CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants:
2006

∗

Peter J. Mohr

†

, Barry N. Taylor

‡

, and David B. Newell

§

,

National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, Maryland 20899-8420, USA

(Dated: December 28, 2007)

This paper gives the 2006 self-consistent set of values of the basic constants and conversion factors
of physics and chemistry recommended by the Committee on Data for Science and Technology
(CODATA) for international use. Further, it describes in detail the adjustment of the values of the
constants, including the selection of the final set of input data based on the results of least-squares
analyses. The 2006 adjustment takes into account the data considered in the 2002 adjustment
as well as the data that became available between 31 December 2002, the closing date of that
adjustment, and 31 December 2006, the closing date of the new adjustment. The new data have
led to a significant reduction in the uncertainties of many recommended values. The 2006 set
replaces the previously recommended 2002 CODATA set and may also be found on the World
Wide Web at physics.nist.gov/constants.

Contents

Glossary

2

I. Introduction

4

A. Background

4

B. Time variation of the constants

5

C. Outline of paper

5

II. Special quantities and units

6

III. Relative atomic masses

6

A. Relative atomic masses of atoms

6

B. Relative atomic masses of ions and nuclei

7

∗

This report was prepared by the authors under the auspices of the

CODATA Task Group on Fundamental Constants. The members
of the task group are:
F. Cabiati, Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica, Italy
K. Fujii, National Metrology Institute of Japan, Japan
S. G. Karshenboim, D. I. Mendeleyev All-Russian Research Insti-
tute for Metrology, Russian Federation
I. Lindgren, Chalmers University of Technology and G¨

oteborg Uni-

versity, Sweden
B. A. Mamyrin (deceased), A. F. Ioffe Physical-Technical Institute,
Russian Federation
W. Martienssen, Johann Wolfgang Goethe-Universit¨

at, Germany

P. J. Mohr, National Institute of Standards and Technology, United
States of America
D. B. Newell, National Institute of Standards and Technology,
United States of America
F. Nez, Laboratoire Kastler-Brossel, France
B. W. Petley, National Physical Laboratory, United Kingdom
T. J. Quinn, Bureau international des poids et mesures
B. N. Taylor, National Institute of Standards and Technology,
United States of America
W. W¨

oger, Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Germany

B. M. Wood, National Research Council, Canada
Z. Zhang, National Institute of Metrology, China (People’s Repub-
lic of)

†

Electronic address: mohr@nist.gov

‡

Electronic address: barry.taylor@nist.gov

§

Electronic address: dnewell@nist.gov

C. Cyclotron resonance measurement of the electron

relative atomic mass

A

r

(e)

8

IV. Atomic transition frequencies

8

A. Hydrogen and deuterium transition frequencies, the

Rydberg constant

R

∞

, and the proton and deuteron

charge radii

R

p

, R

d

8

1. Theory relevant to the Rydberg constant

9

2. Experiments on hydrogen and deuterium

16

3. Nuclear radii

16

B. Antiprotonic helium transition frequencies and

A

r

(e)

17

1. Theory relevant to antiprotonic helium

17

2. Experiments on antiprotonic helium

18

3. Values of

A

r

(e) inferred from antiprotonic helium 20

C. Hyperfine structure and fine structure

20

1. Hyperfine structure

20

2. Fine structure

20

V. Magnetic moment anomalies and

g

-factors

21

A. Electron magnetic moment anomaly

a

e

and the

fine-structure constant

α

22

1. Theory of

a

e

22

2. Measurements of

a

e

23

3. Values of

α

inferred from

a

e

24

B. Muon magnetic moment anomaly

a

µ

24

1. Theory of

a

µ

24

2. Measurement of

a

µ

: Brookhaven.

26

C. Bound electron

g

-factor in

12

C

5+

and in

16

O

7+

and

A

r

(e)

27

1. Theory of the bound electron

g

-factor

28

2. Measurements of

g

e

(

12

C

5+

) and

g

e

(

16

O

7+

).

31

VI. Magnetic moment ratios and the muon-electron

mass ratio

32

A. Magnetic moment ratios

32

1. Theoretical ratios of atomic bound-particle to

free-particle

g

-factors

33

2. Ratio measurements

33

B. Muonium transition frequencies, the muon-proton

magnetic moment ratio

µ

µ

/µ

p

, and muon-electron

mass ratio

m

µ

/m

e

36

1. Theory of the muonium ground-state hyperfine

splitting

36

2. Measurements of muonium transition frequencies

and values of

µ

µ

/µ

p

and

m

µ

/m

e

38

2

VII. Electrical measurements

39

A. Shielded gyromagnetic ratios

γ

′

, the fine-structure

constant

α

, and the Planck constant

h

39

1. Low-field measurements

40

2. High-field measurements

40

B. von Klitzing constant

R

K

and

α

41

1. NIST: Calculable capacitor

41

2. NMI: Calculable capacitor

41

3. NPL: Calculable capacitor

42

4. NIM: Calculable capacitor

42

5. LNE: Calculable capacitor

42

C. Josephson constant

K

J

and

h

42

1. NMI: Hg electrometer

43

2. PTB: Capacitor voltage balance

43

D. Product

K

2

J

R

K

and

h

43

1. NPL: Watt balance

43

2. NIST: Watt balance

43

3. Other values

45

4. Inferred value of

K

J

45

E. Faraday constant

F

and

h

46

1. NIST: Ag coulometer

46

VIII. Measurements involving silicon crystals

46

A.

{

220

}

lattice spacing of silicon

d

220

46

1. X-ray/optical interferometer measurements of

d

220

(

X

)

47

2.

d

220

difference measurements

49

B. Molar volume of silicon

V

m

(Si)

and the Avogadro

constant

N

A

50

C. Gamma-ray determination of the neutron relative

atomic mass

A

r

(n)

51

D. Quotient of Planck constant and particle mass

h/m

(

X

)

and

α

52

1. Quotient

h/m

n

52

2. Quotient

h/m

(

133

Cs)

53

3. Quotient

h/m

(

87

Rb)

54

IX. Thermal physical quantities

55

A. Molar gas constant

R

55

1. NIST: speed of sound in argon

55

2. NPL: speed of sound in argon

55

3. Other values

55

B. Boltzmann constant

k

55

C. Stefan-Boltzmann constant

σ

56

X. Newtonian constant of gravitation

G

56

A. Updated values

57

1. Huazhong University of Science and Technology

57

2. University of Zurich

58

B. Determination of 2006 recommended value of

G

58

C. Prospective values

59

XI. X-ray and electroweak quantities

59

A. X-ray units

59

B. Particle Data Group input

60

XII. Analysis of Data

60

A. Comparison of data

64

B. Multivariate analysis of data

69

1. Summary of adjustments

70

2. Test of the Josephson and quantum Hall effect

relations

71

XIII. The 2006 CODATA recommended values

83

A. Calculational details

83

B. Tables of values

83

XIV. Summary and Conclusion

84

A. Comparison of 2006 and 2002 CODATA

recommended values

84

B. Some implications of the 2006 CODATA

recommended values and adjustment for physics and
metrology

85

C. Outlook and suggestions for future work

86

XV. Acknowledgments

87

References

87

Glossary

AMDC

Atomic Mass Data Center, Centre de Spec-
trom´etrie Nucl´eaire et de Spectrom´etrie de Masse
(CSNSM), Orsay, France

AME2003

2003 atomic mass evaluation of the AMDC

A

r

(

X

)

Relative atomic mass of

X

:

A

r

(

X

) =

m

(

X

)

/m

u

A

90

Conventional unit of electric current:

A

90

=

V

90

/

Ω

90

˚

A

∗

˚

Angstr¨

om-star:

λ

(WK

α

1

) = 0

.

209 010 0 ˚

A

∗

a

e

Electron magnetic moment anomaly:

a

e

= (

|

g

e

| −

2)/2

a

µ

Muon magnetic moment anomaly:

a

µ

= (

|

g

µ

| −

2)/2

BIPM

International Bureau of Weights and Measures,
S`evres, France

BNL

Brookhaven National Laboratory, Upton, New
York, USA

CERN

European Organization for Nuclear Research,
Geneva, Switzerland

CIPM

International

Committee

for

Weights

and

Measures

CODATA

Committee on Data for Science and Technology
of the International Council for Science

CP T

Combined charge conjugation, parity inversion,
and time reversal

c

Speed of light in vacuum

cw

Continuous wave

d

Deuteron (nucleus of deuterium D, or

2

H)

d

220

{

220

}

lattice spacing of an ideal crystal of natu-

rally occurring silicon

d

220

(

X

)

{

220

}

lattice spacing of crystal

X

of naturally oc-

curring silicon

E

b

Binding energy

e

Symbol for either member of the electron-positron
pair; when necessary, e

−

or e

+

is used to indicate

the electron or positron

e

Elementary charge: absolute value of the charge
of the electron

F

Faraday constant:

F

=

N

A

e

FCDC

Fundamental Constants Data Center, NIST, USA

FSU

Friedrich-Schiller University, Jena, Germany

F

90

F

90

= (

F/A

90

) A

G

Newtonian constant of gravitation

g

Local acceleration of free fall

g

d

Deuteron

g

-factor:

g

d

=

µ

d

/µ

N

g

e

Electron

g

-factor:

g

e

= 2

µ

e

/µ

B

g

p

Proton

g

-factor:

g

p

= 2

µ

p

/µ

N

g

′

p

Shielded proton

g

-factor:

g

′

p

= 2

µ

′

p

/µ

N

g

t

Triton

g

-factor:

g

t

= 2

µ

t

/µ

N

g

X

(

Y

)

g

-factor of particle

X

in the ground (1S) state of

hydrogenic atom

Y

g

µ

Muon

g

-factor:

g

µ

= 2

µ

µ

/

(

e

¯

h/

2

m

µ

)

3

GSI

Gesellschaft f¨

ur Schwerionenforschung, Darm-

stadt, Germany

HD

HD molecule (bound state of hydrogen and deu-
terium atoms)

HT

HT molecule (bound state of hydrogen and tri-
tium atoms)

h

Helion (nucleus of

3

He)

h

Planck constant; ¯

h

=

h/

2

π

Harvard;

Harvard University, Cambridge, Massachusetts,

HarvU

USA

ILL

Institut Max von Laue-Paul Langevin, Grenoble,
France

IMGC

Istituto di Metrologia “T. Colonetti,” Torino,
Italy

INRIM

Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica, Torino,
Italy

IRMM

Institute for Reference Materials and Measure-
ments, Geel, Belgium

JINR

Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Rus-
sian Federation

KRISS

Korea Research Institute of Standards and Sci-
ence, Taedok Science Town, Republic of Korea

KR/VN

KRISS-VNIIM collaboration

K

J

Josephson constant:

K

J

= 2

e/h

K

J

−

90

Conventional value of the Josephson constant

K

J

:

K

J

−

90

= 483 597

.

9 GHz V

−

1

k

Boltzmann constant:

k

=

R/N

A

LAMPF

Clinton P. Anderson Meson Physics Facility at Los
Alamos National Laboratory, Los Alamos, New
Mexico, USA

LKB

Laboratoire Kastler-Brossel, Paris, France

LK/SY

LKB and SYRTE collaboration

LNE

Laboratoire national de m´etrologie et d’essais,
Trappes, France

MIT

Massachusetts Institute of Technology, Cam-
bridge, Massachusetts, USA

MPQ

Max-Planck-Institut f¨

ur Quantenoptik, Garching,

Germany

MSL

Measurement Standards Laboratory, Lower Hutt,
New Zealand

M

(

X

)

Molar mass of

X

:

M

(

X

) =

A

r

(

X

)

M

u

Mu

Muonium (

µ

+

e

−

atom)

M

u

Molar mass constant:

M

u

= 10

−

3

kg mol

−

1

m

u

Unified atomic mass constant:

m

u

=

m

(

12

C)/12

m

X

,

m

(

X

) Mass of

X

(for the electron e, proton p, and other

elementary particles, the first symbol is used,

i.e.,

m

e

,

m

p

,

etc.

