Introduction à la Synthèse des Filtres Actifs

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

1.1 Définitions

Un filtre électrique opère une modification d’un signal électrique d’entrée ou
d’excitation

)

(

, pour produire un signal de sortie ou réponse,

)

(

. A cette

modification du signal temporel

)

(

correspond une modification du spectre

)

(

pour produire

)

(

Si le filtre est linéaire, le contenu spectral de

)

(

ne peut être plus riche que

celui de

)

(

. Le filtre se contente alors d’amplifier ou d’atténuer certaines

composantes présentes dans

)

(

. Un filtre non linéaire, au contraire, fait

apparaître des composantes inexistantes dans

)

(

. La plupart des filtres sont

linéaires. Ce sont les seuls que nous étudierons ici.
On distingue par ailleurs les filtres analogiques des filtres numériques. Les
premiers agissent directement sur le signal analogique d’entrée. Ils sont
constitués d’un ensemble de composants analogiques (résistances,
condensateurs, inductances, éléments actifs). Les seconds requièrent une
numérisation préalable du signal d’entrée, dont ils modifient les valeurs ainsi
numérisées à l’aide d’un ensemble d’opérateurs numériques (multiplieurs,
additionneurs, éléments à délai). Nous n’étudierons ici que la synthèse des filtres
analogiques.

1.2 Applications

Les filtres sont aujourd’hui présents dans pratiquement n’importe quel
équipement de télécommunication. L’application la plus importante est sans
aucun doute celle liée au multiplexage fréquentiel de signaux, opération qui
consiste à combiner en un seul signal une multitude de signaux indépendants,
qui occupent dans le signal multiplexé une plage spectrale déterminée. C’est le
principe de la transmission hertzienne des signaux radio-TV : le champ
électromagnétique qui nous entoure porte la somme de toutes les émissions
radio-TV. C’est aussi le principe de la transmission analogique longue distance de
signaux téléphoniques sur paires cuivrées : afin de minimiser le nombre de
câbles à poser, on fait passer plusieurs communications sur le même câble. A la
réception, il est donc nécessaire de démultiplexer le signal transmis, afin de
reconstituer les signaux de départ. Ceci s’effectue en deux étapes :

CHAPITRE 2

SPECIFICATIONS

2.1 Caractéristiques d’un filtre

Un filtre (linéaire) est caractérisé par sa fonction de transfert isochrone ou
réponse en fréquence:

)

(

)

(

)

(

(2.1)

On la décompose souvent en réponse en amplitude

)

(

et réponse en phase

)

(

)

(

)

(

)

(

(2.2)

On définit également l’affaiblissement

)

(

, mesuré en décibels, et le délai de

groupe

)

(

, mesuré en secondes:

))

(

log(

)

(

−

(2.3)

∂

−

∂

))

(

)

(

(2.4)

Exemple 2.1

Visualisons sous Matlab la réponse en amplitude, la réponse en phase, l’affaiblissement, et le
délai de groupe d’un filtre dont on connaît la fonction de transfert opérationnelle :
H(p)=1/p+1 :

freqs([1],[1 1],logspace(-2,+2))

montre la réponse de 1/(p+1) entre 10e-2 et 10e2 rad/s (Fig. 2.1.a). Pour obtenir
l’affaiblissement et le délai de groupe, il faut demander explicitement (Fig. 2.1.b) :

[H,w]=freqs([1],[1 1],logspace(-2,+2));

subplot(2,1,1)

semilogx(w,-20*log10(abs(H)));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Attenuation (dB)’); grid;

subplot(2,1,2)

semilogx (w(1:length(w)-1), -diff(unwrap(angle(H)))./diff(w));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Group delay (s)’); grid;

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

)

(

Fig. 2.2. Conditions de non-distorsion d’un signal par un filtre : réponses en amplitude et
en phase.

En pratique, on admet parfois que le déphasage d’un filtre ne s’annule pas pour

=0 :

)

(

)

exp(

)

(

≠

−

(2.8)

Ceci peut impliquer une distorsion de la forme du signal reçu.
Exemple 2.2

Soit un signal x(t)=cos(50t)+cos(43t) passant à travers un filtre de réponse A(

)=1 et

(

)=-0.03

. Visualisons la sortie de ce filtre. Même chose si

(

)=-0.03

.+6.8

. Même

chose si

(

)=-

²(Fig. 2.3).

t=(0:0.01 :2);

subplot(2,1,1);

plot(t,cos(50*t)+cos(43*t),’:’);

hold on;

plot(t,cos(50*t-0.03*50)+cos(43*t-0.03*43));

subplot(2,1,2);

plot(t,cos(50*t)+cos(43*t),’:’);

hold on;

plot(t,cos(50*t-0.03*50+6.8*pi)+cos(43*t-0.03*43+6.8*pi));

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

-2

-1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

-2

-1

10 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 2.3. Passage d’un signal à travers un filtre sans distorsion (haut) et à travers
un filtre à phase linéaire non nulle en

=0.

Ce type de distorsion est cependant sans effet lorsque le filtre est utilisé pour
démultiplexer des signaux modulés.
Exemple 2.3

Considérons la modulation d’amplitude de

)

cos(

Ω

par une porteuse

)

cos(

cos

)

cos

(

)

(

Ω

(2.9)

puisque

)

cos(

)

cos(

cos

−

, il vient :

)

cos(

)

cos(

cos

)

(

Ω

−

Ω

(2.10)

ce qui donne, après passage dans un filtre de déphasage

)

(

≠

−

)]

)

(

)

cos[(

)]

)

(

)

cos[(

)

cos(

)

(

Ω

−

Ω

−

Ω

−

Ω

−

(2.11)

et finalement, après application de la même identité en sens inverse :

)

cos(

)]

cos(

[

)

(

−

Ω

−

Ω

(2.12)

On constate que la porteuse et son enveloppe sont décalées dans le temps, mais que la
forme du signal d’enveloppe reste inchangée. On peut étendre ce raisonnement aux signaux
d’enveloppe quelconques.

On considère donc en général qu’un filtre est sans distorsion significative lorsqu’il
présente une réponse en amplitude constante et un délai de groupe constant
dans sa bande passante.

2.3 Spécifications en amplitude

On catégorise les filtres en fonction du type de modification qu’ils imposent sur
leur entrée. Les filtres réalisant des modifications du spectre d’amplitude sont
classés en filtres passe-bas, passe-bande, passe-haut, ou coupe-bande.
La forme générale de la fonction de transfert opérationnelle d’un filtre est :

...

)

(

)

(

)

(

(2.13)

L’ordre du filtre est n, qui doit bien entendu satisfaire à n>=m. Les zéros de N(p)
sont les zéros du filtre; les zéros de D(p) sont les pôles du filtre. Les pôles du
filtre doivent être situés à gauche de l’axe imaginaire pour que le filtre soit
stable. D(p) doit pour ce faire être un polynôme dit de Hurwitz.
Nous étudions ici la manière de spécifier divers types de filtres. Nous verrons
plus loin (chapitre 3) comment établir des fonctions de transfert qui permettent
de respecter ces spécifications.
Les spécifications d’un filtre passe-bas typique sont données à la Fig. 2.4. Sa
bande passante se situe entre 0 et

(où c est mis pour “cut-off”) et sa bande

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

atténuée s’étend de

(où s est mis pour “stop”) à l’infini. On accepte une

certaine variation maximale

(ou ripple) de la courbe d’affaiblissement en

bande passante (où M est mis pour “maximum”), et on impose que l’atténuation
en bande atténuée soit supérieure à une valeur minimale

(où m est mis pour

“minimum”).

)

(

(dB)

-A

Fig. 2.4. Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bas.

Un filtre passe-haut a des spécifications inversées (Fig. 2.5) : sa bande atténuée
va de de 0 à

, et sa bande passante de

à l’infini.

)

(

(dB)

-A

Fig. 2.5. Spécifications en amplitude d’un filtre passe-haut.

Un filtre passe-bande (Fig. 2.6) a deux bandes atténuées, de 0 à

−

et de

l’infini. Il laisse passer les fréquences entre

−

. En général, la largeur des

bandes de transition est quelconque. On parle de filtre à symétrie géométrique
lorsqu’on a

−

, ce qui implique que les bandes de transition soient

de même largeur sur un graphique logarithmique.

En pratique, la bande passante d’un passe-haut est toujours limitée vers le haut par la réponse

en fréquence des éléments qui le composent. En technologie RCAO, c’est l’amplificateur
opérationnel qui limite la bande passante, à quelques centaines de kHz tout au plus.

12 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-A

S+

)

(

(dB)

-A

Fig. 2.6. Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bande.

Les spécifications d’un filtre coupe-bande sont inverses de celles d’un passe-
bande (Fig. 2.7).

-A

S+

)

(

(dB)

-A

Fig. 2.7. Spécifications en amplitude d’un filtre coupe-bande.

Il arrive que l’on doive réaliser la synthèse de filtres aux spécifications plus
complexes. La bande passante et/ou la bande atténuée peuvent ainsi être
composées de plusieurs bandes avec des specifications d’atténuation distinctes
(voir Fig. 2.8 par exemple).

)

(

(dB)

Fig. 2.8. Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bas complexe

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

2.4 Spécifications en phase ou en délai

La condition de non-distorsion sur la phase, mentionnée au point 2.2, n’est en
général pas requise pour les signaux audio. L’oreille humaine est en effet dans
une large mesure insensible à un déphasage sur le signal perçu, à condition que
ce déphasage soit constant dans le temps. Cette condition est par contre très
importante lorsqu’on cherche à transmettre des signaux vidéo, ou n’importe quel
type de signal numérique (0/1). Une distorsion de phase implique en effet une
modification de la forme de ces signaux, ce qui peut en fausser la perception
(signaux video) ou l’interprétation (signaux numériques).
Or, pour vérifier de manière efficiente les spécifications en amplitude, les
techniques d’approximation (voir chapitre 3) placent systématiquement les zéros
de H(z) sur l’axe imaginaire. Le filtre ainsi obtenu est donc à minimum de phase.
Rappel

Un système à minimum de phase est un système dont les zéros sont à gauche (ou sur) l’axe
imaginaire. Considérons en effet deux système dont le premier est à minimum de phase, et
dont le second diffère du premier en ceci que ses zéros sont les symétriques de ceux du
premier par rapport à l’axe imaginaire (Fig. 2.9). Il est clair que ces deux systèmes
possèdent la même réponse en amplitude (en vertu de l’interprétation géométrique de la
réponse en amplitude, qui est le produit des normes des vecteurs

−

divisé par le

produit des normes des vecteurs

−

. Par contre, la réponse en phase du premier est

partout inférieure à celle du second (en vertu de l’interprétation géométrique de la réponse
en phase, qui est la somme des phases des vecteurs

−

moins la somme des phases

des vecteurs

−

-p

-z

-p

-z

Fig. 2.9. Deux systèmes à même réponse en amplitude. Celui de gauche est à
minimum de phase.

On peut montrer que la réponse en amplitude et la réponse en phase d’un
système à minimum de phase ne sont pas indépendantes. Elles vérifient des
relations complexes appelées relations de Bayard-Bode, qui permettent de
trouver la réponse en phase du système, connaissant sa réponse en amplitude.
Cette réponse en phase ne satisfait pas en général aux conditions de non-
distorsion.
On cherche donc à corriger la courbe de phase (ou de délai), en multipliant

)

(

par une fonction passe-tout

)

(

(AP étant mis pour « all pass »). Un

passe-tout est un filtre dont les zéros se trouvent dans le demi-plan de droite, en
symétrie horizontale avec ses pôles. Ceci implique que :

CHAPITRE 3

APPROXIMATION

Le but de l'approximation est de transformer des spécifications portant sur
l'affaiblissement ou le déphasage d'un filtre en une fonction de transfert qui les
vérifie. Nous nous intéresserons plus particulièrement ici à l'approximation de
l'affaiblissement. Si la phase ou le délai de groupe du filtre doivent également
respecter des spécifications précises, il faudra se souvenir de corriger la phase
des filtres obtenus, en ajoutant des cellules correctrices de phase

Les filtres du second degré sont les plus simples que l’on puisse imaginer. Leurs
coefficients sont en effet directement interprétables sur la fonction de tranfert du
filtre. Le problème de l’approximation est alors trivial (3.1). Ces filtres ne
permettent cependant pas de répondre à des spécifications quelconques.
Pour les filtres de degrés plus élevés, on distingue deux méthodes générales
d'approximation: la première, dite analytique, où la fonction de transfert H(p)
est calculée à partir de formules mathématiques simples; la seconde, dite
numérique, où la fonction de transfert est le résultat d'algorithmes numériques
complexes nécessitant l'usage d'un ordinateur; seule l'approximation analytique
sera abordée ici (3.2).

