématiques fondamentales, qui permettent de constituer l'architecture de la discipline, structures qu'ils classent selon leur degré de complexité. Ce long travail de classement organise pendant plus de 30 ans l'activité des mathématiciens, qui, après s'être intéressés à l'algèbre et à la topologie, élaborent une description des espaces vectoriels, qui sont une combinaison des deux premiers volumes. Une autre particularité importante du groupe fut le recours systématique à un vocabulaire courant pour désigner des concepts mathématiques. Parallèlement à cette activité d'axiomatique, ou recherche des principes, ils organisent la recherche dans le cadre d'un séminaire collectif, où ils tentent la synthèse de résultats récents, dans l'objet de les intégrer à terme aux Eléments de mathématique. Le langage formel très rigide des Eléments conduisent Bourbaki à abandonner partiellement la complétion de l'ouvrage, au profit de la publication de petits fascicules qui rendent compte de la recherche en mathématique depuis les années 1950.

A partir de cette date, l'enseignement des mathématiques est profondément renouvelé à l'Université française, sous son influence. L'influence de Nicolas Bourbaki a été extrêmement importante et a servi tant la communauté mondiale des mathématiciens comme vecteur d'unification que les applications. Elle est aujourd'hui en perte de vitesse dans la recherche mathématique, en raison de la complexité de la composition des 24 volumes de l'ouvrage, qui les rendent peu accessibles, et du développement d'autres méthodes de travail.

Bibliographie :

Nicolas Bourbaki, Eléments de mathématique, Paris, Hermann, puis Masson, 24 vol.

Eclairage Média

L'émission " Quatre savants, une science " est une production du Service de la Recherche. Le Service de la Recherche de l'ORTF est créé en 1960, sous la direction de Pierre Schaeffer : son objet est de créer les formes du nouveau média audiovisuel. Réunissant autour de lui des " artistes ayant le goût de la technique, aussi bien que des techniciens ayant des dons artistiques ", des " esprits originaux " (Raymond Janot, directeur de l'ORTF).

Le magazine " Un certain regard " est emblématique des productions du Service de la recherche. Disposant d'une plage de diffusion mensuelle, elle propose des sujets très variés. C'est à Michel Tréguer, de formation polytechnicienne, et à Roger Kahane que Pierre Schaeffer a confié la réalisation d'une émission originale présentant la science contemporaine. L'émission fut saluée pour son effort de réduire la distance entre la science et les savants et le grand public. Le choix des réalisateurs s'est porté sur un intervenant qui s'exprime de façon limpide et décontractée, mobile devant la caméra, dans le cadre familier de sa salle de classe. Le tableau noir, attribut du professeur, n'est pas couvert d'équations incompréhensibles : loin d'être rébarbatif, il sert au mathématicien pour souligner quelques termes de son propos.

Dans cette émission où l'entretien avec un savant est central, il faut souligner la qualité esthétique du documentaire, qui caractérise les productions du Service de la Recherche.

Transcription

Journaliste

Première question, qu'est-ce que c'est qu'un mathématicien ?

André Lichnerowicz

Un mathématicien, c'est d'abord un monsieur qui passe sa vie, je dirais en employant le mot classique, à sécher. Vous avez les journées de 4 heures et les journées de 18, journées où vous n'arrivez plus à vous extraire de l'obsession mathématique et, où jour après jour durant 3 ou 4 semaines, vous dormez si j'ose dire et vous déjeunez avec vos obsessions mathématiques. Le mathématicien n'ayant pas contrairement à ce qu'on croit généralement besoin même dans la plus grande partie de son stade de recherche, ni du tableau noir, ni de la craie, ni du papier, ni du crayon et pouvant travailler seul en marchant ou même quelque fois à travers la conversation avec un interlocuteur banal qui l'ennuie.

Journaliste

André Lichnerowicz est mathématicien, professeur au Collège de France. Certains mots de son vocabulaire, ceux de groupe et d'espace vectoriel, sont peut-être étrangers à beaucoup d'entre vous mais c'est sans importance ici. Les mathématiciens sont les architectes de la connaissance, d'un monceau de pierres en désordre, ils font un édifice parfaitement équilibré et structuré. Ecoutez comment vit et se bâtit cette mathématique qui fournit à la science son cadre logique et comme aime à le dire André Lichnerowicz, ses instruments de pensée.

André Lichnerowicz

Une des bases de la mathématique moderne est de se rendre compte que dans des branches extrêmement différentes avec des objets mathématiques extrêmement différents, on rencontre le même type de raisonnement et on va le ramener non pas au même type mais au même raisonnement. C'est-à-dire que chaque fois que l'on fera simplement dire la même chose dans des langages différents et bien, on essaiera de choisir un langage tel qu'on le dise une fois pour toute et qu'on ne le répète plus, c'est à quoi sert cette notion de groupe, par exemple. Un autre exemple extrêmement utile et qui est la base de tout ce que l'humain appelle linéaire, c'est la notion d'espace vectoriel. Ce sont en fait des notions qui sont extrêmement simples, nous les appelons en mathématiques modernes, des structures élémentaires, justement parce que elles servent, si j'ose dire, de pièces élémentaires dans le mécano que constitue la mathématique moderne.

Journaliste

Est-ce qu'on peut imaginer ce que serait devenu la physique, par exemple, si on n'avait pas dégagé ces abstractions là ?

André Lichnerowicz

Et bien, la physique, elle aurait probablement été également la même, seulement elle aurait été beaucoup plus longue car c'est une opération d'économie de pensée. Ayant dégagé ces notions, on a étudié systématiquement tout ce qu'elles impliquent d'un seul coup quel que soit le contenu qu'on met dans ces ensembles, ceci une fois pour toute et on l'utilise une fois pour toute. La physique, si elle avait pas dégagé ces notions, aurait été à refaire indéfiniment des raisonnements de même forme qui au fond auraient été le même raisonnement.

Journaliste

Est-ce que par jeu, vous pourriez imaginer une recherche mathématique à coup sûr inutile ?

André Lichnerowicz

Je ne suis jamais sûr.

Journaliste

Non mais justement.

André Lichnerowicz

Personnellement, je suis pour moitié un mathématicien pur, c'est-à-dire inutile et un physicien-mathématicien, c'est-à-dire présumé utile. Je n'arrive pas moi-même toujours à très bien distinguer l'un de l'autre dans mon pauvre esprit. Et je fais des mathématiques, pour une part, qui sont pour le moment complètement inutiles et inutilisables en toutes perspectives de la communauté des mathématiciens. Mais que se passera t-il dans 20-30-50 ans, 100 ans ? Les fonctions de plusieurs variables complexes ont été vraiment un exemple de mathématiques cultivées uniquement pour la gloire des mathématiques, il se trouve que depuis quelques années, elles sont extrêmement utiles justement en mécanique quantique, il n'y avait a priori aucune raison qu'elles apparaissent là.