)

N

A

Avogadro constant

N/P/I

NMIJ-PTB-IRMM combined result

NIM

National Institute of Metrology, Beijing, China
(People’s Republic of)

NIST

National Institute of Standards and Technology,
Gaithersburg, Maryland and Boulder, Colorado,
USA

NMI

National Metrology Institute, Lindfield, Australia

NMIJ

National Metrology Institute of Japan, Tsukuba,
Japan

NMR

Nuclear magnetic resonance

NPL

National Physical Laboratory, Teddington, UK

NRLM

National Research Laboratory of Metrology,
Tsukuba, Japan

n

Neutron

PRC

People’s Republic of China

PTB

Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braun-
schweig and Berlin, Germany

p

Proton

p

A

He

+

Antiprotonic helium (

A

He

+

+ p atom,

A

=

3 or 4)

QED

Quantum electrodynamics

Q

(

χ

2

|

ν

)

Probability that an observed value of chi-square
for

ν

degrees of freedom would exceed

χ

2

R

Molar gas constant

R

Ratio of muon anomaly difference frequency to
free proton NMR frequency

R

B

Birge ratio:

R

B

= (

χ

2

/ν

)

1
2

R

d

; Rd

Bound-state rms charge radius of the deuteron

R

K

von Klitzing constant:

R

K

=

h/e

2

R

K

−

90

Conventional value of the von Klitzing constant

R

K

:

R

K

−

90

= 25 812

.

807 Ω

R

p

; Rp

Bound-state rms charge radius of the proton

R

∞

Rydberg constant:

R

∞

=

m

e

cα

2

/

2

h

r

(

x

i

, x

j

)

Correlation coefficient of estimated values

x

i

and

x

j

:

r

(

x

i

, x

j

) =

u

(

x

i

, x

j

)

/

[

u

(

x

i

)

u

(

x

j

)]

r

i

Normalized residual of

x

i

:

r

i

= (

x

i

−

ˆ

x

i

)

/u

(

x

i

),

ˆ

x

i

is the adjusted value of

x

i

rms

Root mean square

S

c

Self-sensitivity coefficient

SI

Syst`eme international d’unit´es (International Sys-
tem of Units)

Stanford;

Stanford University, Stanford, California, USA

StanfU

StPtrsb

St. Petersburg, Russian Federation

SYRTE

Syst`emes de r´ef´erence Temps Espace, Paris,
France

T

Thermodynamic temperature

t

Triton (nucleus of tritium T, or

3

H)

th

Theory

Type A

Uncertainty evaluation by the statistical analysis
of series of observations

Type B

Uncertainty evaluation by means other than the
statistical analysis of series of observations

t

90

Celsius temperature on the International Temper-
ature Scale of 1990 (ITS-90)

U. Sussex;

University of Sussex, Sussex, UK

USus

UK

United Kingdom

USA

United States of America

UWash

University of Washington, Seattle, Washington,
USA

u

Unified atomic mass unit (also called the dalton,
Da): 1 u =

m

u

=

m

(

12

C)/12

u

(

x

i

)

Standard uncertainty (

i.e.,

estimated standard

deviation) of an estimated value

x

i

of a quantity

X

i

(also simply

u

)

u

(

x

i

, x

j

)

Covariance of estimated values

x

i

and

x

j

u

diff

Standard uncertainty of the difference

x

i

−

x

j

:

u

2

diff

=

u

2

(

x

i

) +

u

2

(

x

j

)

−

2

u

(

x

i

, x

j

)

u

r

(

x

i

)

Relative standard uncertainty of an estimated
value

x

i

of a quantity

X

i

:

u

r

(

x

i

) =

u

(

x

i

)

/

|

x

i

|

, x

i

6

= 0 (also simply

u

r

)

u

r

(

x

i

, x

j

)

Relative covariance of estimated values

x

i

and

x

j

:

u

r

(

x

i

, x

j

) =

u

(

x

i

, x

j

)

/

(

x

i

x

j

)

V

m

(Si)

Molar volume of naturally occurring silicon

VNIIM

D. I. Mendeleyev All-Russian Research Institute
for Metrology, St. Petersburg, Russian Federation

4

V

90

Conventional unit of voltage based on the Joseph-
son effect and

K

J

−

90

:

V

90

= (

K

J

−

90

/K

J

) V

WGAC

Working Group on the Avogadro Constant of the
CIPM Consultative Committee for Mass and Re-
lated Quantities (CCM)

W

90

Conventional unit of power:

W

90

=

V

2

90

/

Ω

90

XROI

Combined x-ray and optical interferometer

xu(CuK

α

1

) Cu x unit:

λ

(CuK

α

1

) = 1 537.400 xu(CuK

α

1

)

xu(MoK

α

1

) Mo x unit:

λ

(MoK

α

1

) = 707.831 xu(MoK

α

1

)

x

(

X

)

Amount-of-substance fraction of

X

YAG

Yttrium aluminium garnet; Y

3

Al

5

O

12

Yale; YaleU Yale University, New Haven, Connecticut, USA

α

Fine-structure constant:

α

=

e

2

/

4

π

ǫ

0

¯

hc

≈

1

/

137

α

Alpha particle (nucleus of

4

He)

Γ

′

X

−

90

(lo)

Γ

′

X

−

90

(lo) = (

γ

′

X

A

90

) A

−

1

,

X

= p or h

Γ

′

p

−

90

(hi)

Γ

′

p

−

90

(hi) = (

γ

′

p

/

A

90

) A

γ

p

Proton gyromagnetic ratio:

γ

p

= 2

µ

p

/

¯

h

γ

′

p

Shielded proton gyromagnetic ratio:

γ

′

p

= 2

µ

′

p

/

¯

h

γ

′

h

Shielded helion gyromagnetic ratio:

γ

′

h

= 2

|

µ

′

h

|

/

¯

h

∆

ν

Mu

Muonium ground-state hyperfine splitting

δ

e

Additive correction to the theoretical expression
for the electron magnetic moment anomaly

a

e

δ

Mu

Additive correction to the theoretical expression
for the ground-state hyperfine splitting of muon-
ium ∆

ν

Mu

δ

p He

Additive correction to the theoretical expression
for a particular transition frequency of antipro-
tonic helium

δ

X

(

n

L

j

)

Additive correction to the theoretical expression
for an energy level of either hydrogen H or deu-
terium D with quantum numbers

n

, L, and

j

δ

µ

Additive correction to the theoretical expression
for the muon magnetic moment anomaly

a

µ

ǫ

0

Electric constant:

ǫ

0

= 1

/µ

0

c

2

λ

(

X

K

α

1

)

Wavelength of K

α

1

x-ray line of element

X

λ

meas

Measured wavelength of the 2.2 MeV capture

γ

-

ray emitted in the reaction n + p

→

d +

γ

µ

Symbol for either member of the muon-antimuon
pair; when necessary,

µ

−

or

µ

+

is used to indicate

the negative muon or positive muon

µ

B

Bohr magneton:

µ

B

=

e

¯

h/

2

m

e

µ

N

Nuclear magneton:

µ

N

=

e

¯

h/

2

m

p

µ

X

(

Y

)

Magnetic moment of particle

X

in atom or

molecule

Y

.

µ

0

Magnetic constant:

µ

0

= 4

π

×

10

−

7

N/A

2

µ

X

,

µ

′

X

Magnetic moment, or shielded magnetic moment,
of particle

X

ν

Degrees of freedom of a particular adjustment

ν

(

f

p

)

Difference between muonium hyperfine splitting
Zeeman transition frequencies

ν

34

and

ν

12

at a

magnetic flux density

B

corresponding to the free

proton NMR frequency

f

p

σ

Stefan-Boltzmann constant:

σ

= 2

π

5

k

4

/

(15

h

3

c

2

)

τ

Symbol for either member of the tau-antitau pair;
when necessary,

τ

−

or

τ

+

is used to indicate the

negative tau or positive tau

χ

2

The statistic “chi square”

Ω

90

Conventional unit of resistance based on the quan-
tum Hall effect and

R

K

−

90

:

Ω

90

= (

R

K

/R

K

−

90

) Ω

.

=

Symbol used to relate an input datum to its ob-
servational equation

I. INTRODUCTION

A. Background

This paper gives the complete 2006 CODATA self-

consistent set of recommended values of the fundamental
physical constants and describes in detail the 2006 least-
squares adjustment, including the selection of the final
set of input data based on the results of least-squares
analyses. Prepared under the auspices of the CODATA
Task Group on Fundamental Constants, this is the fifth
such report of the Task Group since its establishment
in 1969

1

and the third in the four-year cycle of reports

begun in 1998. The 2006 set of recommended values re-
places its immediate predecessor, the 2002 set. The clos-
ing date for the availability of the data considered for
inclusion in this adjustment was 31 December 2006. As
a consequence of the new data that became available in
the intervening four years there has been a significant re-
duction of the uncertainty of many constants. The 2006
set of recommended values first became available on 29
March 2007 at http://physics.nist.gov/constants, a Web
site of the NIST Fundamental Constants Data Center
(FCDC).

The 1998 and 2002 reports describing the 1998 and

2002 adjustments (Mohr and Taylor, 2000, 2005), re-
ferred to as CODATA-98 and CODATA-02 throughout
this article, describe in detail much of the currently avail-
able data, its analysis, and the techniques used to obtain
a set of best values of the constants using the standard
method of least squares for correlated input data. This
paper focuses mainly on the new information that has be-
come available since 31 December 2002 and references the
discussions in CODATA-98 and CODATA-02 for earlier
work in the interest of brevity. More specifically, if a po-
tential input datum is not discussed in detail, the reader
can assume that it (or a closely related datum) has been
reviewed in either CODATA-98 or CODATA-02.

The reader is also referred to these papers for a discus-

sion of the motivation for and the philosophy behind the
periodic adjustment of the values of the constants and
for descriptions of how units, quantity symbols, numeri-
cal values, numerical calculations, and uncertainties are
treated, in addition to how the data are characterized, se-
lected, and evaluated. Since the calculations are carried
out with more significant figures than are displayed in the
text to avoid rounding errors, data with more digits are
available on the FCDC Web site for possible independent
analysis.

However, because of their importance, we recall in de-

tail the following two points also discussed in these ref-
erences. First, although it is generally agreed that the

1

The Committee on Data for Science and Technology was estab-
lished in 1966 as an interdisciplinary committee of the Interna-
tional Council for Science.

5

correctness and over-all consistency of the basic theo-
ries and experimental methods of physics can be tested
by comparing values of particular fundamental constants
obtained from widely differing experiments, throughout
this adjustment, as a working principle, we assume the
validity of the physical theory that necessarily underlies
it. This includes special relativity, quantum mechanics,
quantum electrodynamics (QED), the Standard Model
of particle physics, including combined charge conjuga-
tion, parity inversion, and time reversal (

CP T

) invari-

ance, and the theory of the Josephson and quantum Hall
effects, especially the exactness of the relationships be-
tween the Josephson and von Klitzing constants

K

J

and

R

K

and the elementary charge

e

and Planck constant

h

.