3.1 Les filtres du second degré

Les filtres (ou sections) du second degré ont la forme générale :

)(

(

)(

(

)

(

−

(3.1)

que l’on trouve aussi souvent sous la forme :

(

)

(

(3.2)

où

, et

(resp.

, et

) sont respectivement l’opposé de la

partie réelle, le module, et le facteur de qualité des pôles (resp. des zéros).
Certaines de ces grandeurs ont une interprétation graphique immédiate (Fig.
3.1).

Ces techniques ne seront cependant pas vues dans ce cours d'introduction, à l'exception de celle

ébauchée à la section 3.1.5.

16 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 3.1. Pôles et zéros d'un filtre du second degré quelconque

On trouvera ci-dessous les caractéristiques des filtres du second degré de type
passe-bas, passe-bande, passe-haut, coupe-bande, et passe-tout. Pour chaque
filtre, il est facile de trouver des coefficients qui respectent des spécifications
données (à condition qu’elles soient très peu contraignantes, vu le faible nombre
de degrés de liberté dont on dispose).

3.1.1 La section "passe-bas"

La fonction de transfert de la section passe-bas est donnée par :

(

)

(

(3.3)

expression dans laquelle

représente le facteur de qualité de la section du

second degré; les pôles de H(p) sont complexes si

(ce qui correspond à

Exemple 3.1

Affichons la courbe de Bode en amplitude et le diagramme poles-zéros d’un filtre passe-bas
du second degré, de gain en bande passante égal à 10, de fréquence de coupure égale à 20
rad/s, et de facteur de qualité égal à 10 (Fig. 3.2)

freqs([4000],[1,2,400],logspace(0,3));

zplane([], [1,2,400]);

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-200

-150

-100

-50

Frequency (radians)

Phas

e (

degr

ees

)

-4

-2

Frequency (radians)

Magni

tude

20 logK

-40dB/déc

20 logQp

-25

-20

-15

-10

-5

-20

-15

-10

-5

Real part

inar

par

Fig. 3.2. Courbe de Bode et diagramme poles-zéros d’un filtre passe-bas du second
degré.

La courbe asymptotique de Bode associée (dans le cas de racines complexes),
ainsi que la courbe réelle, ont une allure typique (Fig. 3.2). La courbe de gain
logarithmique part de 20 log(K) en DC, et tombe à 40 dB/décade au delà de la
fréquence de coupure

(les deux pôles étant de même module, leurs

contributions à la courbe asymptotique globale sont identiques). L'examen de
cette figure explique bien le nom porté par

3.1.2 La section "passe-haut"

La fonction de transfert de la section du second degré de type passe-haut est
donnée par :

18 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

(

)

(

(3.4)

et sa courbe de gain logarithmique est présentée sur la figure ci-dessous. Le
double zéro en 0 annule la paire pôles pour les hautes fréquences et assure une
atténuation tendant vers l’infini en 0.
Exemple 3.2

Affichons la courbe de Bode en amplitude et le diagramme poles-zéros d’un filtre passe-haut
du second degré, de gain en bande passante égal à 10, de fréquence de coupure égale à 20
rad/s, et de facteur de qualité égal à 10 (Fig. 3.3)

freqs([10 0 0],[1,2,400],logspace(0,3));

zplane([10 0 0], [1,2,400]);

100

150

200

Frequency (radians)

Phas

e (degrees

)

-2

Frequency (radians)

agnit

20 logK

-40dB/déc

20 logQp

-25

-20

-15

-10

-5

-20

-15

-10

-5

Real part

inary

part

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 3.3. Courbe de Bode et diagramme poles-zéros d’un filtre passe-haut du
second degré.

3.1.3 La section "passe-bande"

La fonction de transfert de la section du second degré de type passe-bande est
donnée par:

(

)

(

(3.5)

et sa courbe de gain logarithmique est présentée à la figure ci-dessous. Le zéro
en 0 n’annule qu’un pôle en hautes fréquences, ce qui impose une atténuation
infinie en 0 et l’infini.
Exemple 3.3

Affichons la courbe de Bode en amplitude et le diagramme poles-zéros d’un filtre passe-
bande du second degré, de gain en bande passante égal à 10, de fréquence centrale de
bande passante égale à 20 rad/s, et de facteur de qualité égal à 10 (Fig. 3.4)

freqs([2,0],[1,2,400],logspace(0,3,500));

zplane([2,0], [1,2,400]);

-100

-50

100

Frequency (radians)

Phase (degrees)

-3

-2

-1

Frequency (radians)

agnitude

20 log(K/

+20dB/déc

20 logQ

-20dB/déc

3dB

20 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-25

-20

-15

-10

-5

-20

-15

-10

-5

Real part

agi

par

Fig. 3.4. Courbe de Bode et diagramme poles-zéros d’un filtre passe-bande du
second degré.

Si on appelle

−

les deux pulsations à 3 dB du maximum (ce qui

correspond, en amplitude, à un facteur 1/

), on peut monter ces fréquences

sont en symétrie géométrique par rapport à

et que la bande passante est

inversément proportionnelle à

−

(3.6)

3.1.4 La section "réjecteur de fréquence"

La fonction de transfert de la section du second degré de type réjection de
fréquence se présente sous la forme suivante :

(

)

(

(3.7)

On distingue les réjecteurs de type « passe-bas », « passe-haut », et les
réjecteurs « symétriques », selon que

, ou

La courbe de gain logarithmique est présentée à la figure ci-dessous dans le cas
« passe-bas ».
Exemple 3.4

Affichons la courbe de Bode en amplitude et le diagramme poles-zéros d’un filtre réjecteur de
fréquences de type passe-bas du second degré, de largeur de bande passante égale à 20
rad/s, de fréquence de réjection égale à 30 rad/s (avec 60 dB de réjection), et de facteur de
qualité de la paire de pôles égal à 10 (Fig. 3.5).

Comme on ne précise pas le facteur de qualité de la paire de pôles, on choisit par exemple 1
pour assurer une bande passante plate.

freqs(4/9*[1,30/1000,900],[1,20/10,400],logspace(0,3));

zplane(4/9*[1,30/1000,900],[1,20/10,400]);

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-200

-150

-100

-50

Frequency (radians)

hase (degrees)

-4

-2

Frequency (radians)

Magnitude

20 log (K

)

20 logQ

-40

-30

-20

-10

-30

-20

-10

Real part

agi

nar

par

Fig. 3.5. Courbe de Bode et diagramme poles-zéros d’un filtre réjecteur de
fréquence du second degré.

On remarque que si

tend vers l'infini, la pulsation

ωω

est d'autant mieux

éliminée, ce qui justifie le nom de cette section du second degré.

3.1.5 La section "passe-tout"

La fonction de transfert de la section du second degré de type passe-tout se
présente sous la forme suivante (qui vérifie bien 2.14) :

22 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

(

)

(

−

(3.8)

Ses pôles sont en symétrie horizontale par rapport à ses zéros. Il est clair que

)

(

quelque soit la valeur de

ce qui justifie le nom de la section, qui

s'appelle aussi déphaseur pur ou cellule correctrice de phase car elle est utilisée
pour modifier la phase d'un système.
Exemple 3.5

Affichons les pôles et les zéros d’un filtre passe-tout du second degré, de fréquence
caractéristique égale à 1 rad/s, pour des facteurs de qualité égal à 1 (Fig. 3.6)

-1

-0.5

0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Real part

agi

nary

part

Fig. 3.6. pôles et zéros d’un filtre pase-tout du second degré.

Affichons le délai de groupe de ce même filtre pour des facteurs de qualité allant de 0.02 à
50 (Fig. 3.7).

for q=[0.02,0.1,0.3,1/sqrt(3),2,5,20,50]

w=0:0.01:3;

h=freqs([1 -1/q 1],[1 1/q 1],w);

a=unwrap(angle(h));

delay=-[0 diff(a)./diff(w)];

semilogy(w,delay);

hold on;

end;

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

0.5

1.5

2.5

-3

-2

-1

Qp=0.02

Qp=50

Fig. 3.7. Délai de groupe d’un filtre pase-tout du second degré, pour diverses
valeurs du facteur de qualité.

On montre que la valeur

donne la courbe la plus plate. Ces courbes indiquent une

forte distorsion de délai de groupe pour les grandes valeurs du facteur de qalité.

On peut montrer par ailleurs que, à même valeur de

et de

, les courbes de délai de

groupe des sections passe-bas, passe-haut, passe-bande et réjecteur de bande du second
degré sont identiques, et valent la moitié de celle de la section passe-tout. On en déduit que
ces section introduisent une distorsion de délai de groupe d'autant plus important que leur
facteur de qualité est important. Il est donc nécessaissaire, si le délai de groupe doit être
maintenu constant, d'utiliser des sections passe-tout du second degré pour corriger la phase.

Lorsque les spécifications en délai de groupe ne sont pas très sévères et que le
degré du filtre à corriger est faible, on peut utiliser un graphique comme celui de
la Fig. 3.7 pour choisir à vue la ou les cellules correctrices à utiliser.

3.2 Approximation analytique d’un passe-base

normalisé degré quelconque

Nous commencerons par l’approximation analytique d’un filtre passe-bas
normalisé en fréquence. Nous verrons en effet plus loin (Erreur ! Source du
renvoi introuvable.) que les spécifications en amplitude de filtres quelconques
peuvent se réduire à celles de ce type de filtre, après transformation en
fréquence ad-hoc.
La figure ci-dessous donne les spécifications générales en amplitude d’un filtre
passe-bas normalisé (en fréquence). La variable de fréquence y est explicitement

24 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

notée

)

(

Ω

, pour ne pas oublier que les développements qui vont suivre

se rapporteront à des spécifications normalisées :

Ω

sont

respectivement l’atténuation maximale admise en bande passante, et
l’atténuation minimale requise en bande atténuée.

)

(

Ω

(dB)

-A

Ω

-A

Ω

(rad/s)

Fig. 3.8. Spécifications en amplitude du filtre passe-bas normalisé.

Le problème de l’approximation analytique peut donc être posé ainsi : positionner
les pôles et les zéros de

)

(

de façon à respecter les spécifications sur

)

(

Ω

données à la Fig. 3.8.
Ces contraintes tendent toujours vers le conditions idéales : 0 dB en bande
passante, et une atténuation infinie dans la bande atténuée. Or, imposer une
atténuation infinie correspond bien entendu à placer les zéros de

)

(

Ω

(c.à.d.

aux zéros de

)

(

situés sur l’axe imaginaire) dans la bande atténuée; par

contre, imposer une valeur unitaire à

)

(

Ω

ne correspondent pas à placer les

pôles de

)

(

à un endroit particulier (placer ces pôles sur l'axe imaginaire en

bande passante conduirait à un gain infini, et non pas unitaire). Pour simplifier le
problème, on passe donc plutôt pas le calcul d’une fonction

)

(

, appelée

fonction caractéristique, dont on va s’arranger pour que ses zéros et ses pôles
correspondent précisement aux fréquences pour lesquelles

)

(

Ω

vaut 1 ou 0

(que l'on appelle parfois zéros et pôles d’affaiblissement, respectivement). Il
suffit pour cela de poser :

)

(

)

(

Ω

(3.9)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Ω

−

Ω

−

Ω

(3.10)

Il est clair que les zéros de

)

(

Ω

(c.à.d. les zéros de

)

(

situés sur l’axe

imaginaire) correspondent aux fréquences où l’atténuation vaut 0 dB (c.-à-d. aux
zéros de l’affaiblissement); les pôles de

)

(

Ω

(c.à.d. les pôles de

)

(

situés

En toute rigueur, nous devrions donc également noter P la variable complexe résultant de la

normalisation de p. Nous ne le ferons pas ici, pour ne pas alourdir les notations. Nous nous en
souviendrons cependant à la section 3.3.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

sur l’axe imaginaire) correspondent aux fréquences où l’atténuation est infinie
(aux zéros de

)

(

Ω

, c.-à-d. aux pôles de l’affaiblissement).