In fact, tests of these relations,

K

J

= 2

e/h

and

R

K

=

h/e

2

, using the input data of the 2006 adjustment

are discussed in Sec. XII.B.2.

The second point has to do with the 31 December 2006

closing date for data to be considered for inclusion in the
2006 adjustment. A datum was considered to have met
this date, even though not yet reported in an archival
journal, as long as a description of the work was available
that allowed the Task Group to assign a valid standard
uncertainty

u

(

x

i

) to the datum. Thus, any input datum

labeled with an “07” identifier because it was published
in 2007 was, in fact, available by the cutoff date. Also,
some references to results that became available after the
deadline are included, even though they were not used in
the adjustment.

B. Time variation of the constants

This subject, which was briefly touched upon in

CODATA-02, continues to be an active field of exper-
imental and theoretical research, because of its impor-
tance to our understanding of physics at the most fun-
damental level. Indeed, a large number of papers rele-
vant to the topic have appeared in the last four years;
see the FCDC bibliographic database on the funda-
mental constants using the keyword “time variation” at
http://physics.nist.gov/constantsbib. For example, see
Fortier

et al.

(2007); Lea (2007). However, there has

been no laboratory observation of time dependence of
any constant that might be relevant to the recommended
values.

C. Outline of paper

Section II touches on special quantities and units, that

is, those that have exact values by definition.

Sections III-XI review all of the available experimental

and theoretical data that might be relevant to the 2006
adjustment of the values of the constants. As discussed
in Appendix E of CODATA-98, in a least squares anal-
ysis of the fundamental constants the numerical data,
both experimental and theoretical, also called

observa-

tional data

or

input data

, are expressed as functions of

a set of independent variables called

adjusted constants

.

The functions that relate the input data to the adjusted
constants are called

observational equations

, and the least

squares procedure provides best estimated values, in the
least squares sense, of the adjusted constants. The fo-
cus of the review-of-data sections is thus the identifica-
tion and discussion of the input data and observational
equations of interest for the 2006 adjustment. Although
not all observational equations that we use are explicitly
given in the text, all are summarized in Tables XXXVIII,
XL, and XLII of Sec. XII.B.

As part of our discussion of a particular datum, we

often deduce from it an inferred value of a constant, such
as the fine-structure constant

α

or Planck constant

h

. It

should be understood, however, that these inferred values
are for comparison purposes only; the datum from which
it is obtained, not the inferred value, is the input datum
in the adjustment.

Although just 4 years separate the 31 December clos-

ing dates of the 2002 and 2006 adjustments, there are
a number of important new results to consider. Experi-
mental advances include the 2003 Atomic Mass Evalua-
tion from the Atomic Mass Data Center (AMDC) that
provides new values for the relative atomic masses

A

r

(

X

)

of a number of relevant atoms; a new value of the elec-
tron magnetic moment anomaly

a

e

from measurements

on a single electron in a cylindrical penning trap that
provides a value of the fine-structure constant

α

; better

measurements of the relative atomic masses of

2

H,

3

H,

and

4

He; new measurements of transition frequencies in

antiprotonic helium (¯

p

A

He

+

atom) that provide a com-

petitive value of the relative atomic mass of the electron

A

r

(e); improved measurements of the nuclear magnetic

resonance (NMR) frequencies of the proton and deuteron
in the HD molecule and of the proton and triton in the
HT molecule; a highly accurate value of the Planck con-
stant obtained from an improved measurement of the
product

K

2

J

R

K

using a moving-coil watt balance; new

results using combined x-ray and optical interferometers
for the

{

220

}

lattice spacing of single crystals of natu-

rally occurring silicon; and an accurate value of the quo-
tient

h/m

(

87

Rb) obtained by measuring the recoil veloc-

ity of rubidium-87 atoms upon absorption or emission
of photons—a result that provides an accurate value of

α

that is virtually independent of the electron magnetic

moment anomaly.

Theoretical advances include improvements in certain

aspects of the theory of the energy levels of hydrogen
and deuterium; improvements in the theory of antipro-
tonic helium transition frequencies that, together with
the new transition frequency measurements, have led to
the aforementioned competitive value of

A

r

(e); a new

theoretical expression for

a

e

that, together with the new

experimental value of

a

e

, has led to the aforementioned

value of

α

; improvements in the theory of the

g

-factor of

the bound electron in hydrogenic ions with nuclear spin
quantum number

i

= 0 relevant to the determination of

6

A

r

(e); and improved theory of the ground state hyperfine

splitting of muonium ∆

ν

Mu

(the

µ

+

e

−

atom).

Section XII describes the analysis of the data, with

the exception of the Newtonian constant of gravitation
which is analyzed in Sec. X. The consistency of the data
and potential impact on the determination of the 2006
recommended values were appraised by comparing mea-
sured values of the same quantity, comparing measured
values of different quantities through inferred values of a
third quantity such as

α

or

h

, and finally by using the

method of least squares. Based on these investigations,
the final set of input data used in the 2006 adjustment
was selected.

Section XIII provides, in several tables, the 2006

CODATA recommended values of the basic constants and
conversion factors of physics and chemistry, including the
covariance matrix of a selected group of constants.

Section XIV concludes the paper with a comparison of

the 2006 and 2002 recommended values of the constants,
a survey of implications for physics and metrology of the
2006 values and adjustment, and suggestions for future
work that can advance our knowledge of the values of the
constants.

II. SPECIAL QUANTITIES AND UNITS

Table I lists those special quantities whose numerical

values are exactly defined. In the International System
of Units (SI) (BIPM, 2006), which we use throughout
this paper, the definition of the meter fixes the speed
of light in vacuum

c

, the definition of the ampere fixes

the magnetic constant (also called the permeability of
vacuum)

µ

0

, and the definition of the mole fixes the molar

mass of the carbon 12 atom

M

(

12

C) to have the exact

values given in the table. Since the electric constant (also
called the permittivity of vacuum) is related to

µ

0

by

ǫ

0

= 1

/µ

0

c

2

, it too is known exactly.

The relative atomic mass

A

r

(

X

) of an entity

X

is de-

fined by

A

r

(

X

) =

m

(

X

)

/m

u

, where

m

(

X

) is the mass of

X

and

m

u

is the atomic mass constant defined by

m

u

=

1

12

m

(

12

C) = 1 u

≈

1

.

66

×

10

−

27

kg

,

(1)

where

m

(

12

C) is the mass of the carbon 12 atom and u is

the unified atomic mass unit (also called the dalton, Da).
Clearly,

A

r

(

X

) is a dimensionless quantity and

A

r

(

12

C) =

12 exactly. The molar mass

M

(

X

) of entity

X

, which is

the mass of one mole of

X

with SI unit kg/mol, is given

by

M

(

X

) =

N

A

m

(

X

) =

A

r

(

X

)

M

u

,

(2)

where

N

A

≈

6

.

02

×

10

23

/mol is the Avogadro constant

and

M

u

= 10

−

3

kg/mol is the molar mass constant. The

numerical value of

N

A

is the number of entities in one

mole, and since the definition of the mole states that one
mole contains the same number of entities as there are in
0.012 kg of carbon 12,

M

(

12

C) = 0

.

012 kg/mol exactly.

The Josephson and quantum Hall effects have played

and continue to play important roles in adjustments of
the values of the constants, because the Josephson and
von Klitzing constants

K

J

and

R

K

, which underlie these

two effects, are related to

e

and

h

by

K

J

=

2

e

h

;

R

K

=

h

e

2

=

µ

0

c

2

α

.

(3)

Although we assume these relations are exact, and no
evidence—either theoretical or experimental—has been
put forward that challenges this assumption, the conse-
quences of relaxing it are explored in Sec. XII.B.2. Some
references to recent work related to the Josephson and
quantum Hall effects may be found in the FCDC biblio-
graphic database (see Sec. I.B).

The next-to-last two entries in Table I are the conven-

tional values of the Josephson and von Klitzing constants
adopted by the International Committee for Weights and
Measures (CIPM) and introduced on 1 January 1990 to
establish worldwide uniformity in the measurement of
electrical quantities. In this paper, all electrical quanti-
ties are expressed in SI units. However, those measured
in terms of the Josephson and quantum Hall effects with
the assumption that

K

J

and

R

K

have these conventional

values are labeled with a subscript 90.

For high-accuracy experiments involving the force of

gravity, such as the watt-balance, an accurate measure-
ment of the local acceleration of free fall at the site of the
experiment is required. Fortunately, portable and easy-
to-use commercial absolute gravimeters are available that
can provide a local value of

g

with a relative standard un-

certainty of a few parts in 10

9

. That these instruments

can achieve such a small uncertainty if properly used is
demonstrated by a periodic international comparison of
absolute gravimeters (ICAG) carried out at the Interna-
tional Bureau of Weights and Measures (BIPM), S`evres,
France; the seventh and most recent, denoted ICAG-
2005, was completed in September 2005 (Vitushkin

et

al.

, 2005); the next is scheduled for 2009. In the future,

atom interferometry or Bloch oscillations using ultracold
atoms could provide a competitive or possibly more ac-
curate method for determining a local value of

g

(Clad´e

et al.

, 2005; McGuirk

et al.

, 2002; Peters

et al.

, 2001).

III. RELATIVE ATOMIC MASSES

Included in the set of adjusted constants are the rel-

ative atomic masses

A

r

(

X

) of a number of particles,

atoms, and ions. Tables II-VI and the following sections
summarize the relevant data.

A. Relative atomic masses of atoms

Most values of the relative atomic masses of neu-

tral atoms used in this adjustment are taken from the
2003 atomic mass evaluation (AME2003) of the Atomic

7

TABLE I Some exact quantities relevant to the 2006 adjustment.

Quantity

Symbol

Value

speed of light in vacuum

c

,

c

0

299 792 458 m s

−

1

magnetic constant

µ

0

4

π

×

10

−

7

N A

−

2

= 12

.

566 370 614

...

×

10

−

7

N A

−

2

electric constant

ǫ

0

(

µ

0

c

2

)

−

1

= 8

.

854 187 817

...

×

10

−

12

F m

−

1

relative atomic mass of

12

C

A

r

(

12

C)

12

molar mass constant

M

u

10

−

3

kg mol

−

1

molar mass of

12

C

A

r

(

12

C)

M

u

M

(

12

C)

12

×

10

−

3

kg mol

−

1

conventional value of Josephson constant

K

J

−

90

483 597

.

9 GHz V

−

1

conventional value of von Klitzing constant

R

K

−

90

25 812

.

807 Ω

Mass Data Center, Centre de Spectrom´etrie Nucl´eaire
et de Spectrom´etrie de Masse (CSNSM), Orsay, France
(AMDC, 2006; Audi

et al.

, 2003; Wapstra

et al.

, 2003).

The results of AME2003 supersede those of both the 1993
atomic mass evaluation and the 1995 update. Table II
lists the values from AME2003 of interest here, while Ta-
ble III gives the covariance for hydrogen and deuterium
(AMDC, 2003). Other non-negligible covariances of these
values are discussed in the appropriate sections.

Table IV gives six values of

A

r

(

X

) relevant to the 2006

adjustment reported since the completion and publica-
tion of AME2003 in late 2003 that we use in place of the
corresponding values in Table II.

The

3

H and

3

He values are those reported by the

SMILETRAP group at the Manne Siegbahn Laboratory
(MSL), Stockholm, Sweden (Nagy

et al.