Le problème de l’approximation analytique devient alors : positionner les pôles et
les zéros de

)

(

de façon à respecter les spécifications sur

)

(

Ω

données à

la Fig. 3.8. Retrouver ensuite le

)

(

correspondant.

La Fig. 3.9 donne l’allure d’une fonction

)

(

Ω

répondant à ces spécifications,

ainsi que l'allure de la courbe de gain logarithmique correspondante.

)

(

Ω

(rad/s)

Ω

(rad/s)

)

(

Ω

(dB)

-A

Fig. 3.9. Spécifications sur

)

(

Ω

permettant de respecter les specifications

de la Fig. 3.8

et allure de la courbe de gain logarithmique correspondante.

Les valeurs de

de la Fig. 3.9 sont évidemment liées aux valeurs de

par :

Il est important de noter sur la figure du haut que l'axe des ordonnées n'est pas en dB.

26 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

log(

)

log(

−

(3.11)

Il apparaît clairement à la Fig. 3.9 que les zéros et les pôles de

)

(

sont situés

sur l'axe imaginaire. Les premiers sont situés dans la bande passante et sont
appelés zéros de réflexion (

,...

Ω

) : aux fréquences correspondantes, le

signal passe à travers le filtre sans être atténué; les seconds sont situés en
bande atténuée et sont appelés zéros de transmission (

,...

Ω

) : ces sont

les zéros de

)

(

Ω

En supposant qu'on ait pu déterminer une fonction

)

(

Ω

qui respecte les

spécifications de la Fig. 3.9, il est facile de trouver

)

(

Ω

par (3.9).

Et comme :

Ω

−

Ω

)

(

)

(

)

(

(3.12)

il est toujours possible de retrouver au moins une valeur de

)

(

)

(

−

remplaçant

Ω

par p/j dans

)

(

Ω

Le dernier problème à résoudre consiste alors à répartir les zéros et les pôles de

)

(

)

(

−

entre

)

(

)

(

−

. Ceci ne pose aucun problème pour les pôles

puisque tous les pôles situés dans le demi-plan de gauche sont ceux de

)

(

. La

répartition des zéros de

)

(

)

(

−

est également univoque dans la mesure où

ils seront dans la pratique tous situés sur l'axe imaginaire.

3.2.1 L'approximation de BUTTERWORTH

La facon la plus simple de respecter les specifications de la Fig. 3.9 est
d'imposer (voir Fig. 3.10) :

Ω

)

(

(3.13)

en fixant n de façon que :

)

(

≥

Ω

(3.14)

En mathématiques, cette opération porte le nom de prolongement analytique.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

Ω

(rad/s)

n=2

n=3

n=4

Fig. 3.10. Fonction caractéristique du filtre passe-bas de Butterworth.

C'est ce que l'on appelle l'approximation de Butterworth. Il s'agit d’une
approximation polynomiale: la fonction caractéristique est un polynôme. Les
zéros de réflexion se trouvent tous à l'origine et il n'y a pas de zéros de
transmission. On parle d'approximation méplate (c.-à-d. maximallement plate) à
l'origine : on montre facilement que ce type de fonction caractéristique conduit à
imposer que toutes les dérivées de

)

(

Ω

soient nulles pour

Ω

La condition (3.14) conduit à :

Ω

log

)

(

(3.15)

ce qui donne finalement :

log

Ω

−

(3.16)

où [x] représente la partie entière de x, puisque le degré doit par définition être
un entier.
Le choix de (3.13) conduit à :

)

(

Ω

(3.17)

et le remplacement de

Ω

par

−

(prolongement analytique) donne :

28 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

)

(

−

(3.18)

On en conclut que

)

(

)

(

−

ne possède pas de zéros, et que ses 2n pôles

sont les racines de :

−

(3.19)

Ceux-ci sont donc situé sur un cercle de rayon

. On ne retient pour

)

(

que les n pôles à gauche de l'axe imaginaire (voir Fig. 3.11) :

...,

−

(3.20)

n=2

n=3

n=4

Fig. 3.11. Localisation des pôles des filtres de BUTTERWORTH

Il est intéressant de calculer le comportement asymptotique de la courbe de gain
logarithmique :

Ω

−

≈

Ω

∞

→

Ω

log

)

log(

)

(

log

(3.21)

On retrouve bien dans cette expression la classique chute en -20dB/décade fois
le nombre de pôles du filtre.
Exemple 3.6

Calculons l'approximation de Butterworth pour le filtre passe-bas normalisé de la Fig. 3.12.

30 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-1

-0.5

0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Real part

agi

nar

Fig. 3.13. Pôles et zéros de l'approximation de Butterworth d'un passe-bas normalisé.

On affiche la réponse en fréquence (Fig. 3.14).

freqs(N,D);

-200

-100

100

200

Frequency (radians)

e (

rees

)

-30

-20

-10

Frequency (radians)

Fig. 3.14. Réponse en fréquence de l'approximation de Butterworth.

La phase est calculée modulo 2

, ce qui explique son allure cahotique. Il est également

intéressant d'afficher le délai de groupe (Fig. 3.15).

[H,w]=freqs(N,D);

subplot(2,1,2);

semilogx (w(1:length(w)-1), -diff(unwrap(angle(H)))./diff(w));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Group delay (s)’); grid;

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-1

Frequency (radians)

rou

p del

(

)

-30

-20

-10

Frequency (radians)

agn

ude

Fig. 3.15. Gain et délai de groupe de l'approximation de Butterworth d'un passe-bas

normalisé.

3.2.2 L'approximation de Chebyshev

La courbe d'affaiblissement des filtres de Butterworth varie d'une façon
monotone, ce qui implique que l'écart entre les spécifications et la courbe de gain
dans la bande passante sera toujours minimal à la fréquence de coupure et
maximal à l'origine. De même, cet écart est petit au droit de

Ω

, et plus grand

partout ailleurs en bande atténuée. Bref, le filtre de Butterworth est trop bon
presque partout, d'où son degré exagérément élevé.
Une approximation plus efficace, qui doit conduire à une diminution du degré
pour les même spécifications, consiste à répartir l'erreur de façon plus uniforme
dans la bande passante, en choisissant :

)

(

)

(

Ω

(3.22)

où

)

(

Ω

serait un polynôme oscillant entre -1 et 1, de sorte que

)

(

Ω

oscillerait entre 0 et

(voir Fig. 3.16) et où n serait fixé de façon que (3.14) soit

toujours vérifié.

32 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

Ω

(rad/s)

n=3

n=4

Fig. 3.16. Fonction caractéristique du filtre passe-bas de Chebyshev (type I)

Ces polynômes

)

(

Ω

existent : ce sont les polynômes de Chebyshev.

L'approximation qui y correspond est appelée approximation de Chebyshev de
type I (directe). Elle possède des zéros de réflexion en bande passante, mais pas
de zéros de transmission.
Rappel : les polynômes de Chebyshev

On appelle polynôme de Chebyshev d'ordre n le polynôme défini par:

[

]

[

]

)

cosh

(

cosh

)

(

)

cos

(

cos

≤

pour

arc

pour

arc

(3.23)

Contrairement à ce qu'il y paraît de prime abord, ce sont bien des polynômes. On peut en
effet montrer à l'aide de formules trigonométriques classiques que l'on a:

)

(

)

(

)

(

−

(3.24)

avec

)

(

)

(

Les polynômes de Chebyshev passent par les points caractéristiques suivants :

impair

pair

)

(

)

(

(3.25)

Pour

≤

)

(

oscille n fois entre 1 et -1 (ou, ce qui revient au même,

)

(

présente

n extrema entre 0 et 1) tandis que pour

, ces polynômes sont monotones croissants.

La Fig. 3.17 représente l'allure de

)

(

pour différentes valeurs de n.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

Fig. 3.17. Allure (du carré) des polynômes de Chebyshev.

La condition (3.14) devient alors :

Ω

arccosh

)

arccos

(

cosh

)

(

(3.26)

ce qui donne finalement :

arccosh

Ω

−

(3.27)

où [x] représente la partie entière de x, puisque le degré doit par définition être
un entier, et arccosh peut être calculé par :

(

)

cosh(

arc

−

(3.28)

Le choix de (3.22) conduit à :

)

(

)

(

Ω

(3.29)

On en conclut (après remplacement de

Ω

par

) que

)

(

)

(

−

ne possède

pas de zéros, et que ses 2n pôles sont les racines de :

)

(

(3.30)

On montre facilement que ceux-ci sont donc situés sur une ellipse :

34 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

...,

(

)

cosh(

cos(

)

sinh(

sin(

êë

−

êë

−

(3.31)

avec

)

sinh(

arc

(3.32)

Enfin, comme pour l'approximation de Butterworth, il est intéressant de calculer
le comportement asymptotique de la courbe de gain logarithmique. On montrera
à titre d'exercice qu'il vaut :

)

0206

log

)

(

log(

)

(

log

−

Ω

−

≈

Ω

∞

→

Ω

(3.33)

On en conclut que, à degré égal, un filtre de Chebyshev présente toujours une
atténuation plus grande en bande atténuée qu'un filtre de Butterworth. Il est
donc clair que pour respecter les mêmes spécifications un filtre de Chebyshev
nécessitera toujours un degré inférieur ou égal à un filtre de Butterworth

On pourrait également répartir l'erreur de façon plus uniforme en bande
atténuée, en inversant la formule précédente :

)

(

)

(

Ω

(3.34)

C'est l'approximation de Chebyshev de type II (inverse; voir Fig. 3.18). Cette
approximation force la courbe de gain à passer par (1 rad/s,-

dB). La courbe

est donc ici normalisée par rapport au début de la bande atténuée.

)

(

Ω

(rad/s)

En pratique, l'approximation de Butterworth n'est utilisée que lorsqu'il est fondamental d'avoir

une courbe de gain très plate en bande passante. Son intérêt est donc plutôt didactique.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 3.18. Fonction caractéristique du filtre passe-bas de Chebyshev Inverse (type II)

On peut montrer que, pour des spécifications identiques, Chebyshev I et
Chebyshev II sont de degrés identiques. Ils approximent donc aussi bien l'un que
l'autre les spécifications en amplitude. Par contre, leurs réponses en phases sont
très différentes. Les pôles de l'approximation de Chebyshev I ont des facteurs de
qualité plus élevés, ce qui conduit à des délais de groupes moins constants en
fréquence (voir l'exemple ci-dessous).
Exemple 3.7

Calculons les approximations de chebyshev I et II pour le filtre passe-bas normalisé de la
Fig. 3.12.

Matlab fournit un degré 10. On vérifiera à titre d'exercice que la formule (3.27) donne le
même degré. Le tracé des poles et zéros de le fonction de transfert est doonné à la Fig. 3.13.

[n1,wn1]=cheb1ord(1,1.2,1,40,'s')

[z1,p1,k1]=cheb1ap(n1,1);

zplane(z1,p1)

[n2,wn2]=cheb2ord(1,1.2,1,40,'s')

[z2,p2,k2]=cheb2ap(n2,40);

%imposer omegas comme debut de bande atténuée

[N2,D2]=lp2lp(k2*poly(z2),poly(p2),1.2);

figure(2)

zplane(N2,D2)

-1

-0.5

0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Real part

ary

part

-10

-8

-6

-4

-2

-8

-6

-4

-2

Real part

ary

part

Fig. 3.19. Pôles et zéros de l'approximation de Chebyshev d'un passe-bas normalisé.

(gauche : Chebyshev I; droite : Chebyshev II)

On affiche la réponse en fréquence, en remplaçant la courbe de phase par celle de délai de
groupe (Fig. 3.14).

N1=k1*poly(z1);

D1=poly(p1);

freqs(N1,D1);

[H1,w1]=freqs(N1,D1);

subplot(2,1,2);

Ceci constitue en fait une transformation de fréquence; nous verrons plus loin comment on la

réalise.

36 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

semilogx (w1(1:length(w1)-1), -diff(unwrap(angle(H1)))./diff(w1));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Group delay (s)’); grid;

figure(2)

freqs(N2,D2);

[H2,w2]=freqs(N2,D2);

subplot(2,1,2);

semilogx (w2(1:length(w2)-1), -diff(unwrap(angle(H2)))./diff(w2));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Group delay (s)’); grid;

-2

-1

Frequency (radians)

roup del

(

)

-1

-15

-10

-5

Frequency (radians)

agni

tude

-1

-200

-150

-100

-50

Frequency (radians)

roup del

(

)

-5

Frequency (radians)

agni

tude

Fig. 3.20. Gain et délai de groupe de l'approximation de Chebyshev d'un passe-bas

normalisé (gauche : Chebyshev I; droite : Chebyshev II).