, 2006), using a

Penning trap and a time of flight technique to detect
cyclotron resonances. This new

3

He result is in good

agreement with a more accurate, but still preliminary,
result from the University of Washington group in Seat-
tle, USA (Van Dyck, 2006). The AME2003 values for

3

H

and

3

He were influenced by an earlier result for

3

He from

the University of Washington group which is in disagree-
ment with their new result.

The values for

4

He and

16

O are those reported by the

University of Washington group (Van Dyck

et al.

, 2006)

using their improved mass spectrometer; they are based
on a thorough reanalysis of data that yielded preliminary
results for these atoms which were used in AME2003.
They include an experimentally determined image-charge
correction with a relative standard uncertainty

u

r

= 7

.

9

×

10

−

12

in the case of

4

He and

u

r

= 4

.

0

×

10

−

12

in the

case of

16

O. The value of

A

r

(

2

H) is also from this group

and is a near-final result based on the analysis of ten
runs carried out over a 4 year period (Van Dyck, 2006).
Because the result is not yet final, the total uncertainty is
conservatively assigned;

u

r

= 9

.

9

×

10

−

12

for the image-

charge correction. This value of

A

r

(

2

H) is consistent with

the preliminary value reported by Van Dyck

et al.

(2006)

based on the analysis of only three runs.

The covariance and correlation coefficient of

A

r

(

3

H)

and

A

r

(

3

He) given in Table V are due to the common

component of uncertainty

u

r

= 1

.

4

×

10

−

10

of the rel-

ative atomic mass of the H

+

2

reference ion used in the

SMILETRAP measurements; the covariances and corre-

lation coefficients of the University of Washington values
of

A

r

(

2

H),

A

r

(

4

He), and

A

r

(

16

O) given in Table VI are

due to the uncertainties of the image-charge corrections,
which are based on the same experimentally determined
relation.

The

29

Si value is that implied by the ratio

A

r

(

29

Si

+

)/

A

r

(

28

Si H

+

)= 0

.

999 715 124 1812(65) obtained

at the Massachusetts Institute of Technology (MIT),
Cambridge, USA, using a recently developed technique
of determining mass ratios by directly comparing the cy-
clotron frequencies of two different ions simultaneously
confined in a Penning trap (Rainville

et al.

, 2005). (The

relative atomic mass work of the MIT group has now
been transferred to Florida State University, Tallahas-
see, USA.) This approach eliminates many components
of uncertainty arising from systematic effects. The value
for

A

r

(

29

Si) is given in the Supplementary Information

to Rainville

et al.

(2005) and has a significantly smaller

uncertainty than the corresponding AME2003 value.

B. Relative atomic masses of ions and nuclei

The relative atomic mass

A

r

(

X

) of a neutral atom

X

is given in terms of the relative atomic mass of an ion of
the atom formed by the removal of

n

electrons by

A

r

(

X

) =

A

r

(

X

n

+

) +

nA

r

(e)

−

E

b

(

X

)

−

E

b

(

X

n

+

)

m

u

c

2

.

(4)

Here

E

b

(

X

)

/m

u

c

2

is the relative-atomic-mass equivalent

of the total binding energy of the

Z

electrons of the atom,

where

Z

is the atomic number (proton number), and

E

b

(

X

n

+

)

/m

u

c

2

is the relative-atomic-mass-equivalent of

the binding energy of the

Z

−

n

electrons of the

X

n

+

ion. For a fully stripped atom, that is, for

n

=

Z

,

X

Z

+

is

N

, where

N

represents the nucleus of the atom, and

E

b

(

X

Z

+

)

/m

u

c

2

= 0, which yields the first few equations

of Table XL in Sec. XII.B.

The binding energies

E

b

used in this work are the same

as those used in the 2002 adjustment; see Table IV of
CODATA-02. For tritium, which is not included there,
we use the value 1

.

097 185 439

×

10

7

m

−

1

(Kotochigova,

2006). The uncertainties of the binding energies are neg-
ligible for our application.

8

TABLE II Values of the relative atomic masses of the neutron
and various atoms as given in the 2003 atomic mass evaluation
together with the defined value for

12

C.

Atom

Relative atomic

Relative standard

mass

A

r

(X)

uncertainty

u

r

n

1

.

008 664 915 74(56)

5

.

6

×

10

−

10

1

H

1

.

007 825 032 07(10)

1

.

0

×

10

−

10

2

H

2

.

014 101 777 85(36)

1

.

8

×

10

−

10

3

H

3

.

016 049 2777(25)

8

.

2

×

10

−

10

3

He

3

.

016 029 3191(26)

8

.

6

×

10

−

10

4

He

4

.

002 603 254 153(63)

1

.

6

×

10

−

11

12

C

12

(exact)

16

O

15

.

994 914 619 56(16)

1

.

0

×

10

−

11

28

Si

27

.

976 926 5325(19)

6

.

9

×

10

−

11

29

Si

28

.

976 494 700(22)

7

.

6

×

10

−

10

30

Si

29

.

973 770 171(32)

1

.

1

×

10

−

9

36

Ar

35

.

967 545 105(28)

7

.

8

×

10

−

10

38

Ar

37

.

962 732 39(36)

9

.

5

×

10

−

9

40

Ar

39

.

962 383 1225(29)

7

.

2

×

10

−

11

87

Rb

86

.

909 180 526(12)

1

.

4

×

10

−

10

107

Ag

106

.

905 0968(46)

4

.

3

×

10

−

8

109

Ag

108

.

904 7523(31)

2

.

9

×

10

−

8

133

Cs

132

.

905 451 932(24)

1

.

8

×

10

−

10

TABLE III The variances, covariance, and correlation coeffi-
cient of the AME2003 values of the relative atomic masses of
hydrogen and deuterium. The number in bold above the main
diagonal is 10

18

times the numerical value of the covariance;

the numbers in bold on the main diagonal are 10

18

times the

numerical values of the variances; and the number in italics
below the main diagonal is the correlation coefficient.

A

r

(

1

H)

A

r

(

2

H)

A

r

(

1

H)

0

.

0107 0

.

0027

A

r

(

2

H)

0

.

0735

0

.

1272

C. Cyclotron resonance measurement of the electron
relative atomic mass

A

r

(e)

A value of

A

r

(e) is available from a Penning-trap mea-

surement carried out by the University of Washington
group (Farnham

et al.

, 1995); it is used as an input datum

in the 2006 adjustment, as it was in the 2002 adjustment:

A

r

(e) = 0

.

000 548 579 9111(12)

[2

.

1

×

10

−

9

]

.

(5)

IV. ATOMIC TRANSITION FREQUENCIES

Atomic transition frequencies in hydrogen, deuterium,

and anti-protonic helium yield information on the Ryd-
berg constant, the proton and deuteron charge radii, and
the relative atomic mass of the electron. The hyperfine
splitting in hydrogen and fine-structure splitting in he-
lium do not yield a competitive value of any constant at
the current level of accuracy of the relevant experiment

TABLE IV Values of the relative atomic masses of various
atoms that have become available since the 2003 atomic mass
evaluation.

Atom

Relative atomic

Relative standard

mass

A

r

(

X

)

uncertainty

u

r

2

H

2

.

014 101 778 040(80)

4

.

0

×

10

−

11

3

H

3

.

016 049 2787(25)

8

.

3

×

10

−

10

3

He

3

.

016 029 3217(26)

8

.

6

×

10

−

10

4

He

4

.

002 603 254 131(62)

1

.

5

×

10

−

11

16

O

15

.

994 914 619 57(18)

1

.

1

×

10

−

11

29

Si

28

.

976 494 6625(20)

6

.

9

×

10

−

11

TABLE V The variances, covariance, and correlation coeffi-
cient of the values of the SMILETRAP relative atomic masses
of tritium and helium three. The number in bold above the
main diagonal is 10

18

times the numerical value of the co-

variance; the numbers in bold on the main diagonal are 10

18

times the numerical values of the variances; and the number
in italics below the main diagonal is the correlation coefficient.

A

r

(

3

H)

A

r

(

3

He)

A

r

(

3

H)

6

.

2500

0

.

1783

A

r

(

3

He)

0

.

0274

6

.

7600

and/or theory. All of these topics are discussed in this
section.

A. Hydrogen and deuterium transition frequencies, the
Rydberg constant

R

∞

, and the proton and deuteron

charge radii

R

p

, R

d

The Rydberg constant is related to other constants by

the definition

R

∞

=

α

2

m

e

c

2

h

.

(6)

It can be accurately determined by comparing measured
resonant frequencies of transitions in hydrogen (H) and
deuterium (D) to the theoretical expressions for the en-
ergy level differences in which it is a multiplicative factor.

TABLE VI The variances, covariances, and correlation coef-
ficients of the University of Washington values of the relative
atomic masses of deuterium, helium 4, and oxygen 16. The
numbers in bold above the main diagonal are 10

20

times the

numerical values of the covariances; the numbers in bold on
the main diagonal are 10

20

times the numerical values of the

variances; and the numbers in italics below the main diagonal
are the correlation coefficients.

A

r

(

2

H)

A

r

(

4

He)

A

r

(

16

O)

A

r

(

2

H)

0

.

6400

0

.

0631

0

.

1276

A

r

(

4

He)

0

.

1271

0

.

3844

0

.

2023

A

r

(

16

O)

0

.

0886

0

.

1813

3

.

2400

9

1. Theory relevant to the Rydberg constant

The theory of the energy levels of hydrogen and deu-

terium atoms relevant to the determination of the Ryd-
berg constant

R

∞

, based on measurements of transition

frequencies, is summarized in this section. Complete in-
formation necessary to determine the theoretical values
of the relevant energy levels is provided, with an emphasis
on results that have become available since the previous
adjustment described in CODATA-02. For brevity, refer-
ences to earlier work, which can be found in Eides

et al.

(2001b), for example, are not included here.

An important consideration is that the theoretical val-

ues of the energy levels of different states are highly cor-
related. For example, for S states, the uncalculated terms
are primarily of the form of an unknown common con-
stant divided by

n

3

. This fact is taken into account by

calculating covariances between energy levels in addition
to the uncertainties of the individual levels as discussed
in detail in Sec. IV.A.1.l. In order to take these corre-
lations into account, we distinguish between components
of uncertainty that are proportional to 1

/n

3

, denoted by

u

0

, and components of uncertainty that are essentially

random functions of

n

, denoted by

u

n

.

The energy levels of hydrogen-like atoms are deter-

mined mainly by the Dirac eigenvalue, QED effects such
as self energy and vacuum polarization, and nuclear size
and motion effects, all of which are summarized in the
following sections.

a. Dirac eigenvalue

The binding energy of an electron in

a static Coulomb field (the external electric field of a
point nucleus of charge

Ze

with infinite mass) is deter-

mined predominantly by the Dirac eigenvalue

E

D

=

f

(

n, j

)

m

e

c

2

,

(7)

where

f

(

n, j

) =

1 +

(

Zα

)

2

(

n

−

δ

)

2

−

1

/

2

,

(8)

n

and

j

are the principal quantum number and total

angular momentum of the state, respectively, and

δ

=

j

+

1
2

−

(

j

+

1
2

)

2

−

(

Zα

)

2

1

/

2

.

(9)

Although we are interested only in the case where the
nuclear charge is

e

, we retain the atomic number

Z

in

order to indicate the nature of various terms.