On remarque bien une ondulation de la courbe de gain dans la bande passante pour
Chebyshev I, au contraire de Chebyshev II. La courbe de délai de groupe de Chebyshev I
ressemble assez à celle de Butterworth (à spécifications inchangées). Celle de Chebyshev II
est beacoup plus plate, si l'on fait abstraction des changements de signe brutaux de la phase
dus à la présence de zéros sur l'axe imaginaire

. On la préférera donc à l'approximation de

Chebyshev I pour les signaux sensibles à un décalage de phase non linéaire (signaux vidéo,
signaux informatiques).

3.2.3 L'approximation de Cauer (ou elliptique)

Nous avons vu à la section précédente que l'approximation est meilleure si on
parvient à répartir l'erreur d'approximation de façon plus égale dans la bande
passante ou dans la bande atténuée. On doit donc pouvoir obtenir une
approximation plus efficace encore en acceptant des ondulations de courbe de
gain dans la bande passante et dans la bande atténuée. La fonction
caractéristique correspondante doit donc être cette fois une fraction rationelle,
présentant des zéros de réflexion et de transmission :

)

(

)

(

Ω

(3.35)

Il est à remarquer que la courbe de délai de groupe pour Chebyshev II (et nous verrons que

c'est également le cas pour l'approximaton de Cauer) est ponctuée de pics aigus. Chaque fois que
la courbe de gain passe par une fréquence correspondant à un zéro sur l'axe imaginaire, on otient
en effet un brusque changement de signe de la courbe de phase, et donc un pic de délai de groupe.
Ces pics n'ont pas d'importance en pratique, puisqu'ils sont situés en bande atténuée, et
n'influencent donc pas beaucoup les phases des composantes spectrales en sortie du filtre.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-2

-1

-150

-100

-50

Frequency (radians)

oup de

(

)

-1

-4

-2

Frequency (radians)

gni

Fig. 3.23. Gain et délai de groupe de l'approximation de Cauer d'un passe-bas normalisé.

On remarque bien une ondulation de la courbe de gain dans la bande passante I et dans la
bande atténuée. La courbe de délai de groupe est comparable à celle de Chebyshev II (à
spécifications inchangées).

3.2.4 L'approximation de Bessel (ou de Thomson)

L'examen de l'évolution du délai de groupe des filtres décrits dans les sections
précédentes montre que celui-ci est loin d'être linéaire, spécialement au
voisinage de la fréquence de coupure du filtre passe-bas. L'approximation dite de
Bessel vise à la mise au point d'un passe-bas normalisé dont le délai de groupe
est maximalement constant à l'origine. Son élaboration fait intervenir des
polynômes de Bessel, d'où son nom (on l'appelle parfois aussi approximation de
Thomson, du nom de l'ingénieur à qui elle est due).
Les filtres de Bessel sont des filtres polynomiaux (comme les filtres de
Butterworth et de Chebyshev I : ils ne présentent que des pôles):

!.(

(

)

(

où

−

(3.36)

On montrera en guise d'exercice que, lorsque n tend vers l'infini, on a bien :

−

∞

→

)

(

lim

(3.37)

40 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

ce qui correspond bien au cas idéal d'un filtre à déphasage linéaire

, comme

exposé à la section 2.2.
Comme les filtres de Butterworth, les filtres de Bessel demandent des degrés
importants pour vérifier des spécifications sur l'affaiblissement, ce qui les rend
difficiles à utiliser (il vaut mieux utiliser un filtre de Cauer auquel on ajoute des
cellules correctrices de phase). On n'a de plus qu'un seul degré de liberté (n)
pour vérifier des spécifications qui portent à la fois sur le gain et sur le délai.
Exemple 3.9

Calculons l'approximation de Bessel pour un ordre allant de 3 à 10, et affichons les courbes
de gain et de délai de groupe correspondantes (Fig. 3.24).

for j=3:10

[z,p,k]=besselap(j);

[H,w]=freqs(k,poly(p),logspace(-1,1));

subplot(2,1,1);

loglog (w, abs(H));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Magnitude’); grid;

hold on;

subplot(2,1,2);

semilogx (w(1:length(w)-1), -diff(unwrap(angle(H)))./diff(w));

xlabel(‘Frequency (radians)’); ylabel(‘Group delay (s)’); grid;

hold on;

end;

-1

-10

-5

Frequency (radians)

agnitude

-1

Frequency (radians)

roup delay (s)

n=3

n=10

n=3

n=10

Fig. 3.24. Gain et délai de groupe de l'approximation de Bessel (

= 3 à 10).

Affichons les diagramme des pôles et zéros pour l'ordre 10 (Fig. 3.25)

Dans ce cas-ci, il s'agit même d'un filtre à délai égal à 1 s. L'expression (3.36) est en effet

donnée pour un passe-bas normalisé par rapport à l'inverse du délai de groupe, plutôt que par
rapport à la fréquence de coupure.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Real part

ary

part

Fig. 3.25. Pôles et zéros de l'approximation de Bessel d'odre 10.

3.3 Approximation analytique de filtres quelconques –

transformations de fréquence

Les méthodes d'approximation analytique décrites précédemment s'appliquent au
calcul de la fonction de transfert de filtres passe-bas normalisés. Elles conduisent
à l'obtention de fonctions de transfert opérationnelles normalisées

)

(

isochrones normalisées

)

(

Ω

L'approximation d'un filtre quelconque (ni normalisé, ni même passe-bas) de
spécifications connues sur

)

(

s'effectue en trois étapes :

1. Trouver une fonction associant à toute fréquence

des spécifications réelles

une fréquence

Ω

des spécifications du passe-base normalisé :

)

Ω

(3.38)

et en déduire les spécifications du passe-bas normalisé.

2. Réaliser l'approximation de ce passe-bas normalisé :

)

(

3. Obtenir

)

(

en remplaçant P dans

)

(

par sa valeur tirée de (3.38) :

)

(3.39)

Il est clair que, si on veut que

)

(

reste une fraction rationnelle, la

transformation de fréquence f() doit elle-même être une fraction rationnelle.
Dans les sections qui suivent, nous passons en revue les transformations de
fréquence nécessaires à l'approximation des passes-bas, passe-hauts, passe-
bandes, et coupe-bandes non normalisés.

3.3.1 Passe-bas vers passe-bas

A partir des spécifications d'un filtre passe-bas quelconque, on désire trouver les
spécifications d'un filtre normalisé passe-bas normalisé. La transformation
consiste en (Fig. 3.26):

42 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Ω

(3.40)

c'est-à-dire :

(3.41)

Fig. 3.26 Transformation passe-bas vers passe-bas

(les bandes passantes sont indiquées en hachuré)

On remarque qu'à la bande passante

)

(

du filtre passe-bas de départ

correspond par à la bande passante (0,1) du filtre normalisé, ce qui est le
résultat recherché.
Cette transformation peut aussi servir à la dénormalisation en fréquence de
n'importe quel filtre par rapport à la pulsation de référence

. On remarque

cependant en pratique (voir Exemple 3.10) que ce type de dénormalisation
conduit le plus souvent à des valeurs très disparates pour les coefficients, ce qui
provoque parfois des erreurs d’arrondi sur ordinateur. On préfère donc en
général conserver une approximationsnormalisée en fréquence, en ne réalisant la
dénormalisation qu’après avoir calculé les composants du filtre (voir 3.4).

3.3.2 Passe-bas vers passe-haut

La transformation est définie par (Fig. 3.27):

−

Ω

(3.42)

c'est-à-dire :

(3.43)

Le choix de

Ω

aurait conduit à

−

, ce qui aurait eu pour effet fâcheux de faire

passer les pôles du passe-bas normalisé à gauche de l'axe imaginaire.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 3.27 Transformation passe-bas en passe-haut

On remarque que la bande passante du filtre passe-haut

)

(

∞

est transformée

en la bande passante (0,-1) du filtre normalisé

3.3.3 Passe-bas vers passe-bande

La transformation est définie par (Fig. 3.28):

−

Ω

(3.44)

où B et

sont respectivement la largeur de bande et la fréquence centrale

(moyenne géométrique des extrémités des bandes passantes, ou moyenne
arithmétique sur un graphique logarithmique) du filtre :

−

(3.45)

c'est-à-dire :

(3.46)

Fig. 3.28 Transformation passe-bas en passe-bande

La bande

)

(

−

−∞

est par ailleurs transformée en la bande passante (0,+1)

44 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

On remarque que la bande passante

)

(

−

du filtre passe-bande est

transformée en la bande (-1,1) du filtre normalisé à la condition que les relations
(3.45) soient respectées. Ces relations ont en effet été obtenues à partir des
équations suivantes:

−

(3.47)

La transformation inverse en fréquence est déduite de (3.44) :

)

(

)

(

Ω

−

Ω

−

(3.48)

ce qui montre qu'à chaque valeur de

Ω

correspondent deux valeurs de

et que

l'on a toujours

−

, c'est-à-dire que les caractéristiques des filtres passe-

bande obtenus par transformation d'un filtre passe-bas normalisé sont en
symétrie géométrique autour de

. On ne pourra donc qu'engendrer une

catégorie très particulière de filtres passe-bande: ceux pour lesquels les
spécifications des deux bandes atténuées sont quasi les mêmes et en symétrie
géométrique. Il est clair que pour bon nombre de filtres passe-bande ne
respectant pas ces conditions, d'autres méthodes (numériques, cette fois) de
calcul de leur fonction de transfert conduiront à des filtres de degré plus faible
donc plus économiques à réaliser.
Exemple 3.10

Calculons l'approximation de Chebyshev I d'un filtre passe-bande dont les spécifications sont
données à la Fig. 3.31.

-1

5.2 6.6 8.4 11.5

)

(

(dB)

-26

f(kHz)

Fig. 3.29. Spécifications du filtre passe-bande.

On commence par appliquer la transformation de fréquence (3.44), ce qui conduit à (Fig.
3.30):

7446

Ω

−

Ω

−

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

Ω

(dB)

-1

1 3.03 3.71

-26

Ω

(rad/s)

Fig. 3.30. Spécifications du passe-bas normalisé.

Les spécifications n'étant pas symétriques, on les rend symétriques en ne retenant que les
spécifications les plus contraignantes en bande atténuée (3.03,-26dB) :

[n,wn]=cheb1ord(1,3.03,1,26,'s')

[z,p,k]=cheb1ap(n,1);

N=poly(z)*k

N =

0.4913

D=poly(p)

D =

1.0000

0.9883

1.2384 + 0.0000i

0.4913 - 0.0000i

Ce qui correspond (aux arondis de calcul près : les coefficients doivent bien entendu être
réels) à :

491

238

988

491

)

(

Et l'application la transformation[N,D]=Lp2bp(N,D,1,(8400-6600)*2*pi/ sqrt(6600*2*pi*8400*2*pi))

N =

0.0069

0.0000

-0.0000

0.0000

D =

1.0000

0.2389

3.0724

0.4848

3.0724

0.2389

1.0000

239

0724

485

0724

239

00693

)

(

Notons au passage que la dénormalisation n'a été effectuée que partiellement : on a gardé
une valeur unitaire pour la fréquence centrale

. Si l'on impose

à sa vraie valeur, on

trouve en effet des polynômes dont les coefficients auraient été très disparates, ce qui nuit à
la précision des résultats:

1.0e+013 *

1.98535055274046

D =

1.0e+028 *

46 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

0.00000000000000

0.00000000000002

0.00000000175628

0.00001624679370

1.04845278464242

La dénormalisation finale par rapport à

pourra se faire à la synthèse du circuit, en

modifiant directement les valeurs des éléments utilisés.

Notons également que l'on aurait pu obtenir ce résultat plus rapidement sous Matlab :

[n,wn]=cheb1ord([6600 8400]/sqrt(6600*8400),[ 5200 11500]/sqrt(6600*8400),1,26,'s');

[N,D]=cheby1(n,1,wn,'s')

N =

0.0069

D =

1.0000

0.2389

3.0724

0.4848

3.0724

0.2389

1.0000

On peut vérifier que la fonction

cheby1

réalise bien en fait l'ensemble des opérations décrites

plus haut (changement de fréquence, choix des spécifications qui couvrent toutes les autres,
approximation, dénormalisation). L'utilisation de cette fonction est cependant limitée aux
filtres simples : il est impossible de spécifier des atténuations différentes dans chacuen des
bandes atténuées.

La réponse en fréquence du filtre, et son diagramme pôles-zéros, sont données à la Fig.
3.31.

-1

-200

-100

100

200

Frequency (radians)

)

-4

-2

Frequency (radians)

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

-1

-0.5

0.5

Real part

Fig. 3.31. Réponse en fréquence et diagramme pôles-zéros du filtre passe-bande,

normalisé par rapport à

3.3.4 Passe-bas vers coupe-bande

La transformation est définie par (Fig. 3.32):

−

Ω

(3.49)

où B et

sont respectivement la largeur de bande et la fréquence centrale

(moyenne géométrique des extrémités des bandes passantes, ou moyenne
arithmétique sur un graphique logarithmique) du filtre :

−

(3.50)

c'est-à-dire :

48 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

A l'aide d'un simple voltmètre, on cherche à mesurer, avec une précision de 1%, l'amplitude
d'un signal sinusoidal à 320 Hz dont l'amplitude est de l'ordre de 1 Volt. Ce signal est
perturbé par un résidu du réseau à 50 Hz dont l'amplitude maximale est du même ordre de
grandeur que celle du signal a mesurer. Concevoir la fonction coupe-bande du second degré
qui permettra de faire la mesure.

Exercice 3.2

Dans une enceinte acoustique composée de 3 haut-parleurs (grave 20-100 Hz, medium 100-
2000 H, aigu 2000-20000Hz), on cherche à n'envoyer à chaque haut-parleur que les
composantes spectrales pour lesquelles il a été conçu. Concevoir les fonctions passe-bas,
passe-bande, et passe-haut du second degré nécessaires.

Exercice 3.3

On cherche les degrés de approximations de Butterworth, Chebyshev I et II, et Cauer pour le
filtre passe bas dont les spécifications en amplitude sont données à la figure suivante :

Aff

0.6

1.2

3 dB

40 dB

60 dB

0.9

Solution

On peut décomposer ce type de spécifications en deux passe-bas élémentaires (

Ω

0.9/0.6=1.5 et A

=40;

Ω

= 1.2/0.6=2 et A

=60), sachant que la solution à retenir est bien

entendu celle qui satisfait simultannément aux deux.

Pour les approximations de Butterworth et Chebyshev I, dont les courbes d'affaiblissement
passent toutes exactement par le point (1,3dB) et sont d'autant plus croissantes au delà de
la bande passante que le degré est grand, il est clair que la solution à retenir sera celle de
degré le plus élevé:

[n,wn]=buttord(0.6,0.9,3,40,'s')

n =

[n,wn]=buttord(0.6,1.2,3,60,'s')

n =

[n,wn]=cheb1ord(0.6,0.9,3,40,'s')

n =

[n,wn]=cheb1ord(0.6,1.2,3,60,'s')

n =

On garde donc respectivement un degré 12 et 6 pour Butterworth et Chebyshev I.

Matlab réalise automatiquement la normalisation en fréquence. On aurait donc obtenu le même

résultat avec :

[n,wn]=buttord(0.6,0.9,3,40,'s')

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Pour Chebyshev2 et Cauer, on doit imposer l'atténuation maximale présente dans les
spécifications pour la bande atténuée, mais la fréquence à laquelle cette atténuation doit être
satisfaite peut en principe être ajustée (par essais successifs, à l'aide d'un ordinateur)
quelque part entre 0.9 et 1.2. On choisit en général le cas extrême (

Ω

s = 1.5 et Am=60) :

[n,wn]=cheb2ord(0.6,1.2,3,60,'s')

n =

[n,wn]=ellipord(0.6,1.2,3,60,'s')

n =

Exercice 3.4

On cherche les degrés de approximations de Butterworth, Chebyshev I et II, et Cauer pour le
filtre passe bas dont les spécifications en amplitude sont données à la figure suivante :

Aff

f (Khz)

2.5

1 dB

40 dB

3.4

0.5 dB

0.2 dB

Solution

On peut décomposer ce type de spécifications en trois passe-bas élémentaires (0-2500 à
0.2dB et 4000-Inf à 40dB; 0-3000 à 0.5dB et 4000-Inf à 40dB; 0-3400 à 1dB et 4000-Inf
à 40dB), sachant que la solution à retenir est celle qui satisfait simultannément aux deux.

Pour l'approximation de Butterworth, il n'est pas évident a priori de trouver lequel des trois
ensembles de spécifications conduit à une courbe d'affaiblissement qui couvre les deux
autres. On peut donc les tester un à un et vérifier :

[n,wn]=buttord(2500,4000,0.2,40,'s')

[z,p,k]=buttap(n);

eps=sqrt(10^(0.2/10)-1);

p=p*(1/eps)^(1/n);

D=poly(p);

N=D(n+1);

aff=20*log10(abs(freqs(N,D,[3000/2500 3400/2500])))

aff =

-9.4294

-24.1405

[n,wn]=buttord(3000,4000,0.5,40,'s')

n =

En toute rigueur, on devrait fournir des valeurs de pulsation, et non de fréquences, en entrée de

la fonction de calcul du degré. Ca n'a pas d'importance ici, dans la mesure où le degré d'un filtre
n'est fonction que des rapports de fréquence (c'est d'ailleurs ce qui permet le passage par un filtre
normalisé en fréquence).

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

-1

0.5 1 2 6

)

(

(dB)

-50

-30

f(kHz)

Solution

La transformation du passe-bande en passe-bas normalisé conduit aux spécifications
suivantes :

)

(

Ω

(dB)

-1

1 3.5 5.666

-50

Ω

(rad/s)

-30

a. Butterworth

Le gain logarithmique étant d'autant plus faible dans la bande atténuée que le degré est
élevé, le degré du filtre sera imposé par les spécifications les plus contraignantes entre les
deux points de cassures potentiels : -30 dB à 3.5 et -50 dB à 5.666. On trouve dans le
premier cas :

[n,wn]=buttord(1,3.5,1,30,'s')

n =

[n,wn]=buttord(1,5.666,1,50,'s')

n =

ou, de façon plus explicite :

[

]

296

)

log(

)

log(

−

[

]

708

)

666

log(

)

log(

−

On retient donc la valeur n=4.

[z,p,k]=buttap(n);

eps=sqrt(10^(1/10)-1);

52 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

p=p*(1/eps)^(1/n);

D=poly(p);

N=D(n+1);

On peut facilement calculer (sous Matlab ou à la machine) que l'affaiblissement obtenu dans
la bande atténuée est de 37.66 dB en

Ω

et de 54.39 dB en

666

Ω

20*log10(abs(freqs(N,D,[3.5 5.666])))

ans =

-37.6579

-54.3939

On procède ensuite au changement de fréquence, mais on maintient une valeur normalisée
pour la fréquence centrale du filtre (la dénormalisation finale sera faite à la syntheèse
proprement dite) :

[Nbut,Dbut]=Lp2bp(N,D,1,1000*2*pi/ sqrt(2000*2*pi*1000*2*pi))

Nbut =

0.4913

0.0000

Dbut =

1.0000

2.1878

6.3931

8.0967

11.2776

8.0967

6.3931

2.1878

1.0000

b. Chebyshev I

Par un raisonnement semblable à celui qui a été tenu pour le filtre de Butterworth:

[n,wn]=cheb1ord(1,3.5,1,30,'s')

n =

[n,wn]=cheb1ord(1,5.666,1,50,'s')

n =

ou, de façon plus explicite :

[

]

505

)

cosh(

)

cosh(

−

arc

[

]

944

)

666

cosh(

)

cosh(

−

arc

[z,p,k]=cheb1ap(n,1);

N=k*poly(z);

D=poly(p);

L'affaiblissement réalisé vaut 38,27 dB en

Ω

et 51,17 dB en

666

Ω

20*log10(abs(freqs(N,D,[3.5 5.666])))

ans =

-38.2689

-51.1642

et finalement :

[Ncheb1,Dcheb1]=Lp2bp(N,D,1,1000*2*pi/ sqrt(2000*2*pi*1000*2*pi))

Ncheb1 =

0.1737

0.0000 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

Dcheb1 =

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

1.0000

0.6989 + 0.0000i

3.6192 + 0.0000i

1.5714 + 0.0000i

3.6192 + 0.0000i

0.6989 + 0.0000i

1.0000 - 0.0000i

c. Chebyshev

On considère les spécificatoins les plus contraingnantes (50dB en 3.5) :

[n,wn]=cheb2ord(1,3.5,1,50,'s')

[z,p,k]=cheb2ap(n,50);

N=k*poly(z);

D=poly(p);

[N,D]=lp2lp(N,D,3.5);

L'affaiblissement réalisé

Ω

et en

666

Ω

vaut :

20*log10(abs(freqs(N,D,[3.5 5.666])))

ans =

-50.0000

-51.0336

[Ncheb2,Dcheb2]=Lp2bp(N,D,1,1000*2*pi/ sqrt(2000*2*pi*1000*2*pi))

Ncheb2 =

0.0032

0.0000 + 0.0000i

0.1676 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

1.2780 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

0.1676 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

0.0032 - 0.0000i

Dcheb2 =

1.0000

2.5382 + 0.0000i

7.2218 + 0.0000i

10.0275 + 0.0000i

13.3928 + 0.0000i

10.0275 + 0.0000i

7.2218 + 0.0000i

2.5382 + 0.0000i

1.0+ 0.0000i

d. Cauer

On considère les spécifications les plus contraingnantes (50dB en 3.5) :

[n,wn]=ellipord(1,3.5,1,50,'s')

[z,p,k]=ellipap(n,1,50);

N= k*poly(z);

D= poly(p);

L'affaiblissement réalisé

Ω

et en

666

Ω

vaut :

20*log10(abs(freqs(N,D,[3.5 5.666])))

ans =

-50.9526

-50.6055

[Nel,Del]=Lp2bp(N,D,1,1000*2*pi/ sqrt(2000*2*pi*1000*2*pi))

Nel =

0.0227

0.0000

0.2249

0.0000

0.0227

0.0000

Del =

1.0000

0.6953

3.6205

1.5701

3.6205

0.6953

1.0000

Nous pouvons maintenant nous permettre d'afficher les réponses en fréquences de ces
filtres :

[H,w]=freqs(Nbut,Dbut,logspace(-1,1,500));

loglog(w,abs(H));

hold on;

Ceci constitue en fait une transformation de fréquence; nous verrons plus loin comment on la

réalise.

CHAPITRE 4

SENSIBILITE

Nous verrons au chapitre suivant comment on réalise en pratique des circuits
électriques (LC : inductances et capacités) et électroniques (RCAO : résistances,
capacités, et amplis ops) qui possèdent une transmittance donnée. Avant
d'aborder ce problème, il nous fait cependant étudier la sensibilité de tels circuits
à leurs composants (R, C, AO).
Les composants sont affectés d'imprécisions et d'effets parasites qui déforment
leurs caractéristiques. Les imperfections les plus importantes sont:

•

Les valeurs des résistances et des capacités différentes des valeurs nominale.
Ces valeurs nominames sont en effets garanties par les constructeurs avec
une tolérance qui peut aller jusque 20%.

•

Le gain fini des amplificateurs opérationnels, et dépendant de la fréquence;

•

La dépendance des éléments passifs et des amplificateurs opérationnels à la
température et le vieillissement.

•

On pourrait ajouter certains facteurs comme les capacités parasites, les
variations d'impédances d'entrée et de sortie des amplificateurs
opérationnels, mais leur influence sur le comportement des filtres est
mineure.

L'étude de la sensibilité d'un circuit à ces variations conditionne le choix des
structures que nous retiendrons pour la synthèse.