Corrections to the Dirac eigenvalue that approximately

take into account the finite mass of the nucleus

m

N

are

included in the more general expression for atomic energy
levels, which replaces Eq. (7) (Barker and Glover, 1955;
Sapirstein and Yennie, 1990):

E

M

=

M c

2

+ [

f

(

n, j

)

−

1]

m

r

c

2

−

[

f

(

n, j

)

−

1]

2

m

2

r

c

2

2

M

+

1

−

δ

l

0

κ

(2

l

+ 1)

(

Zα

)

4

m

3

r

c

2

2

n

3

m

2

N

+

· · ·

,

(10)

where

l

is the nonrelativistic orbital angular momentum

quantum number,

κ

is the angular-momentum-parity

quantum number

κ

= (

−

1)

j

−

l

+1

/

2

(

j

+

1
2

),

M

=

m

e

+

m

N

,

and

m

r

=

m

e

m

N

/

(

m

e

+

m

N

) is the reduced mass.

b. Relativistic recoil

Relativistic corrections to Eq. (10)

associated with motion of the nucleus are considered
relativistic-recoil corrections. The leading term, to low-
est order in

Zα

and all orders in

m

e

/m

N

, is (Erickson,

1977; Sapirstein and Yennie, 1990)

E

S

=

m

3

r

m

2

e

m

N

(

Zα

)

5

π

n

3

m

e

c

2

×

1
3

δ

l

0

ln(

Zα

)

−

2

−

8
3

ln

k

0

(

n, l

)

−

1
9

δ

l

0

−

7
3

a

n

−

2

m

2

N

−

m

2

e

δ

l

0

m

2

N

ln

m

e

m

r

−

m

2

e

ln

m

N

m

r

 

,

(11)

where

a

n

=

−

2

"

ln

2

n

+

n

X

i

=1

1

i

+ 1

−

1

2

n

#

δ

l

0

+

1

−

δ

l

0

l

(

l

+ 1)(2

l

+ 1)

.

(12)

To lowest order in the mass ratio, higher-order cor-

rections in

Zα

have been extensively investigated; the

contribution of the next two orders in

Zα

is

E

R

=

m

e

m

N

(

Zα

)

6

n

3

m

e

c

2

×

D

60

+

D

72

Zα

ln

2

(

Zα

)

−

2

+

· · ·

,

(13)

where for

n

S

1

/

2

states (Eides and Grotch, 1997c;

Pachucki and Grotch, 1995)

D

60

= 4 ln 2

−

7
2

(14)

and (Melnikov and Yelkhovsky, 1999; Pachucki and
Karshenboim, 1999)

D

72

=

−

11

60

π

,

(15)

and for states with

l

≥

1 (Elkhovski˘ı, 1996; Golosov

et al.

,

1995; Jentschura and Pachucki, 1996)

D

60

=

3

−

l

(

l

+ 1)

n

2

2

(4

l

2

−

1)(2

l

+ 3)

.

(16)

In Eq. (16) and subsequent discussion, the first subscript
on the coefficient of a term refers to the power of

Zα

and the second subscript to the power of ln(

Zα

)

−

2

. The

relativistic recoil correction used in the 2006 adjustment
is based on Eqs. (11) to (16). The estimated uncertainty

10

for S states is taken to be 10 % of Eq. (13), and for states
with

l

≥

1, it is taken to be 1 % of that equation.

Numerical values for the complete contribution of

Eq. (13) to all orders in

Zα

have been obtained by

(Shabaev

et al.

, 1998). Although the difference between

the all-orders calculation and the truncated power series
for S states is about three times their quoted uncertainty,
the two results are consistent within the uncertainty as-
signed here. The covariances of the theoretical values
are calculated by assuming that the uncertainties are
predominately due to uncalculated terms proportional to
(

m

e

/m

N

)

/n

3

.

c. Nuclear polarization

Interactions between the atomic

electron and the nucleus which involve excited states
of the nucleus give rise to nuclear polarization correc-
tions. For hydrogen, we use the result (Khriplovich and
Sen’kov, 2000)

E

P

(H) =

−

0

.

070(13)

h

δ

l

0

n

3

kHz

.

(17)

For deuterium, the sum of the proton polarizability, the
neutron polarizability (Khriplovich and Sen’kov, 1998),
and the dominant nuclear structure polarizability (Friar
and Payne, 1997a), gives

E

P

(D) =

−

21

.

37(8)

h

δ

l

0

n

3

kHz

.

(18)

We assume that this effect is negligible in states of higher

l

.

d. Self energy

The one-photon electron self energy is

given by

E

(2)

SE

=

α

π

(

Zα

)

4

n

3

F

(

Zα

)

m

e

c

2

,

(19)

where

F

(

Zα

) =

A

41

ln(

Zα

)

−

2

+

A

40

+

A

50

(

Zα

)

+

A

62

(

Zα

)

2

ln

2

(

Zα

)

−

2

+

A

61

(

Zα

)

2

ln(

Zα

)

−

2

+

G

SE

(

Zα

) (

Zα

)

2

.

(20)

From Erickson and Yennie (1965) and earlier papers cited
therein,

A

41

=

4
3

δ

l

0

A

40

=

−

4
3

ln

k

0

(

n, l

) +

10

9

δ

l

0

−

1

2

κ

(2

l

+ 1)

(1

−

δ

l

0

)

A

50

=

139

32

−

2 ln 2

π

δ

l

0

(21)

A

62

=

−

δ

l

0

A

61

=

4

1 +

1
2

+

· · ·

+

1

n

+

28

3

ln 2

−

4 ln

n

−

601
180

−

77

45

n

2

δ

l

0

+

1

−

1

n

2

 

2

15

+

1
3

δ

j

1
2

δ

l

1

+

96

n

2

−

32

l

(

l

+ 1)

3

n

2

(2

l

−

1)(2

l

)(2

l

+ 1)(2

l

+ 2)(2

l

+ 3)

(1

−

δ

l

0

)

.

TABLE VII Bethe logarithms ln

k

0

(

n, l

) relevant to the de-

termination of

R

∞

.

n

S

P

D

1

2

.

984 128 556

2

2

.

811 769 893

−

0

.

030 016 709

3

2

.

767 663 612

4

2

.

749 811 840

−

0

.

041 954 895

−

0

.

006 740 939

6

2

.

735 664 207

−

0

.

008 147 204

8

2

.

730 267 261

−

0

.

008 785 043

12

−

0

.

009 342 954

The Bethe logarithms ln

k

0

(

n, l

) in Eq. (21) are given in

Table VII (Drake and Swainson, 1990).

The function

G

SE

(

Zα

) in Eq. (20) is the higher-order

contribution (in

Zα

) to the self energy, and the values for

G

SE

(

α

) that we use here are listed in Table VIII. For S

and P states with

n

≤

4 the values in the table are based

on direct numerical evaluations by Jentschura and Mohr
(2004, 2005); Jentschura

et al.

(1999, 2001). The values

of

G

SE

(

α

) for the 6S and 8S states are based on the low-

Z

limit of this function

G

SE

(0) =

A

60

(Jentschura

et al.

,

2005a) together with extrapolations of the results of com-
plete numerical calculations of

F

(

Zα

) [see Eq. (20)] at

higher

Z

(Kotochigova and Mohr, 2006). The values of

G

SE

(

α

) for D states are from Jentschura

et al.

(2005b)

The dominant effect of the finite mass of the nucleus on

the self energy correction is taken into account by mul-
tiplying each term of

F

(

Zα

) by the reduced-mass fac-

tor (

m

r

/m

e

)

3

, except that the magnetic moment term

−

1

/

[2

κ

(2

l

+ 1)] in

A

40

is instead multiplied by the factor

(

m

r

/m

e

)

2

. In addition, the argument (

Zα

)

−

2

of the log-

arithms is replaced by (

m

e

/m

r

)(

Zα

)

−

2

(Sapirstein and

Yennie, 1990).

The uncertainty of the self energy contribution to a

given level arises entirely from the uncertainty of

G

SE

(

α

)

listed in Table VIII and is taken to be entirely of type

u

n

.

e. Vacuum

polarization

The

second-order

vacuum-

polarization level shift is

E

(2)

VP

=

α

π

(

Zα

)

4

n

3

H

(

Zα

)

m

e

c

2

,

(22)

where the function

H

(

Zα

) is divided into the part cor-

responding to the Uehling potential, denoted here by

H

(1)

(

Zα

), and the higher-order remainder

H

(R)

(

Zα

),

where

H

(1)

(

Zα

) =

V

40

+

V

50

(

Zα

) +

V

61

(

Zα

)

2

ln(

Zα

)

−

2

+

G

(1)
VP

(

Zα

) (

Zα

)

2

(23)

H

(R)

(

Zα

) =

G

(R)
VP

(

Zα

) (

Zα

)

2

,

(24)

11

TABLE VIII Values of the function

G

SE

(

α

).

n

S

1

/

2

P

1

/

2

P

3

/

2

D

3

/

2

D

5

/

2

1

−

30

.

290 240(20)

2

−

31

.

185 150(90)

−

0

.

973 50(20)

−

0

.

486 50(20)

3

−

31

.

047 70(90)

4

−

30

.

9120(40)

−

1

.

1640(20)

−

0

.

6090(20)

0

.

031 63(22)

6

−

30

.

711(47)

0

.

034 17(26)

8

−

30

.

606(47)

0

.

007 940(90)

0

.

034 84(22)

12

0

.

0080(20)

0

.

0350(30)

with

V

40

=

−

4

15

δ

l

0

V

50

=

5

48

π

δ

l

0

(25)

V

61

=

−

2

15

δ

l

0

.

The part

G

(1)
VP

(

Zα

) arises from the Uehling potential

with values given in Table IX (Kotochigova

et al.

, 2002;

Mohr, 1982). The higher-order remainder

G

(R)
VP

(

Zα

) has

been considered by Wichmann and Kroll, and the leading
terms in powers of

Zα

are (Mohr, 1975, 1983; Wichmann

and Kroll, 1956)

G

(R)
VP

(

Zα

) =

19
45

−

π

2

27

δ

l

0

+

1

16

−

31

π

2

2880

π

(

Zα

)

δ

l

0

+

· · ·

.

(26)

Higher-order terms omitted from Eq. (26) are negligible.

In a manner similar to that for the self energy, the

leading effect of the finite mass of the nucleus is taken into
account by multiplying Eq. (22) by the factor (

m

r

/m

e

)

3

and including a multiplicative factor of (

m

e

/m

r

) in the

argument of the logarithm in Eq. (23).

There is also a second-order vacuum polarization level

shift due to the creation of virtual particle pairs other
than the e

−

e

+

pair. The predominant contribution for

n

S states arises from

µ

+

µ

−

, with the leading term being

(Eides and Shelyuto, 1995; Karshenboim, 1995)

E

(2)

µ

VP

=

α

π

(

Zα

)

4

n

3

−

4

15

 

m

e

m

µ

2

m

r

m

e

3

m

e

c

2

.

(27)

The next order term in the contribution of muon vacuum
polarization to

n

S states is of relative order

Zαm

e

/m

µ

and is therefore negligible. The analogous contribution

E

(2)

τ

VP

from

τ

+

τ

−

(

−

18 Hz for the 1S state) is also negli-

gible at the level of uncertainty of current interest.

For the hadronic vacuum polarization contribution, we

take the result given by Friar

et al.

(1999) that utilizes

all available e

+

e

−

scattering data:

E

(2)

had VP

= 0

.

671(15)

E

(2)

µ

VP

,

(28)

where the uncertainty is of type

u

0

.

The muonic and hadronic vacuum polarization contri-

butions are negligible for P and D states.

f. Two-photon corrections

Corrections from two virtual

photons have been partially calculated as a power series
in

Zα

:

E

(4)

=

α

π

2

(

Zα

)

4

n

3

m

e

c

2

F

(4)

(

Zα

)

,

(29)

where

F

(4)

(

Zα

) =

B

40

+

B

50

(

Zα

) +

B

63

(

Zα

)

2

ln

3

(

Zα

)

−

2

+

B

62

(

Zα

)

2

ln

2

(

Zα

)

−

2

+

B

61

(

Zα

)

2

ln(

Zα

)

−

2

+

B

60

(

Zα

)

2

+

· · ·

.

(30)

The leading term

B

40

is well known:

B

40

=

3

π

2

2

ln 2

−

10

π

2

27

−

2179

648

−

9
4

ζ

(3)

δ

l

0

+

π

2

ln 2

2

−

π

2

12

−

197
144

−

3

ζ

(3)

4

1

−

δ

l

0

κ

(2

l

+ 1)

.

(31)

The second term is (Eides

et al.

, 1997; Eides and She-

lyuto, 1995; Pachucki, 1993a, 1994)

B

50

=

−

21

.

5561(31)

δ

l

0

,

(32)

and the next coefficient is (Karshenboim, 1993; Manohar
and Stewart, 2000; Pachucki, 2001; Yerokhin, 2000)

B

63

=

−

8

27

δ

l

0

.

(33)

For S states the coefficient

B

62

is given by

B

62

=

16

9

71
60

−

ln 2 +

γ

+

ψ

(

n

)

−

ln

n

−

1

n

+

1

4

n

2

,

(34)

where

γ

= 0

.

577

...

is Euler’s constant and

ψ

is the psi

function (Abramowitz and Stegun, 1965). The difference

B

62

(1)

−

B

62

(

n

) was calculated by Karshenboim (1996)

12

TABLE IX Values of the function

G

(1)
VP

(

α

).

n

S

1

/

2

P

1

/

2

P

3

/

2

D

3

/

2

D

5

/

2

1

−

0

.

618 724

2

−

0

.

808 872

−

0

.

064 006

−

0

.

014 132

3

−

0

.

814 530

4

−

0

.

806 579

−

0

.

080 007

−

0

.

017 666

−

0

.

000 000

6

−

0

.

791 450

−

0

.

000 000

8

−

0

.

781 197

−

0

.

000 000

−

0

.

000 000

12

−

0

.

000 000

−

0

.

000 000

and confirmed by Pachucki (2001) who also calculated
the

n

-independent additive constant. For P states the

calculated value is (Karshenboim, 1996)

B

62

=

4

27

n

2

−

1

n

2

.

(35)

This result has been confirmed by Jentschura and
N´

andori (2002) who also show that for D and higher an-

gular momentum states

B

62

= 0.

Recent work has led to new results for

B

61

and higher-

order coefficients. In Jentschura

et al.

(2005a) an ad-

ditional state-independent contribution to the coefficient

B

61

for S states is given, which slightly differs (2 %) from

the earlier result of Pachucki (2001) quoted in CODATA
2002. The revised coefficient for S states is

B

61

=

413 581

64 800

+

4

N

(

n

S)

3

+

2027

π

2

864

−

616 ln 2

135

−

2

π

2

ln 2

3

+

40 ln

2

2

9

+

ζ

(3) +

304
135

−

32 ln 2

9

×

3
4

+

γ

+

ψ

(

n

)

−

ln

n

−

1

n

+

1

4

n

2

,

(36)

where

ζ

is the Riemann zeta function (Abramowitz and

Stegun, 1965). The coefficients

N

(

n

S) are listed in Ta-

ble X. The state-dependent part

B

61

(

n

S)

−

B

61

(1S) was

confirmed by Jentschura

et al.

(2005a) in their Eqs. (4.26)

and (6.3). For higher-

l

states,

B

61

has been calculated

by Jentschura

et al.

(2005a); for P states

B

61

(

n

P

1

/

2

) =

4
3

N

(

n

P) +

n

2

−

1

n

2

166
405

−

8

27

ln 2

,

(37)

B

61

(

n

P

3

/

2

) =

4
3

N

(

n

P) +

n

2

−

1

n

2

31

405

−

8

27

ln 2

,

(38)

and for D states

B

61

(

n

D) = 0

.

(39)

The coefficient

B

61

also vanishes for states with

l >

2.

The necessary values of

N

(

n

P) are given in Eq. (17) of

Jentschura (2003) and are listed in Table X.

The next term is

B

60

, and recent work has also been

done for this contribution. For S states, the state depen-
dence is considered first, and is given by Czarnecki

et al.

(2005); Jentschura

et al.

(2005a)

B

60

(

n

S)

−

B

60

(1S) =

b

L

(

n

S)

−

b

L

(1S) +

A

(

n

)

,

(40)

TABLE X Values of

N

used in the 2006 adjustment

n

N

(

n

S)

N

(

n

P)

1

17

.

855 672 03(1)

2

12

.

032 141 58(1)

0

.

003 300 635(1)

3

10

.

449 809(1)

4

9

.

722 413(1)

−

0

.

000 394 332(1)

6

9

.

031 832(1)

8

8

.

697 639(1)

where

A

(

n

) =

38
45

−

4
3

ln 2

[

N

(

n

S)

−

N

(1S)]

−

337 043
129 600

−

94 261

21 600

n

+

902 609

129 600

n

2

+

4
3

−

16

9

n

+

4

9

n

2

ln

2

2

+

−

76
45

+

304

135

n

−

76

135

n

2

ln 2

+

−

53
15

+

35

2

n

−

419

30

n

2

ζ

(2) ln 2

+

28 003
10 800

−

11

2

n

+

31 397

10 800

n

2

ζ

(2)

+

53
60

−

35

8

n

+

419

120

n

2

ζ

(3)

+

37 793
10 800

+

16

9

ln

2

2

−

304
135

ln 2 + 8

ζ

(2) ln 2

−

13

3

ζ

(2)

−

2

ζ

(3)

[

γ

+

ψ

(

n

)

−

ln

n

]

.

(41)

The term

A

(

n

) makes a small contribution in the range

0.3 to 0.4 for the states under consideration.

The two-loop Bethe logarithms

b

L

in Eq. (40) are

listed in Table XI. The values for

n

= 1 to 6 are from

Jentschura (2004); Pachucki and Jentschura (2003), and
the value at

n

= 8 is obtained by extrapolation of the

calculated values from

n

= 4 to 6 [

b

L

(5S) =

−

60

.

6(8)]

with a function of the form

b

L

(

n

S) =

a

+

b

n

+

c

n

(

n

+ 1)

,

(42)

13

which yields

b

L

(

n

S) =

−

55

.

8

−

24

n

.

(43)

It happens that the fit gives

c

= 0. An estimate for

B

60

given by

B

60

(

n

S) =

b

L

(

n

S) +

10

9

N

(

n

S) +

· · ·

(44)

was derived by Pachucki (2001). The dots represent

uncalculated contributions at the relative level of 15 %
(Pachucki and Jentschura, 2003). Equation (44) gives

B

60

(1S) =

−

61

.

6(9

.

2). However, more recently Yerokhin

et al.

(2003, 2005a,b, 2007) have calculated the 1S-state

two-loop self energy correction for

Z

≥

10. This is ex-

pected to give the main contribution to the higher-order
two-loop correction. Their results extrapolated to

Z

= 1

yield a value for the contribution of all terms of order

B

60

or higher of

−

127

×

(1

±

0

.

3), which corresponds to a

value of roughly

B

60

=

−

129(39), assuming a linear ex-

trapolation from

Z

= 1 to

Z

= 0. This differs by about a

factor of two from the result given by Eq. (44). In view of
this difference between the two calculations, for the 2006
adjustment, we use the average of the two values with an
uncertainty that is half the difference, which gives

B

60

(1S) =

−

95

.

3(0

.

3)(33

.

7)

.

(45)

In Eq. (45), the first number in parentheses is the state-
dependent uncertainty

u

n

(

B

60

) associated with the two-

loop Bethe logarithm, and the second number in paren-
theses is the state-independent uncertainty

u

0

(

B

60

) that

is common to all S-state values of

B

60

. Values of

B

60

for

all relevant S-states are given in Table XI. For higher-

l

states,

B

60

has not been calculated, so we take it

to be zero, with uncertainties

u

n

[

B

60

(

n

P)] = 5

.

0 and

u

n

[

B

60

(

n

D)] = 1

.

0. We assume that these uncertain-

ties account for higher-order P and D state uncertainties
as well. For S states, higher-order terms have been es-
timated by Jentschura

et al.

(2005a) with an effective

potential model. They find that the next term has a
coefficient of

B

72

and is state independent. We thus as-

sume that the uncertainty

u

0

[

B

60

(

n

S)] is sufficient to ac-

count for the uncertainty due to omitting such a term
and higher-order state-independent terms. In addition,
they find an estimate for the state dependence of the next
term, given by

∆

B

71

(

n

S) =

B

71

(

n

S)

−

B

71

(1S) =

π

427

36

−

16

3

ln 2

×

3
4

−

1

n

+

1

4

n

2

+

γ

+

ψ

(

n

)

−

ln

n

(46)

with a relative uncertainty of 50 %. We include this ad-
ditional term, which is listed in Table XI, along with the
estimated uncertainty

u

n

(

B

71

) =

B

71

/

2.

The disagreement of the analytic and numerical calcu-

lations results in an uncertainty of the two-photon contri-
bution that is larger than the estimated uncertainty used

TABLE XI Values of

b

L

,

B

60

, and ∆

B

71

used in the 2006

adjustment

n

b

L

(

n

S)

B

60

(

n

S)

∆

B

71

(

n

S)

1

−

81

.

4(0

.

3)

−

95

.

3(0

.

3)(33

.

7)

2

−

66

.

6(0

.

3)

−

80

.

2(0

.

3)(33

.

7)

16(8)

3

−

63

.

5(0

.

6)

−

77

.

0(0

.

6)(33

.

7)

22(11)

4

−

61

.

8(0

.

8)

−

75

.

3(0

.

8)(33

.

7)

25(12)

6

−

59

.

8(0

.

8)

−

73

.

3(0

.

8)(33

.

7)

28(14)

8

−

58

.

8(2

.

0)

−

72

.

3(2

.

0)(33

.

7)

29(15)

in the 2002 adjustment. As a result, the uncertainties of
the recommended values of the Rydberg constant and
proton and deuteron radii are slightly larger in the 2006
adjustment, although the 2002 and 2006 recommended
values are consistent with each other. On the other hand,
the uncertainty of the 2P state fine structure is reduced
as a result of the new analytic calculations.