4.1 Définition

Soit une fonction f (gain logarithmique, facteur de qualité, position d'un pôle,
d'un zéro, etc.) d'un ensemble de paramètres

(valeurs des résistances,

capacités, gains des amplis ops, fréquence, etc.); on la note donc

)

(

Imaginons qu'on modifie légèrement les valeurs des paramètres

autour d'une valeur de départ

Il est clair qu'on peut toujours écrire,

au premier ordre, que la variation (absolue) de f est une combinaison linéaire des
variations élémentaires des paramètres :

∆

∂

≈

∆

(4.1)

56 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

On en déduit que la variation relative de f (c.-à-d. la variation de f rapportée à sa
valeur initiale f

) est elle même une combinaison linéaire des variations rélatives

des paramètres :

∆

∂

∆

∂

≈

∆

(4.2)

Les coefficients de cette combinaison linéaire sont appelés sensibilités de P par
rapport à chacun des

∂

(4.3)

La sensibilité n'est donc rien d'autre que l'expression mathématique de réponse à
la question suivante : "si on modifie tel paramètre de n%, de combien de % (m)
la grandeur f varie-t-elle ?". Le rapport m/n est la sensibilité de f par rapport à ce
paramètre.
Il est fondamental à ce stade de bien comprendre également que la sensibilité

est fonction du point de repos

. Ainsi, si on considère par exemple une

grandeur

)

(

fonction de la valeur d'une résistance et de la fréquence, il est

clair que

est une fonction de la fréquence. On la notera donc plutôt

)

(

Exemple 4.1

Calculons la sensibilité d'un polynôme

...

)

(

par rapport à un de ses

coefficients

)

(

)

(

)

(

∂

(4.4)

Il est clair que cette sensibilité est fonction de x, et tend vers l'infini au droit de tous les
zéros du polynôme. On résume souvent cette constatation en disant qu'un polynôme est très
sensible à une variation de ses coefficients.

De la même façon, les sensibilités d'une fraction rationnelle :

...

)

(

par rapport à un de ses coefficients

est donnée par :

)

(

)

(

)

(

)

(

−

∂

)

(

)

(

)

(

)

(

∂

(4.5)

Ces sensibilités sont elles aussi fonction de p, et tendent vers l'infini au droit de tous les
zéros ou pôles du polynôme.

4.2 Propriétés

On vérifiera à titre d'exercice les propriétés suivantes (où k est une constante et
où f et g sont deux fonctions de x) :

(4.6)

−

(4.7)

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

(4.8)

(4.9)

)

(

(4.10)

(4.11)

4.3 Sensibilité d'une section du second degré à ses

composants

Considérons une fonction de transfert générale du second degré :

(

)

(

(4.12)

où

sont respectivement la pulsation de cassure et le facteur de qualité

des pôles de la cellule du second degré.
Nous nous intéresserons ici à la sensibilité de

)

(

par rapport aux paramètres

de l'équation (4.12) et, en particulier, à sa sensibilité dans sa bande passante, ce
qui revient à ne considérer que les sensibilités par rapport aux pôles, puisque
nous avons vu qu chapitre 3 que les caractéristiques de la bande passante
dépendent essentiellement de leur position (la position des zéros influant
essentiellement sur l'allure de la bande atténuée).
Si x représente la valeur d'un composant quelconque du circuit implémentant
(4.12), on peut toujours écrire (pour les sensibilités en bande passante) :

≈

(4.13)

Calculons l'expression des sensibilités apparaissant dans (4.13) :

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(4.14)

)

(

)

(

∂

−

(4.15)

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(4.16)

On trouve de même, par un calcul analogue :

58 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

)

(

)

(

−

(4.17)

Si on calcule ces sensibilités dans un domaine entourant

, on obtient

facilement les valeurs maximales suivantes :

)

max(

(4.18)

)

max(

≈

ç
è

≈

(quand

est grand)

(4.19)

)

min(

−

≈

÷ö

ç
è

−

≈

(quand

est grand)

(4.20)

Les courbes correspondantes sont présentées aux Fig. 4.1 et Fig. 4.2. On y
observe que les sensibilités sont toujours maximales au droit des fréquences de
cassure. Il est également important de constater que les échelles respectives de
ces figures sont très différentes : la sensibilité de

)

(

(c.-à-d. par

rapport au module des pôles) est de l'ordre de

fois supérieure à la sensibilité

)

(

(c.-à-d. par rapport à la position angulaire des pôles)! Cette

conclusion est d'autant plus importante que, pour les filtres sélectifs, les facteurs
de qualité prennent des valeurs importantes.
Cette dernière remarque est par ailleurs totalement indépendante des circuits qui
seront utilisés en pratique pour implémenter une cellule du second degré. Il
s'ensuit, selon (4.13) que, si on veut que la variations de

)

(

par rapport aux

éléments d'un circuit implémentant une cellule du second degré ne soit pas
influencée de façon prépondérante par la sensibilité de

)

(

par rapport à

il convient si possible de choisir des structures dont la fréquence de cassure
présente une faible sensibilité par rapport aux éléments.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 4.1 Courbes de sensibilité à

en fonction de la fréquence normalisée

Fig. 4.2 Courbes de sensibilité à

en fonction de la fréquence normalisée

4.4 Sensibilité d'un filtre de degré quelconque à ses

composants

Considérons à présent la forme générale :

∏

(

)

(

)

(

(4.21)

L'expression (4.13) devient :

≈

(4.22)

Il est clair par conséquent qu'une implémentation directe de la fonction de
transfert

)

(

conduirait à une grande sensibilité aux éléments, dans la mesure

où une modification de n'importe lequel des éléments pourrait avoir une influence
sur la position de n'importe quel pôle.
Pour contourner ce problème, on a classiquement recours à deux types de
structures : la cascade de cellules du second degré et la simulation de circuits LC
en échelle.

4.4.1 Cascade de cellules du second degré

Une réalisation par cascade de cellules du second degré présente l'avantage que
chaque élément n'influe que sur les valeurs d'une paire de pôles, ce qui
permettra de réduire la sensibilité globale du filtre à ses éléments. L'expression
(4.22) devient :

≈

(4.23)

où l’indice i indique la cellule à laquelle appartient le composant x.

60 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Ce type de structure est par ailleurs plus simple à concevoir, et plus modulaire
(les blocs du second degré se ressembleront souvent très fort).
Il reste maintenant à étudier les sensibilités de

par rapport aux composants

de la cellule.

4.4.1.1 Sensibilité par rapport aux composants passifs

Malheureusement, les sensibilités des

par rapport aux composants passifs ne

peuvent être rendues arbitrairement faibles. Ainsi, nous verrons par exemple au
chapitre 5 que la pulsation

d'une cellule élémentaire avec deux capacités est

toujours inversement proportionnelle à la racine carrée des capacités ce qui
conduit à :

1/ 2

= −

Ceci limite considérablement l'utilisation des filtres cascade à cause de leur
sensibilité à la précision des éléments passifs et peut donc demander de pouvoir
régler les valeurs des

et des

par ajustage

des valeurs des composants

lorsque la valeur de

devient importante.

4.4.1.2 Sensibilité par rapport au gain de l’ampli op – Produit

gain-sensibilité

Un amplificateur opérationnel présente toujours un gain en boucle ouverte fini A

dont la variation par rapport à la valeur nominale peut être importante (60% par
exemple).
Afin de réduire la sensibilité du circuit à ces variations de gain, on monte en
général l’ampli op en contre-réaction positive (ampli non-inverseur) ou négative
(ampli inverseur). Ces configurations sont données à la Fig. 4.3.

=(k-1)R

Fig. 4.3 a. Ampli op en contre-réaction positive. b. Contre-réaction négative.

Les gains en boucle fermée sont donnés respectivement par :

Les composants sont fournis par les constructeurs avec une certain tolérance sur leur valeur

nominale. L’ajustage consiste à mesurer la valeur réelle d’un élément, et éventuellement à la
modifier en conséquence. Cette opération est bien évidemment coûteuse, et on l’évite autant que
possible.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

K A

≈

(4.24)

(

K A

−

= −

≈ −

−

(4.25)

Et on obtient facilement les sensibilités de ces gains par rapport à A

K A

(4.26)

(

K A

−

≈ −

(4.27)

On constate effectivement que cette sensibilité est nettement inférieure à 1 (sa
valeur initiale, en boucle ouverte).
Intéressons-nous à présent à la sensibilité d’une grandeur quelconque P (

) d’une cellule du second degré par rapport à A

+−

(4.28)

où on introduit la notion de produit gain-sensibilité

, produit du gain en boucle

fermée par la sensibilité de P à ce gain en boucle fermée. Au contraire de

(qui

est inversement proportionnelle à A

est indépendante de l’ampli op utilisé,

mais est par contre fonction de la structure utilisée pour la contre-réaction. C’est
donc plutôt cette grandeur qu’on cherche à minimiser lors du choix des
structures pour l’implémentation des cellules du second degré.
Pour chaque structure du second degré, les variations relatives des

et des

par rapport aux résistances, capacités et gains des amplificateurs seront

finalement données par :

∆

+ Γ

∆

+ Γ

(4.29)

4.4.2 Simulation de circuits LC en échelle

Si on reprend l’expression générale de la sensibilité de

( )

H p

par rapport à un

composant x, il vient :

( )

( ) ( )

N p

D p

N p

N p D p

∂

−

∂

(4.30)

Il est alors possible de minimiser la sensibilité en rendant le numérateur de cette
expressions aussi petit que possible, de façon à contrebalancer les petites valeurs
prises par le dénominateur à proximité des pôles et des zéros.
Cette approche conduit à des structures dites par simulation de circuits LC en
échelle. Ces structures jouent un rôle important pour la synthèse de filtres très
sélectifs (là où la cascade de cellules du second degré devient trop sensible).

64 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

(5.1)

)

(

(5.2)

Un simple circuit passif RC suffit pour l'obtenir (Fig. 5.1).

Fig. 5.1 Cellule générale du premier degré.

On montrera en effet à titre d'exercice que :

)

(

)

(

)

(

(5.3)

On obtient alors facilement la valeur des éléments en identifiant cette expression
avec les précédentes

Il est important de noter que ce type de cellule ne synthétise la transmittance
désirée que si elle est connectée à une source de tension parfaite (d’impédance
nulle) et à une charge d’impédance infinie. Dans le cas contraire, il faut
éventuellement utiliser des amplis opérationnels juant le rôle d’isolateurs
d’impédance.

5.2 Synthèse de cellules du second degré

Un nombre impressionant de structures ont été proposées dans la littérature
pour synthétiser les cellules du second degré. Des études exhaustives relatives à
la sensibilité de ces structures par rapport à leurs composants actifs et passifs
(voir par exemple [8]) ont finalement conduit à une liste de structures optimales,
dont le choix dépend essentielllement du facteur de qualité des pôles à

Ce n'est d'ailleurs pas le seul circuit possible.

Ceci conduira, pour l'expression (5.2), à imposer R

à 0.

66 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(5.4)

Il est bien connu que les pôles des fonctions de transfert RC passives sont situés
sur l'axe réel négatif et que par conséquent il n'est pas possible des les utiliser
pour la synthèse des fonction de transfert résultant des théories de
l'approximation; par contre, lorsqu'on les utilise en contre-réaction avec des
amplis ops, nous allons voir qu'il est possible de synthétiser des pôles complexes
conjugués.
Dans le cas de la réaction négative, on peut en effet écrire :

(

)

out

−

(5.5)

d'où l'on peut tirer :

)

(

)

(

)

(

out

−

(5.6)

Comme le gain de l'amplificateur en boucle ouverte est très important (A>>1),
cette relation devient :

)

(

)

(

)

(

−

(5.7)

Les pôles et les zéros de la fonction de transfert sont les zéros de fonctions de
transfert de réseaux RC passifs : ils peuvent donc être quelconques.
Dans le cas de la structure à réaction positive, on a :

(

)

(

out

≈

−

(5.8)

d'où l'on tire :

)

(

)

(

)

(

out

−

(5.9)

Comme

≈

, cette relation devient :

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(5.10)

De l'examen du dénominateur de cette dernière équation (une différence de deux
polynômes), il est clair que les pôles de la fonction de transfert peuvent être
complexes.

On peut démontrer que les dénominateurs de ces deux fractions rationnelles sont

nécessairement identiques.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

L'annexe I passe en revue les différents types de sections du second ordre à
faible facteur de qualité et en donne la structure ainsi qu'un algorithme de calcul
des éléments. On peut vérifier que la fonction produit gain-sensibilité associée à

est nulle pour l'ensemble de ces structures, ce qui n'est pas le cas pour celle

qui est associée à

dont la valeur est fournie pour chaque structure. Le choix

optimum des valeurs des composants passifs vise donc en principe à minimiser
cette fonction produit gain-sensibilité.
Remarque: Pour toutes les cellules décrites à l'annexe I, on constate au vu des
équations qu'il est impossible de régler indépendamment les valeurs de

. Ce fait ne prête pas à conséquence puisque le facteur de qualité (et par

conséquent la sensibilité

) est faible. Lorsque le facteur de qualité augmente,

il est indispensable de pouvoir régler indépendamment les valeurs de

ce qui exige de nouvelles structures pour les sections du second degré.
Exemple 5.1

La structure pass-bas de l'annexe I.1 est reprise à la Fig. 5.3.

Fig. 5.3 Structure passe-bas pour faible facteur de qualité

Le réseau RC qui y correspond est représenté à la Fig. 5.4 (où R

correspond à la mise en

parallèle de R

et R

: on remplace la tension d'entrée et ces deux résistances par leur

équivalent de Thévenin).

/(R

)

Fig. 5.4 Réseau RC pour Structure passe-bas pour faible facteur de qualité

68 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

On trouve facilement les fonctions de transfert élémentaires (et on remarque en passant que
leurs numérateurs sont bien identiques) :

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(5.11)

On en déduit H(p) :

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(5.12)

Et il vient donc :

(5.13)

ççè

(5.14)

Et comme H(j

) tend vers 1 quand

tend vers 0, on voit que K est réglé par le choix de R

et R

(5.15)

A titre d’exercice, on recommencera les calculs de H(p) en ne faisant plus l’hypothèse d’un
gain infini, ce qui invaliderait (5.7). On obtient alors une expression de

qui dépend

du gain A. L’examen des produits gain sensibilité conduit à :

(5.16)

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

(5.17)

Les relations (5.13) et (5.14) peuvent bien entendu être inversées, de façon à fournir les
valeurs des éléments R

, R

, C

, et C

connaissant

(puis R

et R

connaissant R

et K). On s’impose par exemple les valeurs de C

et C

, et on peut montrer à titre d’exercice

que R

et R

sont bien celles mentionnées à l’annexe I.1. L’inversion fait d’ailleurs apparaître

une condition sur les valeurs des éléments.

Notons enfin que la valeur optimale des éléments sera en principe celle qui conduit
également à minimiser la valeur de (5.17).

5.2.2 Structures des sections du second degré à facteur de qualité

compris entre 2 et 20

Ces structures sont obtenues à partir de celles de la section précédente en les
modifiant légèrement pour permettre le réglage de

(Fig. 5.5). On les

trouve souvent dans la littérature sous le nom de filtres de Sallen et Key.

Fig. 5.5 Structures générales pour

≤

haut : réaction négative

bas : réaction positive

70 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

La structure à réaction négative diffère de celle de la Fig. 5.2 par le fait qu'on a
inclus une réaction positive

dans le circuit; on a donc :

(

)

out

−

(5.18)

d'où l'on tire :

−

)

(

)

(

)

(

out

(5.19)

En tenant compte de la valeur importante du gain en boucle ouverte de
l'amplificateur opérationnel, cette expression conduit à :

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(5.20)

Dans le cas de la structure à réaction positive, la comparaison des Fig. 5.2 et Fig.
5.5 montre que la seule différence est que le gain en boucle fermée est
maintenant

différent de l'unité :

(5.21)

ce qui conduit à :

)

(

)

(

)

(

)

(

−

(5.22)

L'annexe II donne la liste des différentes sections élémentaires à facteur de
qualité moyen, ainsi que leur mode de calcul. Comme dans la section précédente,
on peut montrer que la fonction produit gain-sensibilité associée à

est nul

pour ces structures.

5.2.3 Structures des sections du second degré à facteur de qualité

supérieur à 20

Les cellules présentées à la section précédente sont limitées à des facteurs de
qualité inférieur à 20 pour deux raisons: le réglage devient impossible pour
Q

>20 et la sensibilité à certains composants passifs est directement

proportionnelle à la valeur de Q

Pour pouvoir réaliser des facteurs de qualité plus élevés, il est nécessaire
d'augmenter le nombre d'amplificateurs opérationnels. De nombreuses cellules à
plusieurs amplis opérationnels ont été proposées dans le littérature, dont seul un
petit nombre s’est finalement avéré utile (parce que diminuant la sensibilité du
circuit aux composants passifs). Parmi ces cellules, celles utilisant le
convertisseur d’impédance généralisé d’Antoniuou (Fig. 5.6) sont les plus
répandues. Ce circuit est canonique

en nombre de capacités (2), comme on

Un circuit est canonique pour un type de composant lorsqu'il comprend le nombre minimal de ce

composant tout en réalisant la fonction désirée.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

peut le constater sur les différentes implémentations présentées à l'annexe III.
On montre par ailleurs qu'on obtient la sensibilité minimale si les deux capacités
sont choisies identiques et si toutes les résistances sauf une sont égales à une
valeur R

, avec :

)

(5.23)

La résistance restante est calculée pour fixer la valeur du facteur de qualité :

)

(5.24)

Fig. 5.6 Schéma général des cellules à haut Qp

L'examen de cette dernière relation montre la grande facilité de réglage de Q

En pratique, il n'est pas nécessaire de réaliser exactement la valeur R

: il est

plus facile d'utiliser une valeur standard R

proche de R

. De plus, cette

différence entre R

et Rd peut être composée par une simple résistance R

dans

le circuit de valeur :

(5.25)

Ces circuits sont donc faciles à régler. On montre par ailleurs qu'is sont optimum
du point de vue de la sensibilité, qu'ils présentent de plus un minimum de bruit
et un maximum de dynamique. Leur inconvénient est de nécessiter deux amplis
opérationnels, ce qui en augmente le prix et la consommation.

5.3 La section du second degré généralisée

La structure des cellules du second degré présentée jusqu'à présent dépend de la
fonction de transfert réalisée par cette cellule. Il existe également une cellule du
second degré universelle qui, pour une structure figée, permet de réaliser
n'importe quelle fonction de transfert du second ordre.
Soit la fonction de transfert :

(

)

(

)

(

(5.26)

Le réarrangement de cette équation conduit à :

72 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

(

)

−

(5.27)

Si on considère par exemple que N(p) = K.p

et que l'on pose

, l'équation

(5.27) peut être implémentée par le schéma fonctionnel de la Fig. 5.7,
comprenant deux intégrateurs. Puisque V

est une fonction passe-haut, (V

/pT)

est une fonction passe-bande et (V

) est une fonction passe-bas: les trois

fonctions sont disponibles simultanément avec les mêmes

et Q

Fig. 5.7 Schéma fonctionnel de la cellule généralisée

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 5.8 La cellule biquadratique généralisée de type KHN

Ce schéma fonctionnel peut être réalisé de différentes façons qui diffèrent dans la
réalisation des deux intégrateurs et dans celle du sommateur. Puisque les circuits
intégrateurs sont facilement réalisables par un circuit comportant un seul
amplificateur opérationnel (à condition de changer leur signe), il est naturel de
réarranger le schéma bloc de la Fig. 5.7 en celui de la Fig. 5.8 (haut).
La fonction de transfert du sommateur vaut :

−

Une réalisation d'un tel sommateur est présentée à la Fig. 5.8 (milieu) avec
comme fonction de transfert :

−

De ces deux dernières équations, on déduit :

)

(

−

Le circuit complet est présenté à la Fig. 5.8 (bas). Ce circuit est connu dans la
littérature sous le nom de cellule biquadratique KHN (Kervin, Huelsman, et
Newcomb).
On montre par ailleurs que cette cellule présente de faibles sensibilité aux
composants passifs et actifs.
On peut déduire de cette cellule une structure légèrement différente qui présente
l'avantage de n'utiliser que des amplificateurs opérationnels dont l'entrée + est
connectée à la référence de potentiel (Fig. 5.9). Cette structure est obtenue en
modifiant le schéma bloc Fig. 5.8 (bas) en celui de la Fig. 5.9 (haut) dans lequel
la sommation s'effectue dans un circuit intégrateur, ce qui permet de rendre tous
les poids positifs. Cette cellule est appelée la cellule biquadratique de Tow-
Thomas. L'avantage de cette cellule et que le facteur de qualité Qp est déterminé

par la résistance Q.R et est donc facilement réglable. De plus, le gain K est fixé
par la résistance d'entrée et peut donc être ajusté sans modifier

et Q

. Le

seul désavantage de cette cellule est que l'on ne sait plus réaliser la fonction de
type passe-haut.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

Fig. 5.10 La cellule biquadratique KHN modifiée

Cette dernière structure peut encore être modifiée pour éliminer un amplificateur
opérationnel, ce qui conduit à la cellule générale de la Fig. 5.11, dont la fonction
de transfert vaut:

(

)

).(

)

(

−

avec

. L'examen de la forme de H(p) montre bien que l'on peut

réaliser n'importe quel type de cellule, en choisissant correctement la valeur de
ses éléments.

Fig. 5.11 La cellule biquadratique généralisée

76 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

5.4 Synthèse par cascade de cellules du second degré

Dans le cadre de la synthèse des filtres actifs, nous n'avons considéré jusqu'à
présent que le calcul de sections du second degré. Il est clair que la synthèse
d'un filtre va conduire à la mise en cascade de plusieurs sections du second
degré ce qui conduit à deux problèmes distincts:

•

La constitution optimale des blocs élémentaires du second degré, c'est-à-

dire le problème de l'association pôles-zéros : comment réorganiser les
fractions rationnelles en un produit de fractions rationnelles élémentaires
(du premier et second degré) ? Et comment répartir la constante K du
filtre au niveau de ces cellules élémentaires?

•

Le choix de l'ordre de réalisation des cellules élémentaires

correspondantes.

La résolution de ces deux problèmes dépend évidemment du critère
d'optimisation utilisé; les critères qui peuvent être pris en compte sont :

1. Maximiser la dynamique du filtre, c'est-à-dire admettre des amplitudes

importantes des signaux d'entrée de chaque cellule sans provoquer de
distorsion du signal. Il faut donc éviter que des surtensions à la sortie de
certaines cellules n'entraînent des distorsions dans la cellule suivante.

2. Maximiser le rapport signal à bruit. Le désavantage des filtres actifs est

d'engendrer du bruit à l'intérieur du filtre, ce qui explique que le rapport
signal à bruit est un paramètre important. Chaque ampli opérationnel
produit un bruit qui lui est propre

. Le bruit de chaque ampli est filtré par

les sections qui le suivent. L’ordre des cellules a donc un effet sur le bruit
délivré en sortie de la cascade.

3. Minimiser la sensibilité totale, qui dépendra des cellules composant la

cascade, et donc de l'association pôles-zéros.

4. Minimiser l'offset en courant continu. Les éléments actifs génèrent des

tensions d'offset continues qui peuvent être gênantes dans certaines
applications. Il convient alors, dans la mesure du possible, de terminer la
cascade par une cellule éliminant le continu.

5. Simplifier la procédure de réglage. Certaines structures sont plus faciles à

régler que d'autres, d'où l'influence possible du groupement pôles-zéros.

Un des critères les plus importants pour le groupement pôles-zéros est de rendre
maximum la dynamique du filtre. Il est facile de comprendre que ce but sera
atteint si on respecte la règle suivante: les pôles et zéros des cellules du second
degré doivent être choisis tels que la réponse en fréquence de chaque cellule soit
la plus plate possible dans le domaine de fréquence utile. Ce critère est
particulièrement important dans le cas des filtres qui possèdent des pôles de
l'affaiblissement (c.-à-d. des zéros sur l'axe imaginaire), qui peuvent être utilisés
pour compenser les réonnances des pôles à facteur de qualité élevé. On combine

Une des caractéristiques importantes des différents amplis ops vendus est d’ailleurs leur niveau

de bruit. Pour certaines applications (médicales, par exemple), on est conduit à n’utiliser que des
composants très peu bruyants, ce qui conduit évidemment à un coût plus élevé.

78 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

du facteur de qualité des cellules élémentaires va en croissant de l'entrée vers la
sortie.
Il arrive parfois que d'autres considérations que la dynamique se présentent. On
peut par exemple imposer que la première section soit du type passe-bas ou
passe-bande en vue d'éliminer les hautes fréquences et ainsi éviter les
problèmes de variation de pente du signal dans les amplificateurs

. De façon

semblable, on peut imposer une cellule de type passe-haut ou passe-bande
comme dernière cellule en vue d'éliminer l'ondulation sur l'alimentation ou le
bruit induit par les amplificateurs eux-mêmes. Dans ces différents cas, on
optimisera les cellules restantes en suivant les règles énoncées ci-dessus.