As in the case of the order

α

self-energy and vacuum-

polarization contributions, the dominant effect of the fi-
nite mass of the nucleus is taken into account by mul-
tiplying each term of the two-photon contribution by
the reduced-mass factor (

m

r

/m

e

)

3

, except that the mag-

netic moment term, the second line of Eq. (31), is in-
stead multiplied by the factor (

m

r

/m

e

)

2

. In addition,

the argument (

Zα

)

−

2

of the logarithms is replaced by

(

m

e

/m

r

)(

Zα

)

−

2

.

g. Three-photon corrections

The leading contribution

from three virtual photons is expected to have the form

E

(6)

=

α

π

3

(

Zα

)

4

n

3

m

e

c

2

[

C

40

+

C

50

(

Zα

) +

· · ·

]

,

(47)

in analogy with Eq. (29) for two photons. The leading
term

C

40

is (Baikov and Broadhurst, 1995; Eides and

Grotch, 1995a; Laporta and Remiddi, 1996; Melnikov and

14

van Ritbergen, 2000)

C

40

=

−

568 a

4

9

+

85

ζ

(5)

24

−

121

π

2

ζ

(3)

72

−

84 071

ζ

(3)

2304

−

71 ln

4

2

27

−

239

π

2

ln

2

2

135

+

4787

π

2

ln 2

108

+

1591

π

4

3240

−

252 251

π

2

9720

+

679 441

93 312

δ

l

0

+

−

100 a

4

3

+

215

ζ

(5)

24

−

83

π

2

ζ

(3)

72

−

139

ζ

(3)

18

−

25 ln

4

2

18

+

25

π

2

ln

2

2

18

+

298

π

2

ln 2

9

+

239

π

4

2160

−

17 101

π

2

810

−

28 259

5184

1

−

δ

l

0

κ

(2

l

+ 1)

,

(48)

where

a

4

=

P

∞

n

=1

1

/

(2

n

n

4

) = 0

.

517 479 061

. . .

. Higher-

order terms have not been calculated, although partial
results have been obtained (Eides and Shelyuto, 2007).
An uncertainty is assigned by taking

u

0

(

C

50

) = 30

δ

l

0

and

u

n

(

C

63

) = 1, where

C

63

is defined by the usual con-

vention. The dominant effect of the finite mass of the
nucleus is taken into account by multiplying the term
proportional to

δ

l

0

by the reduced-mass factor (

m

r

/m

e

)

3

and the term proportional to 1

/

[

κ

(2

l

+ 1)], the magnetic

moment term, by the factor (

m

r

/m

e

)

2

.

The contribution from four photons is expected to be

of order

α

π

4

(

Zα

)

4

n

3

m

e

c

2

,

(49)

which is about 10 Hz for the 1S state and is negligible at
the level of uncertainty of current interest.

h. Finite nuclear size

At low

Z

, the leading contribution

due to the finite size of the nucleus is

E

(0)

NS

=

E

NS

δ

l

0

,

(50)

with

E

NS

=

2
3

m

r

m

e

3

(

Zα

)

2

n

3

m

e

c

2

ZαR

N

λ

C

2

,

(51)

where

R

N

is the bound-state root-mean-square (rms)

charge radius of the nucleus and

λ

C

is the Compton wave-

length of the electron divided by 2

π

. The leading higher-

order contributions have been examined by Friar (1979b);
Friar and Payne (1997b); Karshenboim (1997) [see also
Borisoglebsky and Trofimenko (1979); Mohr (1983)]. The
expressions that we employ to evaluate the nuclear size

correction are the same as those discussed in more detail
in CODATA-98.

For S states the leading and next-order corrections are

given by

E

NS

=

E

NS

(

1

−

C

η

m

r

m

e

R

N

λ

C

Zα

−

ln

m

r

m

e

R

N

λ

C

Zα

n

+

ψ

(

n

) +

γ

−

(5

n

+ 9)(

n

−

1)

4

n

2

−

C

θ

(

Zα

)

2

)

,

(52)

where

C

η

and

C

θ

are constants that depend on the details

of the assumed charge distribution in the nucleus. The
values used here are

C

η

= 1

.

7(1) and

C

θ

= 0

.

47(4) for

hydrogen or

C

η

= 2

.

0(1) and

C

θ

= 0

.

38(4) for deuterium.

For the P

1

/

2

states in hydrogen the leading term is

E

NS

=

E

NS

(

Zα

)

2

(

n

2

−

1)

4

n

2

.

(53)

For P

3

/

2

states and D states the nuclear-size contribution

is negligible.

i. Nuclear-size correction to self energy and vacuum polar-
ization

For the self energy, the additional contribution

due to the finite size of the nucleus is (Eides and Grotch,
1997b; Milstein

et al.

, 2002, 2003a; Pachucki, 1993b)

E

NSE

=

4 ln 2

−

23

4

α

(

Zα

)

E

NS

δ

l

0

,

(54)

and for the vacuum polarization it is (Eides and Grotch,
1997b; Friar, 1979a, 1981; Hylton, 1985)

E

NVP

=

3
4

α

(

Zα

)

E

NS

δ

l

0

.

(55)

For the self-energy term, higher-order size corrections

for S states (Milstein

et al.

, 2002) and size corrections

for P states have been calculated (Jentschura, 2003; Mil-
stein

et al.

, 2003b), but these corrections are negligible

for the current work, and are not included. The D-state
corrections are assumed to be negligible.

j. Radiative-recoil corrections

The dominant effect of nu-

clear motion on the self energy and vacuum polarization
has been taken into account by including appropriate
reduced-mass factors. The additional contributions be-
yond this prescription are termed radiative-recoil effects
with leading terms given by

E

RR

=

m

3

r

m

2

e

m

N

α

(

Zα

)

5

π

2

n

3

m

e

c

2

δ

l

0

×

6

ζ

(3)

−

2

π

2

ln 2 +

35

π

2

36

−

448

27

+

2
3

π

(

Zα

) ln

2

(

Zα

)

−

2

+

· · ·

.

(56)

15

The constant term in Eq. (56) is the sum of the an-
alytic result for the electron-line contribution (Czar-
necki and Melnikov, 2001; Eides

et al.

, 2001a) and

the vacuum-polarization contribution (Eides and Grotch,
1995b; Pachucki, 1995). This term agrees with the nu-
merical value (Pachucki, 1995) used in CODATA-98. The
log-squared term has been calculated by Pachucki and
Karshenboim (1999) and by Melnikov and Yelkhovsky
(1999).

For the uncertainty, we take a term of order

(

Zα

) ln(

Zα

)

−

2

relative to the square brackets in Eq. (56)

with numerical coefficients 10 for

u

0

and 1 for

u

n

. These

coefficients are roughly what one would expect for the
higher-order uncalculated terms. For higher-

l

states in

the present evaluation, we assume that the uncertainties
of the two- and three-photon corrections are much larger
than the uncertainty of the radiative-recoil correction.
Thus, we assign no uncertainty for the radiative-recoil
correction for P and D states.

k. Nucleus self energy

An additional contribution due to

the self energy of the nucleus has been given by Pachucki
(1995):

E

SEN

=

4

Z

2

α

(

Zα

)

4

3

π

n

3

m

3

r

m

2

N

c

2

×

ln

m

N

m

r

(

Zα

)

2

δ

l

0

−

ln

k

0

(

n, l

)

.

(57)

This correction has also been examined by Eides

et al.

(2001b), who consider how it is modified by the effect of
structure of the proton. The structure effect would lead
to an additional model-dependent constant in the square
brackets in Eq. (57).

To evaluate the nucleus self-energy correction, we use

Eq. (57) and assign an uncertainty

u

0

that corresponds

to an additive constant of 0.5 in the square brackets for
S states. For P and D states, the correction is small
and its uncertainty, compared to other uncertainties, is
negligible.

l. Total energy and uncertainty

The total energy

E

X

n

L

j

of

a particular level (where L = S, P, ... and

X

= H, D)

is the sum of the various contributions listed above plus
an additive correction

δ

X

n

L

j

that accounts for the uncer-

tainty in the theoretical expression for

E

X

n

L

j

. Our theo-

retical estimate of the value of

δ

X

n

L

j

for a particular level

is zero with a standard uncertainty of

u

(

δ

X

n

L

j

) equal to

the square root of the sum of the squares of the indi-
vidual uncertainties of the contributions; as they are de-
fined above, the contributions to the energy of a given
level are independent. (Components of uncertainty asso-
ciated with the fundamental constants are not included
here, because they are determined by the least squares
adjustment itself.) Thus, we have for the square of the

uncertainty, or variance, of a particular level

u

2

(

δ

X

n

L

j

) =

X

i

u

2

0

i

(

XLj

) +

u

2

ni

(

XLj

)

n

6

,

(58)

where

the

individual

values

u

0

i

(

XLj

)

/n

3

and

u

ni

(

XLj

)

/n

3

are

the

components

of

uncertainty

from each of the contributions, labeled by

i

, discussed

above. (The factors of 1

/n

3

are isolated so that

u

0

i

(

XLj

)

is explicitly independent of

n

.)

The covariance of any two

δ

’s follows from Eq. (F7) of

Appendix F of CODATA-98. For a given isotope

X

, we

have

u

(

δ

X

n

1

L

j

, δ

X

n

2

L

j

) =

X

i

u

2

0

i

(

XLj

)

(

n

1

n

2

)

3

,

(59)

which follows from the fact that

u

(

u

0

i

, u

ni

) = 0 and

u

(

u

n

1

i

, u

n

2

i

) = 0 for

n

1

6

=

n

2

. We also set

u

(

δ

X

n

1

L

1

j

1

, δ

X

n

2

L

2

j

2

) = 0

,

(60)

if L

1

6

= L

2

or

j

1

6

=

j

2

.

For covariances between

δ

’s for hydrogen and deu-

terium, we have for states of the same

n

u

(

δ

H

n

L

j

, δ

D

n

L

j

)

=

X

i

=

i

c

u

0

i

(HL

j

)

u

0

i

(DL

j

) +

u

ni

(HL

j

)

u

ni

(DL

j

)

n

6

,

(61)

and for

n

1

6

=

n

2

u

(

δ

H

n

1

L

j

, δ

D

n

2

L

j

) =

X

i

=

i

c

u

0

i

(HL

j

)

u

0

i

(DL

j

)

(

n

1

n

2

)

3

,

(62)

where the summation is over the uncertainties common
to hydrogen and deuterium. In most cases, the uncer-
tainties can in fact be viewed as common except for a
known multiplicative factor that contains all of the mass
dependence. We assume

u

(

δ

H

n

1

L

1

j

1

, δ

D

n

2

L

2

j

2

) = 0

,

(63)

if L

1

6

= L

2

or

j

1

6

=

j

2

.

The values of

u

(

δ

X

n

L

j

) of interest for the 2006 adjust-

ment are given in Table XXVIII of Sec. XII, and the non
negligible covariances of the

δ

’s are given in the form

of correlation coefficients in Table XXIX of that section.
These coefficients are as large as 0.9999.

Since the transitions between levels are measured in

frequency units (Hz), in order to apply the above equa-
tions for the energy level contributions we divide the the-
oretical expression for the energy difference ∆

E

of the

transition by the Planck constant

h

to convert it to a

frequency. Further, since we take the Rydberg constant

R

∞

=

α

2

m

e

c/

2

h

(expressed in m

−

1

) rather than the elec-

tron mass

m

e

to be an adjusted constant, we replace the

group of constants

α

2

m

e

c

2

/

2

h

in ∆

E/h

by

cR

∞

.

16

m. Transition frequencies between levels with

n

= 2

As an

indication of the consistency of the theory summarized
above and the experimental data, we list below values of
the transition frequencies between levels with

n

= 2 in

hydrogen. These results are based on values of the con-
stants obtained in a variation of the 2006 least squares
adjustment in which the measurements of the directly
related transitions (items

A

38,

A

39

.

1, and

A

39

.

2 in Ta-

ble XXVIII) are not included, and the weakly coupled
constants

A

r

(e),

A

r

(p),

A

r

(d), and

α

, are assigned their

2006 adjusted values. The results are

ν

H

(2P

1

/

2

−

2S

1

/

2

) = 1 057 843

.

9(2

.

5) kHz

[2

.