Exercices

Exercice 5.1

On demande de réaliser un filtre passe-bas dont les spécifications sont les suivantes :

)

(

(dB)

1000 2000

f(Hz)

-1

-30

Solution

Le choix du type d'approximation s'étant porté sur les filtres de Chebyshev, on trouve
facilement que le degré du filtre est de 4 et que sa fonction de transfert est :

)

99323

27907

).(

52858

67374

(

24565

)

(

Ce type d'approximation ne présentant pas de zéro, le problème de l'association pôles-zéros
ne se pose pas. Il reste donc simplement à choisir les constantes associées à chaque cellule,
ce qui se fait en imposant un gain unitaire en continu pour chaque cellule :

99323

5590

99323

891242

52858

78455

52858

)

(

La première cellule a un facteur de qualité est faible, l'autre un facteur de qualité est moyen;
ces deux cellules auront donc des structures différentes. La première cellule est réalisée par
la structure décrite à la section I.1 de l'annexe I, avec :

78455

52858

Une des imperfections des amplis ops est liée à la pente maximale admissible (slew rate) pour la

pente du signal de sortie, au delà de laquelle le signal de sortie est distordu.

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

On obtient :

3542004

0571962

∞

La deuxième cellule est décrite à la section II.1 de l'annexe II avec :

891242

5590

99323

On obtient, avec la valeur de P qui conduit au produit gain-sensibilité minimum
(P=0.7476508) :

8075859

2723558

5046983

8705618

1643961

La dénormalisation en fréquence est obtenue facilement en divisant les valeurs de capacités
par

1000

. La dénormalisation en impédance (indispensable ici si l'on veut que les

éléments nécessaires correspondent à peu près aux valeurs standard fournies par les
fabricants) est réalisée en choisissant une valeur de dénormalisation R, en multipliant toutes
les valeurs des résistances par R et en divisant les valeurs des capacités par R.

Il reste alors, si on veut être complet, à remplacer les valeurs obtenues par des valeurs
standard les plus proches fournies par les fabricants, et à vérifier que le filtre répond encore
aux spécifications (ce qui peut demander de faire plusieurs essais de choix de valeurs
standardisées).

Exercice 5.2

On demande de réaliser un filtre passe-bas elliptique dont la fonction de tranfert est donnée
par :

80 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

)

999725

1001743

999725

)(

50740

(

)

0203

(

031376

)

(

L'association pôle-zéro est triviale : le filtre sera constitué d'une cellule de type réjecteur de
fréquence à moyen facteur de qualité (II.5) en cascade avec une cellule du premier degré. La
cellule du premier degré doit bien évidemment être placée en fin de cascade, pour assurer
une isolation d'impédance entre les deux cellules.

On obtient pour la cellule du second degré :

3826658

50531902

5691338

08291255

49747531

24873765

On constate que la synthèse de cette section conduit à un gain en continu de l'ordre de 15,83
dB . La cellule du premier degré est donc constituée d'un diviseur résistif (nécessaire car la
section réjecteur de fréquence introduit un gain en continu de l'ordre de 15,83 dB) et d'une
capacité en shunt sur la sortie de valeurs (obtenue à partir de la Fig. 5.1):

3506912

196131

La dénormalisation en impédance est faite comme pour l'exercice précédent.

82 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

I.1

Passe-bas à faible facteur de qualité

(

)

(

avec :

. .

(

) /( .

)

. (

. ) /(

)

R R

R C R C

R C

C R

Calcul des composants :

•

fournir en données :

)

(

≤

(!!! il faut

)

≥

•

calculer :

)

(

)

(

−

•

si K=1 alors

∞

sinon :

)

−

I.2

Passe-bande à faible facteur de qualité

I.2.1

Passe-bande de type R à faible facteur de qualité

)

(

)

(

−

avec :

(

) /( .

)

.(1

)

R R

R C C R

R C

Calcul des composants :

•

fournir en données : f

, Q

, C

et K

•

calculer :

.(2

)

.(1

)

P R

P C C

•

alors

∞

sinon :

)

−

I.2.2

Passe-bande de type C à faible facteur de qualité

(

)

(

−

avec :

. .

(

. ) /(

)

. (

) /(

)

C R R C

R C

C R

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, Q

, C11, C

(peut valoir 0) et C4 (!!! Il faut que

)

(

≥

)

•

calculer:

(

. .

/( .

)

P R

P C C

P C

K C

− +

−

I.3

Passe-haut à faible facteur de qualité

(

)

(

avec :

(

. ) /(

)

C R C R

R C

C C

Calcul des composants :

•

fournir en données:

, Q

, C

(peut valoir 0) et C3

•

calculer :

.(2

)

. .

C C

P R

P C C

I.4

Passe-tout à faible facteur de qualité

(

)

(

−

avec:

2.(

)

R C C R

R C

ω =

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, Q

, C2, C

et R6 (en option)

•

calculer :

.(2

)

P R

P C C

•

si R

=0 alors R

=10000

•

calculer :

)

90 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

II.1 Passe-bas à moyen facteur de qualité

(

)

(

. .

(

) /( .

)

.(1

)

. ( .

) /(

).(1

)

R R

R C R C

R C

−

Réglage : f

par R

et Q

par R

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, Q

, C

, C4, K, R5 (en option)

•

pour obtenir le produit gain-sensibilité minimum, utiliser la valeur de P
suivante :

[

]

)

•

calculer :

•

affecter à R

la valeur nominale de résistance et calculer :

[

]

)

(

GSP

−

•

si K = K

ou K>K0 alors R11 = R

, R

∞

et K = K0

sinon R

= R1.K

/K , R12 = R

.K0/(K0 - K)

NB : On peut éventuellement recommencer les calculs avec une autre valeur de
P choisie par l'utilisateur.

II.2 Passe-bande à moyen facteur de qualité

II.2.1

Passe-bande de type R à moyen facteur de qualité

(

)

(

−

avec :

.(1

). (

) /( .

)

(

) /( .

)

/( .

)

. (

) /( .

).(1

)

R R

R C C R

C R

R C

C R

R C

R R

C R

R C

−

Γ =

Réglage : f

par R

et Q

par R

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, Qp, C

, C3, K, R

(en option)

•

pour obtenir le terme produit gain-sensibilité minimum, utiliser la valeur de P
suivante :

[

]

)

−

•

calculer :

•

affecter à R

la valeur nominale de résistance et calculer :

92 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

. (1

) /

/( .

)

.(1

P C

−

Γ = +

•

si K = K

ou K>K

alors R

= R

, R

∞

et K = K

sinon R

= R1.K0/K , R

= R1.K

/(K0-K)

NB : On peut éventuellement recommencer les calculs avec une autre valeur de
P choisie par l'utilisateur.

II.2.2

Passe-bande de type C à moyen facteur de qualité

(même H(p) que pour la structure précédente)

. .

.(1

). (

) /(

)

(

) /(

)

. (

) /(

) .(1

)

C R R C

C R

R C

C R

R C

−

Γ =

Réglage : f

par R

ou R3 et Qp par R5

Calcul des composants :

•

fournir en données : fp, Qp, C

, C

, C4, R6 (en option)

•

pour obtenir le terme produit gain-sensibilité minimum, utiliser la valeur de P
suivante:

[

]

)

•

calculer :

•

affecter à R

la valeur nominale de résistance et calculer :

. (1

.(1

/( .

)

.(1

) .

/( .

)

P C

R Q

P C

−

Γ =

II.3 Passe-haut à moyen facteur de qualité

(

)

(

)

.(1

)

. (

) /(

).(1

)

C R C R

R C R C

C C

R R

R C

−

Γ =

Réglage : f

par R

ou R3 et Qp par R5

Calcul des composants :

•

fournir en données : fp, Qp, C

, C

, C4, R6 (en option)

•

pour obtenir le terme produit gain-sensibilité minimum, utiliser la valeur de P
suivante :

[

]

)

−

•

calculer :

•

affecter à R5 la valeur nominale de résistance et calculer :

. (1

).1/

/( .

)

.(1

)

.(1

) .

)

C C

P C

−

Γ =

NB : On peut éventuellement recommencer les calculs avec une autre valeur de
P choisie par l'utilisateur.

II.4 Passe-tout à moyen facteur de qualité

(

)

(

−

1/( .

) 1/( .

) 1/(

) (

).(

)

. ( .

) /(

.(1

)

R R

R C C R

R C

−

Γ =

Réglage :

par

)

(

par

Calcul des composants :

•

fournir en données: fp, Qp, C

, C

, R

(en option)

•

pour obtenir le terme produit gain-sensibilité minimum, utiliser pour P :

.(1

)

.(1

)

1 (

) .

.(1

)

.(1

)

3.(1

)

+ −

−

+ −

êë

•

calculer:

•

affecter à R

la valeur nominale de résistance et calculer :

. (1

/(1

)

.(1

)

.(1

) .

/( .

)

P C

= −

−

Γ =

NB : On peut éventuellement recommencer les calculs avec une autre valeur de
P choisie par l'utilisateur.

II.5 Réjecteur de fréquence à moyen facteur de

qualité

(

)

(

avec :

)

R R

R R C C

R R

−

LPN (low-pass nework :

) : cas passe-bas

(

).(

)

(

).(

)

. .

(

)

(

)

. .

)

R R C C R R

C R

R R

R R R

R R

R R R

C C

R R R

C R R R

−

HPN (high-pass network :

ωω

>>>>

) : cas passe-haut

(

)

(

)

(

)

. .

)

R R

R R C C

R R

R R R

C C

R R R

C R R R

−

Calcul des composants (valable pour les deux cas):

•

fournir en données:

(en option)

98 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

•

dans la plage 0.1<P<0.3, minimiser le produit gain-sensibilité :

•

alors arrêt sinon

))

(

sgn

−

•

calculer :

[

]

)

(

)

−

•

≥

alors:

∞

sinon

))

)

−

•

Calculer :

)

).(

−

•

)

−

et on affecte à

la valeur nominale de

résistance. Calculer enfin :

(

).(

)

. 1

G R

C C R R

Γ =

−

Remarque
Cette cellule comporte peu de capacités (2), elle permet de minimiser la
sensibilité via le choix de P, mais elle ne conduit pas à des possibilités de
réglage, c'est pourquoi on on utilise aussi une autre structure, qui correspond à
la même fonction de transfert :

. .

. (1

) /(1

)

C C

R R C C

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

2. (1

).(1

)

'.(1/(

)

. )

.(1

) .

R C

ω ω

−

Γ =

Réglage : f

avec R

, R6 et R7 itérativement; f

avec R

; Qp avec R10

Calcul des composants :

•

fournir en données:

, et

(en option)

!!! il faut :

(

−

≥

•

calculer :

2. (1

).(1

)

. '.(

)

. .

).(

)

(

) /

C C

si H

alors R

si H

alors R

ω ω

= +

−

= ∞

•

affecter à

la valeur nominale de résistance et calculer :

. '

)

(

)

.(1

) .

R Q

R C

ω ω

−

êë

102 I

NTRODUCTION A LA

YNTHESE DES

ILTRES

CTIFS

III.1 Passe-bas à facteur de qualité élevé

(

)

(

avec :

Réglage :

par

Calcul des composants :

•

fournir en données:

•

calculer :

•

entrer en donnée : R

la valeur discrète proche de R

•

calculer :

Q R

III.2 Passe-bande à facteur de qualité élevé

(

)

(

avec :

R C

R R R C C

= +

Réglage :

par

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, Q

, C

•

calculer :

•

entrer en donnée : Rd la valeur discrète proche de R

•

calculer :

Q R

III.3 Passe-haut à facteur de qualité élevé

(

)

(

avec :

R C

R R R C C

= +

Réglage :

par

Calcul des composants :
fournir en données: f

, Q

, C

calculer :

entrer en donnée : Rd la valeur discrète proche de R

calculer :

Q R

III.4 Passe-tout à facteur de qualité élevé

(

)

(

−

avec :

. .

R C

R R R C C

Réglage :

par

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, Q

, C

•

calculer :

•

entrer en donnée : Rd la valeur discrète proche de R0

•

calculer :

Q R

III.5 Réjecteur de fréquence à facteur de qualité élevé

(

)

(

avec :

. 1

)

zlpn

zhpn

C R

R R R C C

R R

−

Réglage :

par

Calcul des composants :

•

fournir en données: f

, f

, Q

, C

•

calculer :

•

entrer en donnée : R

la valeur discrète proche de R

•

calculer :

•

cas LPN (type passe-bas :

) :

)

(

−

cas HPN (type passe-haut :

) :

)

.((

−

•

et finalement :