3

×

10

−

6

]

ν

H

(2S

1

/

2

−

2P

3

/

2

) = 9 911 197

.

6(2

.

5) kHz

[2

.

5

×

10

−

7

]

ν

H

(2P

1

/

2

−

2P

3

/

2

)

= 10 969 041

.

475(99) kHz

[9

.

0

×

10

−

9

]

,

(64)

which agree well with the relevant experimental results of
Table XXVIII. Although the first two values in Eq. (64)
have changed only slightly from the results of the 2002
adjustment, the third value, the fine-structure splitting,
has an uncertainty that is almost an order-of-magnitude
smaller than the 2002 value, due mainly to improvements
in the theory of the two-photon correction.

A value of the fine structure constant

α

can be obtained

from the data on the hydrogen and deuterium transi-
tions. This is done by running a variation of the 2006
least-squares adjustment that includes all the transition
frequency data in Table XXVIII and the 2006 adjusted
values of

A

r

(e),

A

r

(p), and

A

r

(d). The resulting value is

α

−

1

= 137

.

036 002(48)

[3

.

5

×

10

−

7

]

,

(65)

which is consistent with the 2006 recommended value,
although substantially less accurate. This result is in-
cluded in Table XXXIV.

2. Experiments on hydrogen and deuterium

Table XII summarizes the transition frequency data

relevant to the determination of

R

∞

. With the excep-

tion of the first entry, which is the most recent result for
the 1S

1

/

2

– 2S

1

/

2

transition frequency in hydrogen from

the group at the Max-Planck-Institute f¨

ur Quantenop-

tik (MPQ), Garching, Germany, all of these data are the
same as those used in the 2002 adjustment. Since these
data are reviewed in CODATA-98 or CODATA-02, they
are not discussed here. For a brief discussion of data not
included in Table XII, see Sec. II.B.3 of CODATA-02.

The new MPQ result,

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) = 2 466 061 413 187

.

074(34) kHz

[1

.

4

×

10

−

14

]

,

(66)

was obtained in the course of an experiment to search
for a temporal variation of the fine-structure constant

α

(Fischer

et al.

, 2004; H¨

ansch

et al.

, 2005; Poirier

et al.

, 2004; Udem, 2006). It is consistent with, but

has a somewhat smaller uncertainty than, the previ-
ous result from the MPQ group,

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) =

2

.

466 061 413 187

.

103(46) kHz [1

.

9

×

10

−

14

] (Niering

et al.

,

2000), which was the value used in the 2002 adjustment.
The improvements that led to the reduction in uncer-
tainty include a more stable external reference cavity
for locking the 486 nm cw dye laser, thereby reducing
its linewidth; an upgraded vacuum system that lowered
the background gas pressure in the interaction region,
thereby reducing the background gas pressure shift and
its associated uncertainty; and a significantly reduced
within-day Type A (

i.e.,

statistical) uncertainty due to

the narrower laser linewidth and better signal-to-noise
ratio.

The MPQ result in Eq. (66) and Table XII for

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) was provided by Udem (2006) of

the MPQ group. It follows from the measured value

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) = 2

.

466 061 102 474

.

851(34) kHz [1

.

4

×

10

−

14

] obtained for the (1S

, F

= 1

, m

F

=

±

1)

−→

(2S

, F

′

= 1

, m

′

F

=

±

1) transition frequency (Fischer

et al.

, 2004; H¨

ansch

et al.

, 2005; Poirier

et al.

, 2004) by

using the well known 1S and 2S hyperfine splittings (Ko-
lachevsky

et al.

, 2004; Ramsey, 1990) to convert it to the

frequency corresponding to the hyperfine centroid.

3. Nuclear radii

The theoretical expressions for the finite nuclear size

correction to the energy levels of hydrogen H and deu-
terium D (see Sec. IV.A.1.h) are functions of the bound-
state nuclear rms charge radius for the proton,

R

p

, and

for the deuteron,

R

d

. These values are treated as vari-

ables in the adjustment, so the transition frequency data,
together with theory, determine values for the radii. The
radii are also determined by elastic electron-proton scat-
tering data in the case of

R

p

and from elastic electron-

deuteron scattering data in the case of

R

d

. These inde-

pendently determined values are used as additional in-
formation on the radii. There have been no new results
during the last 4 years and thus we take as input data for
these two radii the values used in the 2002 adjustment:

R

p

= 0

.

895(18) fm

(67)

R

d

= 2

.

130(10) fm

.

(68)

The result for

R

p

is due to Sick (2003) [see also Sick

(2007b)]. The result for

R

d

is that given in Sec. III.B.7

of CODATA-98 based on the analysis of Sick and Traut-
mann (1998).

An experiment currently underway to measure the

Lamb shift in muonic hydrogen may eventually provide a
significantly improved value of

R

p

and hence an improved

value of

R

∞

(Nebel

et al.

, 2007).

17

TABLE XII Summary of measured transition frequencies

ν

considered in the present work for the determination of the Rydberg

constant

R

∞

(H is hydrogen and D is deuterium).

Authors

Laboratory

Frequency interval(s)

Reported value

Rel. stand.

ν

/kHz

uncert.

u

r

(Fischer

et al.

, 2004)

MPQ

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

2 466 061 413 187

.

074(34) 1

.

4

×

10

−

14

(Weitz

et al.

, 1995)

MPQ

ν

H

(2S

1

/

2

−

4S

1

/

2

)

−

1
4

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

4 797 338(10)

2

.

1

×

10

−

6

ν

H

(2S

1

/

2

−

4D

5

/

2

)

−

1
4

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) 6 490 144(24)

3

.

7

×

10

−

6

ν

D

(2S

1

/

2

−

4S

1

/

2

)

−

1
4

ν

D

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

4 801 693(20)

4

.

2

×

10

−

6

ν

D

(2S

1

/

2

−

4D

5

/

2

)

−

1
4

ν

D

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) 6 494 841(41)

6

.

3

×

10

−

6

(Huber

et al.

, 1998)

MPQ

ν

D

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

−

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

670 994 334

.

64(15)

2

.

2

×

10

−

10

(de Beauvoir

et al.

, 1997)

LKB/SYRTE

ν

H

(2S

1

/

2

−

8S

1

/

2

)

770 649 350 012

.

0(8

.

6)

1

.

1

×

10

−

11

ν

H

(2S

1

/

2

−

8D

3

/

2

)

770 649 504 450

.

0(8

.

3)

1

.

1

×

10

−

11

ν

H

(2S

1

/

2

−

8D

5

/

2

)

770 649 561 584

.

2(6

.

4)

8

.

3

×

10

−

12

ν

D

(2S

1

/

2

−

8S

1

/

2

)

770 859 041 245

.

7(6

.

9)

8

.

9

×

10

−

12

ν

D

(2S

1

/

2

−

8D

3

/

2

)

770 859 195 701

.

8(6

.

3)

8

.

2

×

10

−

12

ν

D

(2S

1

/

2

−

8D

5

/

2

)

770 859 252 849

.

5(5

.

9)

7

.

7

×

10

−

12

(Schwob

et al.

, 1999, 2001)

LKB/SYRTE

ν

H

(2S

1

/

2

−

12D

3

/

2

)

799 191 710 472

.

7(9

.

4)

1

.

2

×

10

−

11

ν

H

(2S

1

/

2

−

12D

5

/

2

)

799 191 727 403

.

7(7

.

0)

8

.

7

×

10

−

12

ν

D

(2S

1

/

2

−

12D

3

/

2

)

799 409 168 038

.

0(8

.

6)

1

.

1

×

10

−

11

ν

D

(2S

1

/

2

−

12D

5

/

2

)

799 409 184 966

.

8(6

.

8)

8

.

5

×

10

−

12

(Bourzeix

et al.

, 1996)

LKB

ν

H

(2S

1

/

2

−

6S

1

/

2

)

−

1
4

ν

H

(1S

1

/

2

−

3S

1

/

2

)

4 197 604(21)

4

.

9

×

10

−

6

ν

H

(2S

1

/

2

−

6D

5

/

2

)

−

1
4

ν

H

(1S

1

/

2

−

3S

1

/

2

) 4 699 099(10)

2

.

2

×

10

−

6

(Berkeland

et al.

, 1995)

Yale

ν

H

(2S

1

/

2

−

4P

1

/

2

)

−

1
4

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) 4 664 269(15)

3

.

2

×

10

−

6

ν

H

(2S

1

/

2

−

4P

3

/

2

)

−

1
4

ν

H

(1S

1

/

2

−

2S

1

/

2

) 6 035 373(10)

1

.

7

×

10

−

6

(Hagley and Pipkin, 1994)

Harvard

ν

H

(2S

1

/

2

−

2P

3

/

2

)

9 911 200(12)

1

.

2

×

10

−

6

(Lundeen and Pipkin, 1986) Harvard

ν

H

(2P

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

1 057 845

.

0(9

.

0)

8

.

5

×

10

−

6

(Newton

et al.

, 1979)

U. Sussex

ν

H

(2P

1

/

2

−

2S

1

/

2

)

1 057 862(20)

1

.

9

×

10

−

5

B. Antiprotonic helium transition frequencies and

A

r

(e)

The antiprotonic helium atom is a three-body system

consisting of a

4

He or

3

He nucleus, an antiproton, and

an electron, denoted by ¯

p He

+

. Even though the Bohr

radius for the antiproton in the field of the nucleus is
about 1836 times smaller than the electron Bohr radius,
in the highly-excited states studied experimentally, the
average orbital radius of the antiproton is comparable
to the electron Bohr radius, giving rise to relatively long-
lived states. Also, for the high-

l

states studied, because of

the vanishingly small overlap of the antiproton wavefunc-
tion with the helium nucleus, strong interactions between
the antiproton and the nucleus are negligible.

One of the goals of the experiments is to measure the

antiproton-electron mass ratio. However, since we as-
sume that

CP T

is a valid symmetry, for the purpose of

the least squares adjustment we take the masses of the
antiproton and proton to be equal and use the data to de-
termine the proton-electron mass ratio. Since the proton
mass is known more accurately than the electron mass
from other experiments, the mass ratio yields informa-
tion primarily on the electron mass. Other experiments
have demonstrated the equality of the charge-to-mass ra-
tio of p and ¯

p to within 9 parts in 10

11

; see Gabrielse

(2006).

1. Theory relevant to antiprotonic helium

Calculations of transition frequencies of antiprotonic

helium have been done by Kino

et al.

(2003) and by Ko-

robov (2003, 2005). The uncertainties of calculations by
Korobov (2005) are of the order of 1 MHz to 2 MHz,
while the uncertainties and scatter relative to the ex-
perimental values of the results of Kino

et al.

(2003) are

substantially larger, so we use the results Korobov (2005)
in the 2006 adjustment. [See also the remarks in Hayano
(2007) concerning the theory.]

The dominant contribution to the energy levels is just

the non-relativistic solution of the Schr¨odinger equation
for the three-body system together with relativistic and
radiative corrections treated as perturbations. The non-
relativistic levels are resonances, because the states can
decay by the Auger effect in which the electron is ejected.
Korobov (2005) calculates the nonrelativistic energy by
using one of two formalisms, depending on whether the
Auger rate is small or large. In the case where the rate
is small, the Feshbach formalism is used with an optical
potential. The optical potential is omitted in the calcula-
tion of higher-order relativistic and radiative corrections.
For broad resonances with a higher Auger rate, the non-
relativistic energies are calculated with the Complex Co-
ordinate rotation method. In checking the convergence of